复变函数的解析性5

注意： 注意：上述条件不是充分的
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定理一 可微的充分必要条件
设函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 定义在区域 D 内, 则 f ( z ) 在 D内一点 z = x + yi 可导的充要条 件是 : u( x , y ) 与 v ( x , y ) 在点 ( x , y ) 可微 , 并且在该 点满足柯西－ 点满足柯西－黎曼方程 ∂u ∂v ∂ u ∂v = , =− . ∂x ∂y ∂y ∂x
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∆u + i∆v ⇒ lim =f '( z ) ∆x → 0 ∆x + i∆y ∆y →0
∆u ∆v ⇒ lim +i lim =f '( z ), ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x ∆y = 0 ∆y = 0 ∆u ∆v lim + lim =f '( z ) ∆x = 0 i ∆y ∆x = 0 ∆y ∆y → 0 ∆y → 0
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典型例题
判定下列函数在何处可导, 在何处解析: 例1 判定下列函数在何处可导 在何处解析
(1) w = z;
解 (1) w = z ,
( 2) f ( z ) = e x (cos y + i sin y );
u = x, v = − y,
( 3) w = z Re( z ). ∂u ∂u ∂v ∂v = 1, = 0, = 0, = − 1. ∂y ∂x ∂x ∂y
域 D 内解析的充要条件是 : u( x , y )与 v ( x , y ) 在 D 内可微 , 并且满足柯西－黎曼方 程 . 并且满足柯西－
解析函数的判定方法: 解析函数的判定方法:
(1) 如果能用求导公式与求 导法则证实复变函 数 f ( z ) 的导数在区域 D 内处处存在 , 则可根据 解析函数的定义断定 f ( z ) 在 D 内是解析的 . ( 2) 如果复变函数 f ( z ) = u + iv 中 u, v 在 D 内 的各一阶偏导数都存在 、连续(因而 u, v ( x , y ) 可微 )并满足 C − R 方程, 那么根据解析函数 的充要条件可以断定 f ( z ) 在 D 内解析.
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思考题
复变函数 f ( z ) 在点 z0 可导与在 z0 解析有无区别 ?
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思考题答案
f ( z ) 在点 z0 解析必在 z0 可导, 反之不对 反之不对.
例如 f ( z ) = z 在 z0 = 0 处可导,
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但在 z0 = 0 处不解析.
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三、函数解析的充要条件
1. 柯西－黎曼 柯西－黎曼(C-R)条件的由来： 条件的由来： 条件的由来
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例2 解
讨论 f ( z ) = Im z的可导性 .
f ( z + ∆z ) − f ( z ) Im( z + ∆z ) − Im z ∆f = = ∆z ∆z ∆z
Im z + Im ∆z − Im z Im ∆z = = ∆z ∆z
∆y Im( ∆x + i∆y ) , = = ∆ x + i∆ y ∆ x + i∆ y
函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) 在区域D 内有定义, 在 D内一点 z = x + yi 可导,u,v的偏导数存在
f ( z + ∆z ) − f ( z ) ⇒ lim =f '( z ) ,设 ∆z = ∆x + i∆y, ∆z → 0 ∆z f ( z + ∆z ) − f ( z ) = ∆u + i∆v
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求f ( z ) = z 2的导数 . 例1
解
f ′( z ) = lim f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆z
∆z → 0
( z + ∆z ) 2 − z 2 = lim ∆z → 0 ∆z = lim ( 2 z + ∆z ) = 2z .
∆z → 0
′ = 2z (z )
2
4
2
在定义中应注意: 在定义中应注意
z0 + ∆z → z0 (即∆z → 0)的方式是任意的 .
即 z 0 + ∆ z 在区域 D 内以任意方式趋于 z 0时 , f ( z0 + ∆ z ) − f ( z0 ) 比值 都趋于同一个数 . ∆z
如果函数 f ( z ) 在区域 D 内处处可导, 我们 就称 f ( z ) 在区域 D 内可导.
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小结与思考
理解复变函数导数与微分以及解析函数的 概念; 掌握连续、可导、 概念 掌握连续、可导、解析之间的关系以及 求导方法. 求导方法 注意: 注意 复变函数的导数定义与一元实变函数 的导数定义在形式上完全一样, 的导数定义在形式上完全一样 它们的一些求 导公式与求导法则也一样, 导公式与求导法则也一样 然而复变函数极限 存在要求与z 趋于零的方式无关, 存在要求与 趋于零的方式无关 这表明它在 一点可导的条件比实变函数严格得多. 一点可导的条件比实变函数严格得多
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关于定理一的说明： 关于定理一的说明： •1.二元实函数可微的充分条件 •2.求导公式
∂u ∂v ∂v ∂u f ′( z ) = +i = −i . ∂x ∂x ∂y ∂y
3. 函数解析的充要条件
1. 二元实函数可微的充分条件
若二元函数 u 和 v 在区域 D 内具有一阶连续偏 导数，则 u 和 v 在区域 D 内可微. 注意不是必要条件
f ′( z ) g ( z ) − f ( z ) g ′ ( z ) f ( z ) ( 5) . ( g ( z ) ≠ 0) 2 = g (z) g( z ) ( 6)
{ f [ g( z )]}′ = f ′( w ) g′( z ). 其中 w = g( z )
1 ( 7 ) f ′( z ) = , 其中 w = f ( z )与 z = ϕ ( w )是 ϕ ′( w ) 两个互为反函数的单值 函数 , 且 ϕ ′( w ) ≠ 0
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1 例3 研究函数 w = 的解析性 . z
解
1 因为 w = 在复平面内除 z = 0 处处可导, z dw 1 且 =− 2, dz z
所以 w在复平面内除 z = 0 外处处解析 ,
z = 0 为它的奇点 .
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课堂练习 研究函数 f ( z ) = z Re( z ) 的可导性与解析性 .
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2. 奇点的定义
如果函数f ( z ) 在z0不解析, 但在z0的任意邻域内 总有f ( z )的解析点，则称z0为f ( z ) 的奇点.
根据定义可知: 根据定义可知 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的 区域内解析与在区域内可导 但是,函数在一点处解析与在一点处可导是 但是 函数在一点处解析与在一点处可导是不等 函数在一点处解析与在一点处可导 的概念. 即函数在一点处可导, 价的概念 即函数在一点处可导 不一定在该点 处解析. 处解析 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高 得多. 得多
∆z → 0
lim
∆z ∆z
= lim
∆z → 0
∆z ∆z
f ( z ) − f ( z0 ) 存在 = lim z → z0 z − z0 那么就称f ( z )在z0可导.这个极限值称为f ( z )在z0 这
的导 数,
dw 记作 f ′( z0 ), dz
df ( z ) , . d z z = z0 z = z0
2.记住求导公式
∂u ∂v ∂v ∂u f ′( z ) = +i = −i . ∂x ∂x ∂y ∂y
根据二元实函数可微的充分条件， 根据二元实函数可微的充分条件，可以得 在区域D内一 到函数 w = f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 在区域 内一 点可微的充分条件
( 2) ( z n )′ = nz n−1 , 其中 为正整数 . 其中n
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( 3) ( 4)
[ f ( z ) ± g ( z )] [ f ( z ) gபைடு நூலகம்( z )]
′
′ ]
= f ′( z ) ± g′( z ).
′ ]
= f ′( z ) g ( z ) + f ( z ) g′( z ).
∂u ∂u ∂v ∂v （1） , , , 在点( x , y )是连续的 ∂x ∂y ∂x ∂y （2）在该点满足柯西－黎曼方程
∂u ∂v , = ∂x ∂y
∂u ∂v =− . ∂y ∂x
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3. 函数在区域内解析的充要条件
函数在区域 D 内解析的充要条件
定理二
函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 在其定义
1 ∆y f ( z + ∆z ) − f ( z ) ∆f = lim = , lim = lim ∆ y → 0 ∆ x + i∆ y ∆z → 0 ∆ z ∆z → 0 i ∆z ∆x = 0
当点沿不同的方向使 ∆ z → 0时 , 极限值不同 ,
故 f ( z ) = Im z在复平面上处处不可导 .
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二、解析函数的概念
1. 解析函数的定义
如果函数 f ( z ) 在 z0 及 z0 的邻域内处处可 导, 那末称 f ( z ) 在 z0 解析.
如果函数 f ( z )在 区域 D内每一点解析, 则称 f ( z )在 区域 D内解析. 或称 f ( z )是 区域 D 内的一 个解析函数(全纯函数或正则函数).
设函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 定义在区域 D 内, 则 f ( z ) 在 D内一点 z = x + yi 可微的必要条 件是: u （1） ( x , y ) 与 v ( x , y ) 在点 ( x , y ) 关于x和y的偏导数存在
（2）在该点满足柯西－黎曼方程 ∂u ∂v ∂u ∂v , = =− . ∂x ∂y ∂y ∂x
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4.求导法则 求导法则: 求导法则 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致, 数中导数的定义在形式上完全一致 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 数中的极限运算法则也和实变函数中一样 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 到复变函数中来 且证明方法也是相同的 求导公式与法则: 求导公式与法则 (1) (c )′ = 0, 其中 为复常数 . 其中c
当点沿平行于实轴的方 向( ∆y = 0)而使 ∆z → 0时,
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∆y ∆f f ( z + ∆z ) − f ( z ) = lim = 0, lim = lim ∆ x → 0 ∆ x + i∆ y ∆z → 0 ∆ z ∆z → 0 ∆z ∆y = 0
当点沿平行于虚轴的方 向( ∆x = 0)而使 ∆z → 0时,
2.微分的概念 微分的概念: 微分的概念 复变函数微分的概念在形式上与一元实变 函数的微分概念完全一致. 函数的微分概念完全一致
函数 w = f ( z )在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
如果函数 f ( z )在 区域 D内处处可微, 则称 f ( z )在 区域 D内可微.
3.可导与连续 可导与连续: 可导与连续 处一定连续, 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续 但 处可导.并且在 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导 并且在 复变函数中， 复变函数中，处处连续而处处又不可导的函数几 乎随手可得
∂u ∂v ∂u ∂v ⇒ +i =f '( z ) =－i + ∂x ∂x ∂y ∂y
∂u ∂v ∂u ∂v ⇒ +i =f '( z ) =－i + ∂x ∂x ∂y ∂y
∂u ∂v ∂u ∂v ⇒ = , =－ (C-R条件) ∂x ∂y ∂y ∂x
总结我们上面的讨论， 总结我们上面的讨论，能得到函数在一点可微的必 要条件
第三节
复变函数解析性
一、复变函数的导数与微分 二、解析函数的概念 三、解析的充要条件 四、解析函数与调和函数
一、复变函数的导数与微分
1.导数的定义 导数的定义: 导数的定义 设函数w = f ( z )为定义于区域 D内的单值函 数, z0 为D 内的一点, 并记∆z =z -z0 , ∆ω =f (z )-f (z0 ). f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) ∆ω 如果极限