几个常用函数的导数 .ppt

x
的导数
f
(x)
lim
x0
y x
lim
x0
1 x(x x)
1 x2
.
一般地，可以证明幂函数 y x ( 是任意实数） 的导数公式为 (x )´= x -1
为了方便，以后我们可以直接使用下面的基本初等函数的 导数公式表：
基本初等函数的导数公式
1、若f (x) c,则f '(x) 0;
2、若f (x) xn (n N *),则f '(x) nxn1;
x0 x x0
x
下面我们求几个常用函数的导数。
1 、求函数 y c ( c 是常数)的导数。
解：（1）求增量： y f (x x) f (x) c c 0
y （2） 算比值：x
0
（3）取极限：y lim y 0
x0 x
这就是说，常数的导数等于零
2 、求函数 y x 的导数。
解： y f (x x) f (x) x x x 1,
2 、求函数 y x 的导数。
y lim y lim 1 1.
x x0
x0
函数f (x) kx的导函数为：f '(x) (kx) ' k.
3 函数 y f (x) x2, 的导数 f (x) lim y lim (2x x) 2x.
x x0
x0
4 函数 y f (x) 1 ,
1、导数的定义：
一般地，函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是：
lim f (x0 x) f (x0 ) lim f (x0 x) f (x0 ) lim f .
x0 (x0 x) x0
x0
x
x0 x
我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数（derivative），
记作 f '(x0 ) 或 y ' |xx0 ，即
为f(x)=x2- 7x+15( 0 x 8 ).计算第2h和第6h时，原油温度的
瞬时变化率，并说明它们的意义。
解：在第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f '(2)和f '(6)。
f (2 x) f (x)
f '(2) lim
lim (x 3) 3.
x0
x
x0
同理f '(6) lim f (6 x) f (x) 5.
f
'(x0 )
lim
x0
f
( x0
x) x
f
(x0 ) .
2、 根据导数的定义，求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤：
1.求增量： y f (x x) f (x)
2.算比值： y f (x x) f (x)
x
x
3.取极限： y lim y lim f (x x) f (x)
3、若f (x) sin x,则f '(x) cos x;
4、若f (x) cos x,则f '(x) sin x;
5、若f (x) ax ,则f '(x) ax ln a(a 0);
6、若f 7、若f 8、若f
(x) (x) (x)
ex ,则f '(x) ex;
loga ln x,
x
x
x
y lim y lim 1 1.
x x0
x0
探究：P13
在同一平面直角坐标系中，画出函数y=2x，y=3x，y=4x 的图象，并根据导数定义，求它们的导数。
（1）从图象上看，它们的导数分别表示什么？ （2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？
（3）函数y=kx（k 0）增（减）的快慢与什么有关？
y
函数f (x) kx的导函数为：
结论：f '(x) (kx) ' k
(2) y 4x增加得最快，
y 2x增加得最慢
O
x (3)k 0,导数大增加得快
k 0,| k | 大,导数绝对值大减少得快
3、 函数 y f (x) x2, 的导数
解：
y f (x x) f (x) (x x)2 x2 2x x (x)2 2x x，
x0
x
例1、 假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）
与时间t（单位：年）有如下函数关系
p(t)=p0(1+5%)t,
解： (1) y x 2 x 4 x 4
y
3
x
3 4
1
3
1
x4
3
44
44 x
(2) y
11
x4 3
1
(x) 12
1
y (x 12 )
1 12
1 1
x 12
1
12 x12 x
练习3
已知y
Baidu Nhomakorabea
1 x2
, 求y
x3
解： y (x2 ) 2x21 2x3
y
x3
2 (3)3
2
1 27
(1) y (x4 ) 4x41 4x3
(4) y x
(2) y (x3) 3x31 3x4
(3)
y
1 x2
x2
1
(4) y x x2
y
( x 2
)
2x3
2 x3
y
(x
1 2
)
1
x
1 1 2
1
2 2x
练习2 求下列函数的导数：
(1) y x x
(2) y 4 x 3x
11
3
( 是任意实数）的导数公式为
(x ) ' nx 1
探究：P14
画出函数y= 1的图象，根据图象，描述它的 x
变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程。
从图知:当x<0时，函数减少得快； 当x>0时，函数减少得慢。
练习1 求下列函数的导数：
(1) y x4
解：
(2)
y x3
(3)
y
1 x2
2 27
小结
1、 导数的定义 2、根据导数的定义，求函数 y=f(x) 的导 数的三个步骤 3、熟记以下导数公式：
（1） （C)‘=0
（2） ( x n ) nxn1
下面我们求几个常用函数的导数。
1 、求函数 y c ( c 是常数)的导数。
y lim y 0 常数的导数等于零
x0 x
x,则f '(x) 则f '(x)
1.
x
1 ln
a
(a
0,
且a
1);
x
课堂练习P18
1、运用基本初等函数的导数公式与导数运算法则，重新求解 1.1节例1。你是否感觉到运算法则给解题带来的方便简捷？
例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对 原油进行冷却 和加热。如果第x h时，原油的温度(单位：0C)
x
x
x
x
f (x) lim y lim(2x x) 2x.
x x0
x0
4、 函数
y
f (x) 1 , x
的导数
解：
y
f
(x x)
f
(x)
1 x x
1 x
1 ，
x
x
x x(x x)
f
(x)
lim
x0
y x
lim
x0
1 x(x x)
1 x2
.
一 般 地 ， 可 以 证 明 幂 函 数 y x