材料力学 6弯曲习题课

max
Iz
Pa
(h y)
2
78.6MPa [ ]
max
Iz
故该梁的正应力强度满足。
例3 截面为T字形的铸铁梁如图所示，欲使梁内最大拉应力与 最大压应力之比为1：3，试求水平翼缘的合理宽度b。
解： 1) 中性轴的位置：
max
max
y1 y2
1 3
y1 y2 400
y1 100 mm
（1）载荷F=0； （2）载荷F=qa。
刚性平台
F
B
a
A
解：（1）F=0时钢筋变形如图所示。
其相当于外伸梁ABC如图所示，且：C 0
C 0
C
B
A
C
(qa2 )b 2
qb3
6EI Z 24 EI Z
0
b 2a
C
B
A
b
a
wA (2
2 3)qa4 () 24 EI
C B
（2）F=qa时钢筋变形如图所示；
max
Mmax Wm a x
Pl 3 bt 2
确定积分常数举例：
边界条件：
x0:A 0 x0:wA 0
连续条件：
x0:wA 0 x a :c左 c右 xl:wB 0 x a : wc左 wc右
x 0:
x
l
:
wA wB
0
P 2K
x 0:
x
l
:
wA wB
0
qla 2 EA
例6.图示各梁，写出确定其积分常数的边界条件和 连续性条件。
边界条件：
边界条件：
x a：wB 0； x a L：wC 0
连续性条件：
x 0 : wA 0;
x
L : wC
RC k
qL 8k
连续性条件：
x
a：w B 左
wB右 ,B左
B右; x
L 2
：w
B
左
wB右 , B左
B右
边界条件：
x 0, wA 0;
x 0, A 0
连续性条件：
解： 1) 外力分析：
P RA 4 ()
3P RB 4 ()
2) 内力分析(M图) 危险截面：
B和CD段的所有截面
3) 强度校核
3) 强度校核：
Pa
(h y)
B截面： 4ห้องสมุดไป่ตู้
max
Iz
39.3MPa [ ]
Pa
(y)
4
max
Iz
14.2MPa [ ]
CD段：
Pa
( y)
2 28.4MPa [ ]
第一接触点C处曲率为0，转角为0。
qa
C
F=qa q
A
C
2a
1 MC 1 0 EIZ
MC 0
MC
qad
1 2
qd 2
0
d 2a
其相当于外伸梁AC如图所示。
qa(2a)3 q(2a)4 2qa4
wA wAF wAq
3EI
8EI
() 3EI
x
L 2 , wB左
wB右;
x
L 2
,
B
左
B右
边界条件：
x 0, wA 0;
x 0, A 0
x a L, wC 0
连续性条件：
x a, wB左 wB右 (转 角 不 连 续)
例3.匀质梁水平放置，外伸长度为a，求抬起台面 的距离BC（b）。
B BM Bq 0
( qa2 )b 2
为方便，假设每人的体重均为800N，而独木桥的重量不计。 请你分析一下：
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？ （2）如果一个人想过桥，最多能走多远？ （3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何 配合才能安全过桥？
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？ 答：梁的弯曲、弯矩
（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？
y2 300 mm
max My2 IZ
(
m
ax
My1
IZ )
2) 求b： (中性轴必过形心) SZ 0 60 b(y1 30) 340 30(y 2 170)
b 316mm
例4 把直径为d的钢丝绕在直径为2m的卷筒上，设钢丝的
E=200GPa。①若d=1mm，试计算钢丝中产生的σmax。②若钢 丝的 [σ] =200MPa，则该卷筒上能绕多粗的钢丝。
3) 求许用[q]： 按梁的强度条件
Wz=2 × 25.3cm3
M
max
max [ ]
WZ
q 16.2kN / m
按钢拉杆的强度条件
max
2.25q π d2 / 4
[
]
q 22.3kN / m
[q] 16.2kN/m
例2 槽形铸铁外伸梁如图所示，已知： P=30kN， a=1m， h=200mm， y=53.2mm， IZ=2.8×107mm4， [σ+]=40MPa， [σ-]=170MPa； 试用正应力强度条件校核梁的强度。
强度条件： M [M]
（3）两人应如何配合才能安全过桥？
强度条件： M1 [M] M2 [M]
例1 AD梁由两根8号槽钢构成，B点由圆截面钢拉杆BC支承。 已知d=20mm，梁和杆的[σ]=160MPa，求[q] 。
解： 1) 外力分析：
RA 0.75q() RB 2.25q()
2) 内力分析(M图)：
c
研究C截面左段梁
解： 1) 求d ：
1 MC 1 0 EIZ
MC 0
MC
Pd 3
1 2
( P)d2 l
0
d 2l 3
2) 求σmax ：
AC段内的弯矩方程:
M(x) P x 1 P x2 3 2l
M(x) 0
x l 3
Mmax
P 3
l 3
1 2
P l
( l )2 3
Pl 18
qb3
0
6EIZ 24EIZ
b 2a
例7.要求滚轮恰恰走一水平路径，试问梁的轴线应 预先弯成怎样的曲线？
解：
wC
P x(L x) [L2 6EI z L
x2
(L
x)2 ]
Px2(L x)2 3EIz L
y Px2 (L x)2 3EIZ L
1. 一根足够长的钢筋，放置在水平刚性平台上，钢 筋单位长度的重量为ｑ，抗弯刚度为EI，钢筋的 一端伸出桌面边缘B的长度为ａ，试在下列两种 情况下计算钢筋自由端A的挠度fA。
一、奇怪的独木桥（25分） 一位游客在某处发现有座独木桥，上面写着：禁止独自
一人过桥。他发现当地居民的确都是成双结队并且好像以某 种相互配合的方式过桥。他觉得很奇怪，为什么2个人可以 过桥而1个人却不能。等周围没有其它人时他想独自试试， 结果没走到半程，就把独木桥压断了而掉入水中。
根据事后他的调查，小河宽4米，独木桥长6米，如图1所 示横跨在小河上（支撑点可以认为是铰链约束）。独木桥采用 当地的轻质木材做成，等截面，允许最大弯矩为[M] =600N.m。
解： 1) 计算σmax ：
1M
EI Z
max
M Wz
EI z Ed
Wz 2
100MPa
M EI z
Iz d Wz 2
Dd
22
2) 求d：
max
Ed 2
200
106
d 2mm
例5 截面为b×t的钢条，长为l，重量为P(均布)，放在水平刚性 平面上，当钢条A端作用P/3的向上拉力时，求：1) 钢条脱开刚 性平面的距离d？ 2) 钢条内的σmax?