双原子分子

§9-5 麦克斯韦速率和速度分布 一、分子速率分布函数 1. 速率分布函数定义： o probability 一般与V 成正比
1 dN f (V ) N dV
代表速率V 附近单位速率区间内分子数占总数比率.
2. 速率分布函数的归一化条件
含义？
dV 速率间隔的分子 数占总分子数的比率
dV 速率间隔的分子数 V1——V2 速率间隔的分子数
导热板
A、B 两体系互 不影响，各自达 到平衡态
A、B 两体系的平衡态有联系， 相互影响，称为热接触。 当两物体的宏观性质不随时 间变化时，称两物体达到热 平衡
2. 热力学第零定律
B A C 实验发现： A 和 B、 A和 C 分别热平衡， 则 B 和 C 一定热平衡。 ——热力学第零定律
v
v=0
M
m
M
m
解： 机械能
内能
v
1 m i 2 mv E RT 2 M 2
M
m
Mv 2 T iR
3kT V
2
1 3 2 t V kT 2 2
2 3 k Mv NA 3k 2 V T i R NA
2 单 i 3 v 3v 双 i 5 3 v 2 i 5 2
统计假设
2
1 2 N ) V Vz V 3
2 y
1 1 1 1 2 2 2 mV x mV y mVz kT 2 2 2 2
对于处于温度为T的平衡态下的系统，其分子在每个
1 自由度上都具有相同的平均动能---- kT 2
t :平动自由度
r :转动自由度
s :振动自由度
分子平均总能量： ( t r 2 s ) 1 kT
3. 宏观量与微观量（系统状态的描述）
宏观量 从整体上描述系统的状态量，一般可以直接测量。 如 :P,V, T等。可分为 M、V、E 等----可以累加，称为广延量。 P、T 等----不可累加，称为强度量。 微观量 描述系统内微观粒子的物理量。 如分子的质量m、 直径 d 、速度 v、动量 p、能量 等。 微观量与宏观量有一定的内在联系。 例如，气体的压强是大量分子撞击器壁的平均效果， 它与大量分子对器壁的冲力的平均值有关。
n1 n2 , T1 T2
P nkT
P1 P2
例题：试求氮气分子的平均平动动能和方均根速率 。设（1）在温度t = 1000℃时；（2）t = 0℃时； （3）t = -150 ℃时。
解：
3 3 23 20 1 kT1 1.38 10 1273 2.63 10 J 2 2
3 21 3 kT3 2.55 10 J 2
3 RT3 v M
2 3
320 m s
1
例题： 20% 吸收 解：
P ?
T,n
Vi
Vix dt
dS
P nkT 0.8nkT 0.2nkT P 0.8nkT 0.1nkT 0.9nkT
§9-4 能量均分定理
第 9 章 平衡态与分子热运动 的统计规律
§9-1 热力学平衡态
1. 热力学系统
• 热力学研究的对象----热力学系统. 它包含极大量的分子、原子。 以 阿佛加德罗常数 NA =6×1023计。 • 热力学系统以外的物体称为外界。
2. 平衡态
在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不随时间改变 的状态，称为平衡态。
1 . 宏观量 P
微观量 V 2 , t
统计规律
2 . 普遍性 四、温度的统计意义
2 P n t P nkT 3 1 3 2 t m V kT 2 2
分子的平均平动动能只与温度有关，与m 无关
温度表示分子热运动的激烈程度
1 3 2 t m V kT 2 2
V ----体积元（宏观小，微观大）
V
V
（3）平衡态时分子的速度按方向的分布是各向均匀的
Vx (Vix N ) V y Vz 0
N i
1 2 Vx2 (Vix N ) V y2 Vz 2 V 2 ( V 2 Vx2 Vy2 Vz2 ) 3 i
N
条件：平衡态
4. 宏观态与微观态 状态参量
宏观态：宏观量 (P,V,T等）确定的态 状态参量：一组独立的宏观量 热力学过程: 状态的变化过程 E A 热力学过程 B
状态方程：状态参量之间的联系方程
微观态：微观量 （r, v） 确定的态
§ 9-2 热力学第零定律 1. 热接触和热平衡
A
B 绝热板
温度和温标
A
B
方均根速率：
V
2
3kT m
k kN A R m mN A M
方均根速率：
3kT 3 RT V m M
2
例题、两瓶不同种类的气体，其分子平均平动动能 相等，但分子密度数不同。问：它们的温度是否相 同？压强是否相同？
解：
3 kT 2
1 2
T1 T2
i (Vix 0 )
Vi
2
dF 2 2 P dt mn iVix nm i nmV x dS dS n i 1 2 1 2 2 2 nmV n( mV ) n t t 1 m V 2 3 3 2 3 2
分子的平均平动动能
dI
niVix
2
i
注：
分子的平均碰撞次数约 z = 1010 次/秒 。
1 . 分子有大小d<<分子间距l
2 . 分子之间的作用力
分子力模型 f r
3 . 无规则热运动
分子的运动是无规 的，杂乱无章的
二、 理想气体分子运动模型
• 分子当作质点，不占体积；
（因为分子的线度<<分子间的平均距离）
• 分子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力。 • 弹性碰撞（动能不变）* • 服从牛顿力学*
三、 理想气体内能 分子动能
E Ek E pa E pm
原子间振动势能 理想气体： 分子间势能
1 i ( t r ) kT kT 分子平均总能量： 2 2 i i 1mol: E N A ( kT ) RT E i RT 2 2 2
例：容器内储有质量为m，摩尔质量为M的理想气体， 容器以速度v作定向运动，今使容器突然停止， 问在（1）单原子分子和（2）双原子刚性分子这 两种情形下系统温度的改变和分子速度平方平均 值的增量。
含义？ 含义？
o 归一化条件
归一化条件说明 f(V)——V曲线下的面积等于1
f(V)
V
3. 用速率分布函数表示平均值
如何用f(V)表示？
同理：
例. 设有N个粒子，其速率分布函数为:
C ( vo> v > 0) 0
2、由vo求常数C。 3、求粒子的平均速率。 4、求粒子的方均根速率。
( v > vo )
一、自由度S
定义：确定物体位置所需独立坐标的个数
1 . 一个质点 S=3
2 . 刚体
z
( )
( , , )
(x,.y,z) y
x
平动自由度
S= 3 + 3 =6
cos cos cos 1
2 2 2
转动自由度
3. 分子
单原子分子：
S=3
(x,y,z)
氦气（He）、氖气（Ne）、氩 气（Ar）等为单原子分子气体。 其模型可用一个质点来代替
说明
平衡态是一个理想化模型。 处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞， 每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间 改变。这称为动态平衡。 箱子假想分成两相同体积的部分， 达到平衡时，两侧粒子还运动， 但穿越两侧的粒子数相同。 不同于稳定态（受外界影响）
Q
1000 C
00 C
o 实际气体温标、理想气体温标； o华氏温标、摄氏温标； o热力学温标…..
5 . 理想气体的状态方程
理想气体：理想气体严格遵守波义耳定律 T=const. 则 PV=C T=T (PV) 理想气体温标：
令 T=T (PV)=kPV
令水的三相点温度为：
另一状态：T, P, V
定容气体温度计 定压气体温度计
2
3 t 3, r s 0, kT 单原子分子： 2 5 双原子分子（刚）： t 3, r 2, s 0, kT 2 7 双原子分子（非）： t 3, r 2, s 1, kT 2
多原子分子（刚）： t 3, r 3, s 0, 3kT
methane molecule
非刚性双原子分子：
S=6
(x,y,z) & ( , ) & R
R为相对距离
R
t=3
r=2
s=1
非刚性多原子分子(n个原子)：
t=3 r=3 s=3n-6
S=3n
二、 能量均分定理
1 3 2 t mV kT 2 2
V ( V
2 x i N 2 ix
dVx dV y dVz
F (Vx ,Vy ,Vz )dVx dVy dVz
结论：分子速率处于 V V dV 间的几率就是分子速度矢量端点 落在以V 和V+dV 为内外半径球 壳内的几率。 2 F (V x ,V y ,Vz ) 4V dV
o
V
Vy
Vx
m 2 V 2

m V 2 2 2 4Ae V dV
大量分子
Vx 0
三、理想气体压强公式
dS n : 分子 数密度 m : 分 子质 量 ni : 单位体积速度为 Vi的分子数 n ni Vix dt i dt 时间内速度为 Vi 的分子撞到dS 面上的个数为： niVixdtdS
2mn 它们给器壁的总冲量： iVix dtdS 2 2 考虑不同速度分子：dI 2mn iVix dtdS mniVix dtdS
刚性双原子分子：
S=5
(x,y,z) &
氢气（H2）、氧气（O2）、氮气（N2）等为双原子 分子气体。其模型可用两个刚性质点模型来代替。
刚性多原子分子：
S=6
(x,.y,z) &
二氧化碳气体（CO2）、水蒸气（H2O）、甲烷 气体（CH4）等为多原子分子气体。其模型可用 多个刚性质点来代替。
water molecule
F (Vx ,Vy ,Vz ) Ae
m (Vx 2 V y 2 Vz 2 ) 2
速度空间
Vz
A, 如何定？
o
Vy
Vx
三、 麦克斯韦速率和速度分布
麦克斯韦证明：处于平衡态的 理想气体系统
F (Vx ,Vy ,Vz ) Ae
m (Vx 2 V y 2 Vz 2 ) 2
Vz
v
2 1
3 RT1 M
3 8.31 1273 1 1194 m s 28 10 3
3 3 23 21 2 kT2 1.38 10 273 5.65 10 J 2 2
3 RT2 v M
2 2
3 8.31 273 1 493 m s 3 28 10
摄氏温标
理想气体状态方程 • 1mol 理想气体:
• 阿佛伽德罗定律：在标准状态下，
普适气体恒量
M: 摩尔质量
玻耳兹曼常数 阿伏伽德罗常数
§ 9-3 气体压强和温度的统计意义 一、 气体分子热运动的特征
分子之间有一定的间隙，有一定的作用力； 分子热运动的平均速度约 v = 500m/s ；
3. 温度
处于热平衡的系统具有共同的属性——温度
处于热平衡的多个系统具有相同的温度
4. 温标
温度的数值表示
一般用某一测温属性（与温度有关的其它性质，如P, V, R等）来表示温度的高低。 建立温标一般有三个步骤, 可分为：
（1）选定测温物质和属性
（2）规定测温属性与温度的关系
（3）选择定标点
1、作速率分布曲线。
C
解： o vo v
二、分子速度分布函数：
速度空间（如图）
速度空间的体积元 dVxdVydVz
代表如下速度范围来自百度文库o
设取在该速度范围的分子数为dN ,则速度分布函数 定义为 dVxdVydVz范围的分子数占总分子数的比率.
三、 麦克斯韦速率和速度分布
麦克斯韦证明：处于平衡态的 理想气体系统
分子数目太多，无法解这么多的联立方程。
即使能解也无用，因为碰撞太频繁，运动情况瞬息万变， 必须用统计的方法来研究。
•对大量分子组成的气体系统的统计假设： （1）分子的速度各不相同，而且通过碰撞不断变化着； （2） *平衡态时分子按位置的分布是均匀的， 即分子数密度到处一样，不受重力影响；
N dN N n V dV V