数学思想方法之转化与化归思想

第4讲 转化与化归思想
(推荐时间：60分钟)
一、填空题
1．(2012·南京模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝S n ·S n －1 (n ≥2)，a 1＝29
，则a 10＝________.
2．定义运算：(aD ○＋b )D ○×x ＝ax 2＋bx ＋2，若关于x 的不等式(aD ○＋b )D ○×x <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x 的不等式(bD ○＋a )D ○×x <0的解集为______________．
3．函数f (x )＝x ＋1－x 的值域为________．
4．(2012·淮安模拟)对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是______________．
5．已知函数f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋a ，若1≤f (x )≤174
对一切x ∈R 都成立，则参数a 的取值范围为____________．
6．(2012·秦皇岛模拟)设函数f (x )＝x 3＋sin x ，若0≤θ≤π2
时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取值范围是____________．
7．(2012·六安模拟)抛物线y ＝x 2中的所有弦都不能被直线y ＝m (x －3)垂直平分，则常数m 的取值范围是____________．
8．设x ，y 为实数，若4x 2＋y 2＋xy ＝1，则2x ＋y 的最大值是________．
9．已知函数f (x )＝x 3＋2x 2－ax ＋1.若函数g (x )＝f ′(x )在区间(－1,1)上存在零点，则实数a 的取值范围是______________．
二、解答题
10．(2012·镇江模拟)设f (x )是定义在R 上的单调增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，求x 的取值范围．
11. 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋1n a n ＋n ＋12n . (1)设b n ＝a n n
，求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .
12．(2012·洛阳模拟)已知奇函数f (x )的定义域为实数集R ，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，
当0≤θ≤π2
时，是否存在这样的实数m ，使f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>f (0)对所有的θ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m ；若不存在，请说明理由．
答 案
1. 463
2. ⎝
⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞) 3．[1，2]
4．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
5．[3,4]
6．(－∞，1)
7. ⎣⎡⎭
⎫－12，＋∞ 8. 2105
9. ⎣⎡⎭
⎫－43，7 10．解 ∵f (x )在R 上是增函数，
∴由f (1－ax －x 2)≤f (2－a )，
可得1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．
∴a (x －1)＋x 2＋1≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1.
则当且仅当g (－1)＝x 2－x ＋2≥0，g (1)＝x 2＋x ≥0，解之，得x ≥0或x ≤－1. 故实数x 的取值范围为x ≤－1或x ≥0.
11．解 (1)由已知得b 1＝a 1＝1，
且a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12
n ， 即b n ＋1＝b n ＋12n ，从而b 2＝b 1＋12
， b 3＝b 2＋122，…，b n ＝b n －1＋12n －1 (n ≥2)． 于是b n ＝b 1＋12＋122＋…＋12n －1 ＝2－12n －1 (n ≥2)． 又b 1＝1，满足b n ＝2－1
2n －1，
故所求的通项公式b n ＝2－1
2n －1. (2)由(1)知a n ＝2n －n 2n －1，故
故S n ＝(2＋4＋…＋2n )－(1＋22＋322＋423＋…＋n 2
n 1)． 设T n ＝1＋221＋322＋423＋…＋n 2
n －1，① 则12T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12
n －1＋n 2n ，② ①－②得，12T n ＝1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n 1－12
－n 2n ＝2－22n －n 2n ， ∴T n ＝4－n ＋22
n －1. ∴S n ＝n (n ＋1)＋n ＋22
n －1－4. 12．解 因为f (x )在R 上为奇函数，又在[0，＋∞)上是增函数，故f (x )在R 上为增函数，且
f (0)＝0.
由题设条件可得，f (cos 2θ－3)＋f (4m －2m cos θ)>0.
又由f (x )为奇函数，可得
f (cos 2θ－3)>f (2m cos θ－4m )．
∵f (x )在R 上为增函数，∴cos 2θ－3>2m cos θ－4m ，
即cos 2θ－m cos θ＋2m －2>0.
令cos θ＝t ，∵0≤θ≤π2
，∴0≤t ≤1. 于是问题转化为对一切0≤t ≤1，
不等式t 2－mt ＋2m －2>0恒成立．
∴t 2
－2>m (t －2)，即m >t 2－2t －2恒成立． 又∵t 2－2t －2＝(t －2)＋2t －2
＋4≤4－22，∴m >4－22， ∴存在实数m 满足题设的条件，且m >4－2 2.。