理论力学6—刚体的基本运动

w1 r2 i12 w2 r1
例6-1
齿轮Biblioteka Baidu动是工程上常见的一种传动方式，可用来改变转速和 转向。如图，已知r1、r2、ω1、1，求ω2、2。 解：因啮合点无相对滑动，所以
v1 v2 , a 1 a 2
由于
v1 r1w1 , v2 r2w2
a 1 r11 , a 2 r2 2
即：定轴转动刚体内任一点的速度, 等于该点的转动半径与刚体角速度 的乘积。 式中v与ω两者正负相同。故速度是沿着点M的轨迹圆周的切 线，指向转动前进的一方。
6.3 转动刚体内各点的速度和加速度
即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴 线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一 方。
解：圆轮在任一瞬时的角速度和角加速度为
dj w 2t 4 dt
当t=1s时，则为
d 2 2 2 dt
M v a n
a
O
R
2 2 rad / s w 2rad / s
A
因此轮缘上任一点M的速度和加速度为
2 2 2 a R w 0 . 8 m / s a R 0.4 m / s v Rw 0.4m / s n
6.2 刚体绕定轴的转动
匀变速转动公式 w w0 t
1 2 0 w0t t 2
2 w 2 w0 2 ( 0 )
工程上常用转速 n 来表示刚体转动的快慢。 n 的单位是转 / 分 (r/min)，ω与n的转换关系为
2 w n n 0.1n 60 30
例6-5
刚体绕定轴转动，已知转轴通过坐标原点O,角速度矢为
w 5sin

t
2
i 5cos
t
2
j 5 3k
求：t =1s时,刚体上点M（0，2，3）的速度矢及加速度矢。
dw a r wv r wv dt
15 75 3 i 200 j 75k 2
6.1 刚体的平行移动
刚体的两种最简单的运动是平行移动和定轴转动。以后可 以看到，刚体的更复杂的运动可以看成由这两种运动的合 成。因此，这两种运动也称为刚体的基本运动。
1. 刚体的平动
在运动过程中，刚 体上任意一条直线 都与其初始位置保 持平行。具有这种 特征的刚体运动， 称为刚体的平行移 动，简称为平动。
6.3 转动刚体内各点的速度和加速度
当刚体绕定轴转动时，刚体内任意一点都作圆周运动，圆心在 轴线上，圆周所在的平面与轴线垂直，圆周的半径 R 等于该点 到轴线的垂直距离。 由于点M绕点O作圆周运动，用自然法表示。点M的弧坐标为
s Rj
动点速度的大小为
ds dj v R Rw dt dt
n1
n2
n3 4
n1 n1 n2 Z 2 Z 4 i13 34.8 n3 n2 n3 Z1 Z3
则有：
n1 3000 n3 86r / min i13 34.8
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
1、角速度矢量和角加速度矢量
角速度矢量
大小
6.2 刚体绕定轴的转动
如图，两平面间的夹角用φ表示，称为刚体的转角。
转角φ是一个代数量， 它确定了刚体的位置 。
它的符号规定如下：自z 轴的正端往负端看，从 固定面起按逆时针转向 计算取正值；按顺时针 转向计算取负值。并用 弧度(rad)表示。
6.2 刚体绕定轴的转动
当刚体转动时，角j是时间t的单值连续函数，即
但是，全加速度a与转动半径R的夹角，却与转动半径无关。 即：在任一瞬时，定轴转动刚体内各点的加速度与其转动半径 的夹角θ都相同。 平面上各点加速度的分布如图。


6.4 轮系的传动比
１、齿轮传动 ① 啮合条件
R1w1 vA vB R2w2
② 传动比
w1 R2 z2 i12 w2 R1 z1
6.3 转动刚体内各点的速度和加速度
点M的加速度有切向加速度和法向加速度。


6.3 转动刚体内各点的速度和加速度
切向加速度为：
dv d ( Rw ) dw a R R dt dt dt
即：转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于刚体的角 加速度与该点到轴线垂直距离的乘积。
它的方向由角加速度的符号决定，当 是正值时，它沿圆周 的切线，指向角φ的正向；否则相反。 法向加速度为：
6.2 刚体绕定轴的转动
在刚体运动的过程中，若刚体上或其延伸部分上有一条直线始 终不动，具有这样一种特征的刚体的运动称为刚体的定轴转动， 简称转动。该固定不动的直线称为转轴。 刚体定轴转动的特点 当刚体作定轴转动时，转动轴以外的各点都分别在垂直于转轴 的平面内作圆周运动，圆心在该平面与转轴之交点上。 定轴转动实例
解：
dw dw d dw w dt d dt d dw w 0.2 d
P ε ω
w wdw
0
w
4
0
0.2 d
2 2 0
w 0.2(4 ) w w 8.221rad / s v rw 6.166m / s
2
例6-4
下图是一减速箱，它由四个齿轮组成，其齿数分别为 Z1=10 ， Z2=60 ， Z3=12 ，Z4=70 。 (a) 求减速箱的总减速比 i13 ； (b) 如 果n1=3000r/min，求n3. 1 2 3 解：求传动比：
( Rw ) 2 2 an Rw R v2
即：转动刚体内任一点的法向加速度 (又称向心加速度)的 大小，等于刚体角速度的平方与该点到轴线的垂直距离的 乘积，它的方向与速度垂直并指向轴线。
6.3 转动刚体内各点的速度和加速度
如果ω与同号，角速度的绝对 值增加，刚体作加速转动，这 时点的切向加速度 aτ 与速度 v 的指向相同。 如果ω与异号，刚体作减速转 动，aτ与v的指向相反。 点的全加速度为：
6.2 刚体绕定轴的转动
角速度对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角加速度，用字母 表示，即 dw d 2j 2 j w dt dt 角加速度表征角速度变化的快慢，其单位用rad/s2 (弧度/秒2) 表示。角加速度也是代数量。 和ω正负相同，则角速度的绝对值随时间而增大，即刚体作 加速转动。 反之，两者正负不同，则角速度的绝对值随时间而减小，即 刚体作减速转动。 但减速转动只到ω=0时为止。刚体由静止开始的转动都是加 速转动。
dv d a w r dt dt dw dr r w dt dt
加速度
r wv at an
at r
M点切向加速度 M点法向加速度
an w v w (w r )
j f (t )
这就是刚体绕定轴转动的运动方程。 转角j对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度，用w表示:
dj w j dt
角速度的大小表示刚体在该瞬时转动的快慢，即单位时间内 转角的变化。当转角φ随时间而增大时，ω为正值，反之为负 值，这样，角速度的正负号确定了刚体转动的方向。 角速度是代数量，从轴的正端向负端看，刚体逆时针转动时角 速度取正值，反之取负值。
因此，研究刚体的平动，可以归结为研究刚体内任一点的运 动。
6.1 刚体的平行移动
平动刚体上各点的速度
平动刚体上各点的加速度
6.1 刚体的平行移动
注意：平动刚体内的点，不一定沿直线运动，也不一定保持 在平面内运动，它的轨迹可以是任意的空间曲线。 如果平动刚体内各点的轨迹都是平面曲线或直线，则这些特 殊情形称为平面平动或直线平动。 由上述定理可见：
上式两边求一阶及二阶导数，则得
A
v A vM
因此
a A aM

v A 0.4m / s
a A 0.4m / s 2
例6-3
在刮风期间，风车的角加速度 0.2 rad / s2，其中转角θ以rad 计。若初瞬时 0 0, w0 6rad / s，其叶片半径为0.75m 。试求 叶片转过两圈（ 4 rad ）时其顶端P点的速度。
10 3i 15 j 10k
例6-6
某定轴转动刚体通过点M0（2，1，3），其角速度矢w 的方向 余弦为0.6，0.48，0.64，角速度 的大小ω=25rad/s 。求：刚体上点
M（10，7，11）的速度矢。

解：角速度矢量
（0.6， 0.48，0.64） w w n 其中 n
r1 r1 w2 w1 , 2 1 r2 r2
1
r1
w1
O1 v 1 v2 aτ1 aτ2
w2
O2 r2
2
于是可得
即
w1 1 r2 w2 2 r1
例6-2
2 一半径为R=0.2m的圆轮绕定轴O的转动方程为 j t 4t ， 单位为弧度。求t=1s时，轮缘上任一点M的速度和加速度。如 在此轮缘上绕一柔软而不可伸长的绳子并在绳端悬一物体A， 求当t=1s时，物体A的速度和加速度。
6.1 刚体的平行移动
平动的实例
夹 板 锤 的 锤 头
6.1 刚体的平行移动
2. 平动的特点
定理：当刚体作平动时，刚体内所有各点的轨迹形状完 全相同，而且在每一瞬时，刚体各点的速度相等，各点 的加速度也相等。 证明：
rA rB BA
◆速度 刚体平动时，刚体内任一线段AB 的长度和方向都保持不变。 因而 x
O
z
A
vA
A1
A2
aA
vB
B1
rA
B
rB
aB
B2
y
d BA 0 dt
6.1 刚体的平行移动
故
d d rA rB dt dt
即
v A vB a A aB
◆加速度 上式再对时间t求导一次，即得
即，在每一瞬时，平动刚体内任意两点的速度和加速度分别 相等。 ◆轨迹
由于平动刚体内各点的速度、加速度始终相同，所以刚体内所 有各点的轨迹形状完全相同。
6.4 轮系的传动比
w1 R2 i12 w2 R1
即：相互啮合的两齿轮的角速度之比与它们节圆半径成反比。 由于齿轮齿数与其节圆半径成正比，故
w1 z2 i12 w2 z1
即：相互啮合的两齿轮的角速度之比及角加速度之比与它们的 齿数成反比。
6.4 轮系的传动比
２、带轮传动
r1w1 vA v A vB vB r2w2
dj ww dt
角速度矢沿轴线，弯向表示刚体转动的方向。 指向用右手螺旋法则。
w wk
角加速度矢量 dw dw k k dt dt
§6-5 以矢量表示角速度和角加速度.以矢积表示点的速度和加速度
2、绕定轴转动刚体上点的速度和加速度
速度
大小 w r sin w R v v wr 方向 右手法则
方向如图所示。
M点的全加速度及其偏角为
2 a a2 an (0.4) 2 (0.8) 2 0.894 m / s 2
arctg 2 arctg0.5 26 34 w
a M a an
O
R
如图所示，现在求物体A的速度和加速度。因为
s A sM
当刚体作平动时，只须给出刚体内任意一点的运动，就可以 完全确定整个刚体的运动。这样，刚体平动问题就可看为点 的运动问题来处理。 这样，刚体平动问题就可看为点的运动问题来处理。
综上所述，可以得出刚体平动的特点： 1、平动刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹。 2、平动刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度和加速度。 3、刚体平动时的运动分析可以简化为其上任意一点(一般取为 质心)的运动分析。������ ������


a a a R w
2 2 n 2
4
a tan 2 an w
(1) 在每一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小， 分别与这些点到轴线的垂直距离成正比。 (2) 在每一瞬时，刚体内所有各点的加速度α与半径间的夹角θ 都有相同的值。
6.3 转动刚体内各点的速度和加速度