灰色系统分析方法

x ( 0 ) ( k ) az (1) ( k ) b
当 k 2,3,, n 时有
（5）
x ( 0) (2) az (1) (2) b ( 0) (1) x (3) az (3) b x ( 0) (n) az (1) (n) b
当生成系数 0.5 时，则称
z (0) (k ) 0.5x (0) (k ) 0.5x (0) (k 1)
为邻均值生成数，即等权邻值生成数.
定义非邻值生成数：
(4)
z (0) (k ) x (0) (k 1) (1 ) x (0) (k 1) 和 z (0) (k ) 0.5x (0) (k 1) 0.5x (0) (k 1) 而数列 z (0) ( z (0) (1), z (0) (2),, z (0) (n)) 称为均值(MEAN)
2013年7月8日
1. GM(1,1)模型---GM(1,1)模型定义
参数向百度文库 u 的确定方法： 如果存在 ( B B) ，由最小二乘法则
T 1
ˆ)T (BT B) 1 BT YN . u (a, b ˆ ˆ
CD (n 1) E ˆ DF CE a ,b ˆ 2 (n 1) F C (n 1) F C 2
dx ax(1) (t ) b dt
称之为模型 GM(1,1)的白化型.
(1)
（6）
2013年7月8日
二、灰色模型ＧＭ(1,N)
2. GM(1, N )模型----GM(1,N)的定义
GM(1,N )即表示模型是１阶的，包含有Ｎ个变量的灰色模型. 设系统有Ｎ个行为因子，即原始数列为
x x (1), x (2),, x (n) , i 1,2,, N
5 2013年7月8日
一、灰色系统分析的基本概念
2. 灰色关联分析 (1) 单因子的情况
如果系统的行为只有一个因子 x0 ，而 x0 受到多种因素 一种利用因素 x i 对因子 x0 的灰关联 xi (i 1,2,, n) 的影响， 度来表示 x i 对 x0 影响大小的方法，则称为灰关联分析. 设系统行为因子 x0 的参考数列为
4 2013年7月8日
一、灰色系统分析的基本概念
1 . 灰数的概念及其表示法
~ 如果 为灰数 的白化默认（即对形象、形态、实体、数 ~ 是白化数 的全体. 字的默认）数，简称为白化数，则灰数
如果 是离散灰数，则有
~ ~ A {x(k ) | k K {1,2,, n}} 如果灰数 中的白化数是按区间连续分布的，则有 ~ ~ It(a, b) {[a, b], (a, b),[a, b), (a, b]}
生成数列.
2013年7月8日
二、灰色模型ＧＭ(1,N)
1. GM(1,1)模型 （1） GM(1,1)的定义
设x
(1) (0)
为 n 个元素的数列 x (0) x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (n) ，
(0)


数列 x 为 x 其中 x (1) (k )
的 AGO 生成数列
YN ( x (0) (2), x (0) (3), , x (0) (n))T , z (1) (2) (1) T z (3) u ( a, b) , B (1) z ( n) 1 1 1
，
YN 为数据向量， B 为数据矩阵， u 为参数向量，则 GM(1,1)可 以表示为矩阵方程 YN B u .
其中
C z (k ), D x (k ), E z (k )x (k ), F z (k ) .
(1) ( 0) (1) ( 0) (1) 2 k 2 k 2 k 2 k 2
2013年7月8日
n
n
n
n


1. GM(1,1)模型---GM(1,1)的白化型
x ( 0 ) (k ) az (1) (k ) b （5）
i 1
k
（3）
则称 x (1) (k ) 为数列 x 称为数列 x
(0)
(0)
x (1) x (1) (1), x (1) (2),, x (1) (n)
的１－次累加生成数列.

的１－次累加生成，数列

2013年7月8日
一、灰色系统分析的基本概念
3. 灰色生成数列---累加生成数列
类似地有
2013年7月8日
一、灰色系统分析的基本概念
3. 灰色生成数列 （1）累加生成数列
把数列各时刻数据依次累加的过程称为累加生成过程， 记为 AGO.由累加生成过程所得新数列称为累加生成数列.
设原始数列为 x (0) x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (n) ，令


x (1) (k ) x (0) (i) (k 1,2,, n)
x j (t ) 之间的数值是可以比较的，或相等、或接近、或同数量级等.
(2) 数列 x i 之间具有可接近性，即非平等性；
(3) 数列 x i 之间具有同极性。
8 2013年7月8日
一、灰色系统分析的基本概念
2. 灰色关联分析---多因子的情况
r ( xi (k ), x j (k ))
min min min i (k ) maxmaxmaxi (k )
x (1) x (1) (1), x (1) (2),, x (1) (n) ，
i 1 (1)
x
k


( 0)
(i)(k 1,2, , n) .
定义 x
的灰导数为
d (k ) x (0) (k ) x (1) (k ) x (1) (k 1) 。
2013年7月8日
二、灰色模型ＧＭ(1,N)
一、灰色系统分析的基本概念
3. 灰色生成数列---累减生成数列
对原始数据列依次做相邻两个数据的相减运算过程称为累 减生成过程，记为 IAGO.
如 果原始 数据列 为 x (1) x (1) (1), x (1) (2),, x (1) (n) ， 令


x (0) x (1) (k ) x (1) (k 1) k 2,3,, n ，则称 x (0) (k ) 为数列
( 0) i ( 0) i ( 0) i ( 0) i
x (1) 的 1-次累减生成.
( r 1)
对 r -次累加生成数列 x ( r ) x ( r ) (1), x ( r ) (2),, x ( r ) (n) (r 1) ， 则称 x


x (r ) 的 r -次 x (k ) x (k 1) k 2,3,, n 为数列
3 2013年7月8日
一、灰色系统分析的基本概念
1 . 灰数的概念及其表示法
灰数：信息不完全的数。 例如： “那个小姑娘的身高大约有 165 公分左 右， 体重只有 40 公斤左右” 这里的 165 左右和 40 ． ) 公斤左右都是灰数，分别记为 (165 和 (40) .
再如： “他的体温大约在 38 度～39 度之间” ， 关于体温是灰数，记为 (T ) [38,39] .
i j k i j k
i (k ) maxmaxmaxi (k )
i j k
其中常数 [0,1] 为分辨率系数. x j 对 x i 的灰关联度为
1 n rij r ( xi , x j ) r ( xi (k ), x j (k )) (i 1,2,, m; j 1,2,, l ) n k 1
1. GM(1,1)模型---GM(1,1)模型定义
令z
(1)
为数列 x
(1)
的均值（MEAN）数列，即
z (1) (k ) 0.5x (1) (k ) 0.5x (1) (k 1)(k 2,3,, n) ，
则z
(1)
z (1) (1), z (1) (2),, z (1) (n) .
第二十章 灰色系统分析方法
灰色系统分析的基本概念；
灰色系统模型DM； 灰色预测方法； 灰色决策方法； 案例：SARS疫情对某些经济指标影响。
2 2013年7月8日
一、灰色系统分析的基本概念
系统：由客观世界中相同或相似的事物和因素 按一定的秩序相互关联、相互制约而构成一个整体 . 白色系统:具有充足的信息量，其发展变化的 规律明显、定量描述方便、结构与参数具体. 黑色系统:一个系统的内部特性全部是未知的. 灰色系统:介于白色系统和黑色系统之间的.即 系统内部信息和特性是部分已知的，另一部分是未 知的. 灰色系统分析建模方法:根据具体灰色系统的行为 特征数据，利用数量不多的数据信息寻求相关各因 素之间的数学关系，即建立相应的数学模型.
(r ) (r )
2013年7月8日
累减生成.
一、灰色系统分析的基本概念
3. 灰色生成数列 (3) 均值生成 数列
设原始数列 x (0) x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (k 1), x (0) (k ),, x (0) (n) ， 则称 x (k 1) 与 x (k ) 为数列 x 的邻值，x (0) (k 1) 为后邻值，x (0) (k ) 为
6 2013年7月8日
一、灰色系统分析的基本概念
2. 灰色关联分析---单因子的情况
对于所有的点 k 1,2,, n ，则定义比较数列 x i 对参考 数列 x0 的灰关联度为
n
1 ri r ( x0 , xi ) r ( x0 (k ), xi (k )) (i 1,2,, m) (2) n k 1 即用灰关联度 ri 可以表示因素 x i 对行为因子 x0 的关联 （影响）
d (k ) az(1) (k ) b


定义 GM(1,1)的灰微分方程模型为
即
x (0) (k ) az(1) (k ) b
（5）
其中 x ( 0) (k ) 称为灰导数， a 称为发展系数， z (1) (k ) 称为白 化背景值， b 称为灰作用量.
2013年7月8日
1. GM(1,1)模型---GM(1,1)模型定义
对方程(5),如果将 x ( 0) (k ) 的 k 2,3,, n 视为连续变量 t ，
dx (1) (1) (1) (1) ( 0) 则 x 可记为 x x (t ) ，并让 x (k ) 对应于导数 ， dt (1) (1) 背景值 z (k ) 对应于 x (t ) .
GM(1,1)的灰微分方程对应的白微分方程
相关因素为 xi (i 1,2,, n) ，即比较数列为
x0 {x0 (k ) | k 1,2,, n} x0 (1), x0 (2),, x0 (n)
xi {xi (k ) | k 1,2,, n} xi (1), xi (2),, xi (n) (i 1,2,, m)
x (k ) x
(r ) i 1
k
( r 1)
(i) (k 1,2,, n, r 1)
称为 x
(0)
的 r -次累加生成.
(r )
记x
x (r ) (1), x (r ) (2),, x (r ) (n) ，称之为 x ( 0 ) 的 r -次


累加生成数列.
2013年7月8日
( 0)
( 0)


(0)
前邻值.
对常数 [0,1] ，则称
z (k ) x (k ) (1 ) x (k 1)
( 0) ( 0) ( 0)
为由数列 x
(0)
的邻值在生成系数（权） 下的邻值生成数。
2013年7月8日
一、灰色系统分析的基本概念
3. 灰色生成数列 ----均值生成数列
程度.
7
2013年7月8日
一、灰色系统分析的基本概念
2. 灰色关联分析---多因子的情况
设系统行为有多个因子，因子集为 X {xi | i 1,2,, l}. 如果因素数列 x i 满足下列条件，则称 X 为灰关联因子集：
(1) 数列 x i 的数据 xi (k ) 之间具有数值可比性，即指定 xi (k ) 与