《三角函数的诱导公式(一)》第一课时课件

[导入新知] 1．诱导公式二 (1)角 π＋α 与角 α 的终边关于 如图所示．
原点
对称．
(2)公式：sin(π＋α)＝ －sin α . cos(π＋α)＝－cos α . tan(π＋α)＝ tan α .
2．诱导公式三 (1)角－α 与角 α 的终边关于 x 轴对称． 如图所示．
(2)公式：sin(－α)＝ A－sin α. cos(－α)＝ cos α . tan(－α)＝ －tan α .
解： sin 585° cos 1 290° ＋ cos( － 30° )sin 210° ＋ tan 135° ＝ sin(360°＋ 225° )cos(3×360°＋ 210) ＋ cos 30° sin 210°＋ tan(180° －45° )＝sin 225° cos 210° ＋cos 30° sin 210° －tan 45° ＝ sin(180° ＋ 45° )cos(180° ＋ 30° ) ＋ cos 30° · sin(180° ＋ 30° )－ 2 3 tan 45° ＝sin 45° cos 30° －cos 30° sin 30° －tan 45° ＝ × 2 2 6－ 3－4 3 1 － × －1＝ . 2 2 4
[例 2]
cos－αtan7π＋α (1)化简： ＝________； sinπ－α
sin1 440° ＋α· cosα－1 080° (2)化简 . cos－180° －α· sin－α－180°
(1)[ 解 析 ]
cos－αtan7π＋α cos αtanπ＋α ＝ ＝ sin α sinπ－α
1 (2)已知 cos(α－55° )＝－ ，且 α 为第四象限角，求 sin(α 3 ＋125° )的值．
(1)[解析] ∵cos(α＋β)＝－1， ∴α＋β＝π＋2kπ，k∈Z， 1 ∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－ . 3
问题 2：任意角 α 与－α 的终边有怎样的位置关系？它 们与单位圆的交点有怎样的位置关系？试用三角函数的定 义验证－α 与 α 的三角函数值的关系．
提示：α 与－α 的终边关于 x 轴对称，它们与单位圆的 交点 P1 与 P2 关于 x 轴对称，设 P1 的坐标为(x，y)，则 P2 的 坐标为(x， －y)． sin(－α)＝－y＝－sin α， cos(－α)＝x＝cos α， y tan(－α)＝－x＝－tan α.
π π 119π π 3 (3)cos ＝cos20π－6 ＝cos－6 ＝cos ＝ . 6 6 2
[类题通法] 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
[活学活用] 求 sin 585° cos 1 290° ＋cos(－30° )sin 210° ＋tan 135° 的值．
cos α· tan α sin α ＝ ＝1. sin α sin α
[答案] 1
(2)[ 解 ]
sin4×360° ＋α· cos3×360° －α 原式＝ ＝ cos180° ＋α· [－sin180° ＋α]
sin α· cos－α cos α ＝ ＝－1. －cos α· sin α －cos α
tan－θsin－θcos－θ tan θsin θcos θ 解：原式＝ ＝ ＝ cos θsin θ －cos θsinπ＋θ tan θ.
[例 3] 的值为( A．1 1 C. 3
1 (1)已知 sin β＝ ，cos(α＋β)＝－1，则 sin(α＋2β) 3 ) B．－1 1 D．－ 3
[类题通法] 利用诱导公式一～四化简应注意的问题 (1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一 角的目的； (2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号 有没有改变； (3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般 采用切化弦，有时也将弦化切．
[活学活用] tan2π－θsin2π－θcos6π－θ 化简： . －cos θsin5π＋θ
第一课时
三角函数的诱导公式(一)
[提出问题] 问题 1：锐角 α 的终边与 180° ＋α 角的终边位置关系如 何？它们与单位圆的交点的位置关系如何？任意角 α 与 180° ＋α 呢？
提示：无论 α 是锐角还是任意角，180° ＋α 与 α 的终边 互为反向延长线，它们与单位圆的交点关于原点对称．
问题 3：任意角 α 与 π－α 的终边有何位置关系？它们与单 位圆的交点的位置关系怎样？试用三角函数定义验证 α 与 π－α 的各三角函数值的关系？
提示：α 与 π－α 的终边关于 y 轴对称， 如图所示，设 P1(x，y)是 α 的终边与单位圆的 交点，则 π－α 与单位圆的交点为 P′(－x，y)， P1， P′关于 y 轴对称， 由三角函数定义知， sin(π y －α)＝y＝sin α，cos(π－α)＝－x＝－cos α，tan(π－α)＝ ＝ －x －tan α.
[例 1]
求下列三角函数值：
119π (1)sin(－1 200° )；(2)tan 945° ；(3)cos . 6
[解 ]
(1)sin(－1 200° )＝－sin 1 200° ＝－sin(3×360° ＋
Hale Waihona Puke Baidu
3 120° )＝－sin 120° ＝－sin(180° －60° )＝－sin 60° ＝－ ； 2 (2)tan 945° ＝tan(2×360° ＋225° )＝tan 225° ＝tan(180° ＋ 45° )＝tan 45° ＝1；
3．诱导公式四 (1)角 π－α 与角 α 的终边关于 y 轴对称． 如图所示．
(2)公式：sin(π－α)＝ sin α . cos(π－α)＝ －cos α . tan(π－α)＝ －tan α .
[化解疑难] 对诱导公式一～四的理解 (1)公式两边的三角函数名称应一致． (2)符号由将 α 看成锐角时 α 所在象限的三角函数值的 符号决定．但应注意，将 α 看成锐角只是为了公式记忆的 方便，事实上 α 可以是任意角．