浅谈分类讨论思想及其应用

浅谈分类讨论思想及其应用

分类讨论思想方法是研究与解决数学问题的重要思想之一,在中学数学应用中十分广泛,

本文从分类讨论的原则、分类讨论的步骤及应用环境出发,辅以一定例题,着重分析讨论了分

类讨论思想在中学数学中应用的一般原则、方法、技巧及应用环境

分类讨论思想的概念

由于数学研究对象的属性不同,影响了研究问题的结果,从而对不同属性的对象进行研

究的思想；或者由于在研究问题过程中出现了不同情况,从而对不同情况进行分类研究的思

想,我们称之为分类讨论思想,其实质是一种逻辑划分的思想.从思维策略上看,它是把要解

决的数学问题,分解成可能的各个部分,从而使复杂问题简单化,使“大”问题转化为“小”问题,

便于求解.通过正确的分类可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答,做到正确的分

类,必须遵循一定的原则,以保证分类科学、统一,不重复、不遗漏,并力求最简.

分类讨论的原则

从某种意义上讲,分类讨论是不得已而为之的事情,通过协调、缓和“矛盾”达,到运用知

识合理解决问题的思想方法.那如何进行分类讨论呢？分类讨论必须要遵循一定的原则,才

能使分类科学、严谨,从而正确、合理地解题,分类讨论原则有同一性原则、互斥性原则、

层次性原则.

1.同一性原则

同一性原则简言之即“不遗漏”可,以通过集合的思想来解释,如果把研究对象看作全集l,A i 1 n是I的子集，并以此分类，且A i U A2U- A n=I,则称这种分类（A i,A2…A n）符

合同一性原则•比如，我们若把实数R分成正实数R+与负实数R「,那这种分类不符合同一性原则，因为R= R+U R「U{ 0}，则这种分类方法遗漏了零.在下面的例子中来讨论同一性原

则的应用：

例1:已知直线l:4x ysin 1 0 ,求它的斜率及斜率的取值范围、倾斜角的取值范围.

分析：直线l的方程中y的系数是sin ，而sin的值域是1,1 , sin值可取零, 但sin =0时斜率不存在，故视sin为研究对象I 1,1 , A10 , A 1,0 0,1 ,

A i,A都是I的子集，且A i U A2=I,满足同一性原则，作如下分类讨论:

⑴ 当sin =0,即0 = n( k Z )，直线I 的斜率不存在，倾斜角

4

⑵ 当Sin 工(:即0 kn (k Z ),直线I 的斜率k==^,并且由

sin

1 1

-1 = sin = 0,0= sin = 1,得出—1 三 ___ >— X , + CX5>

sin sin 为，4 4,

直线倾斜角a 取值范围为arctg 4, arctg 4

，求a 的取值范围.

-1,2,4 ,且A ，则集合A 可能是空集、单元素集合和两个元素集合，而集合A 的元素

是一个一元二次方程的解集，即一元二次方程可能是无解、两个相等的解或两个不相等的 实根，因此要分三类讨论，求出a 的取值范围，此题研究对象是一元二次方程 x 2— ax+4=0的 根的判别式△，分成大于零，小于零和等于零这三种情况，这种分类符合同一性原则，没有遗 漏任一情况.

(1)当^ =a 2— 16< 0,即-4< a < 4 时，因为 A= ?满足 A ,所以 a 4,4 ；

⑵当^ =0,即 a=±l 时，由 A 得 a=4;当^> 0，即 a >4 或 a <- 4 时,A B

综上可得，当a 4,4时,A

2.互斥性原则

由同一性原则可以看出，在分类讨论时，同一性仅仅考虑了 不遗漏”但是对于全集I 来

说,A 1,A 2…A n 在满足A 1U A 2U-U A n =I 的前提下，并不能保证A i nA j = (i,j n,i j),即在 分类讨论中不能避免重复讨论，使讨论复杂，互斥性原则则解决了这一问题，即对于研究对象 I, A i (i=1…n)是I 子集，且作为分类的标准 若A i nA j = (i,j n, i j ),则称这种分类符合互

斥性原则,互斥性原则的重要性在下面例子中可以很明显地显露出来

. 例3:某车间有10名工人，其中4人仅会车工,3人仅会钳工，另外三人车工、钳工都会, 现需选出6人完成一件工作需要车工、钳工各 3人，问有多少种选派方案?

分析：如果先考虑钳工，因为6人会钳工，故有C 3

种选法，但这时不清楚选出的钳工中有 几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的7人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法 三1, k 的取值范围

例2: 已知集合A= x

x 2 — ax+4=0,x R, a R ,B= x x 3- 5x 2+2x+8=0,b R

分析: 由于

x 3-5x 2+2x+8=0, b R x (x+1)(x — 2)( x -4)=0

确定是从7人中选,还是从6人、5人、4人中选，同样,如果先考虑车工也会遇到同样的问题, 因此需对全能工人进行分类，因为有3人是全能的，故有四种不同的情况可能出现，具体如 下:

(1)选出的6人中不含全能工人；(2)选出的6人中含一名全能工人;

(3)选出的6人中含二名全能工人；(4)选出的6人中含三名全能工人;

故有 c ： c ； c 3 c ： c 3* 2 c 3 C 42 c ； c ； c 3 c ； c ； c 4 c ； c ； c ： p 2

c i C ； C ； c 3 C ； 249

注意：选出的全能工人 ,既会车工，又会钳工，这两种情况也需分开来进行讨论，这种分类 方法避免了重复出现的机会 ，不遗漏任一情况，一般地,互斥性原则在排列组合中应用十分 广泛.

3.层次性原则

如果在解决某一问题时，需要分类讨论，当确定了某一标准进行分类讨论后，问题并没

有得到解决,还需要继续进行分类讨论，这时，我们称之为两个不同层次的讨论，这就是分类讨 论的层次性，而分类讨论的层次性原则是指分类讨论必须按同一标准的层次进行

，不同标准

的不同层次的讨论不能混淆，层次性原则实质上就是要求有层次的分类讨论不错位

例4：解关于x 的不等式：ax 2-(a+1)x+1 < 0 a R

分析：这是一个含参数 a 的不等式，它不一定是二次不等式，故首先应对二次项系数 a

进行分类,a=0和aM0当 a^G 时，不等式是一元二次不等式，不等式的解集可能是两根之外，也 可能处于两根之间，故又须分a >0和a <0两种，确定了这一层后，又会出现1与-的大小问 a 题,又需将a 与1之间进行分类，分三层讨论，具体过程如下:

(1)当a=0时,原不等式化为

1 (2)当a 工0时原不等式化为

a(x — 1)(x -- ) a i 若a < 0,则化为 ii.若a >0,则化为 1 a).a > 1 时，一< 1 1 (X — 1)(x ——) >0 a 1 (x — 1)(x — —) < 0 a -< x < 1 ； a x > 1 或 x < — 1 b).a=1 时，—=1 a 解是空集 1

c).0< a < 1 时，->

a 层次性中,同一性要求分类不遗漏，互斥性