浙江大学工程弹塑性力学例题-2014

ε ≤
6
题7.4
已知某材料在纯拉时进入强化后满足 dσ = ψ ′ = const条件。 dε p 若采用Mises等向强化模型，求该材料在纯剪时 dτ / d γ 的表达式。
解: Mises等向强化模型 Mises等向强化模型 (P.149 (7.71)式 (7.71)式)
d ε ijp =
3 dσ Sij 2ψ ′ σ
题7.3
已知某材料在简单拉伸时满足线性强化规律，即： Eε σ= σ s + E ′(ε − ε s )
ε ≤ εs ε ≥ εs
1 在弹性时ν 0 ≠ ，问σ (ε )曲线是什么形式？ 2
解: ∵ σ = σ s + E ′(ε − ε s ) 及 ε = 3Eε − ( E − E ′)(2ν 0 − 1)ε s
已知某材料在纯拉时进入强化后满足 dσ = ψ ′ = const条件。 dε p 若采用Mises等向强化模型，求该材料在纯剪时 dτ / d γ 的表达式。
解: Mises等向强化模型 Mises等向强化模型 (P.149 (7.71)式 (7.71)式)
d ε ijp =
3 dσ Sij 2ψ ′ σ
工程弹塑性力学
例题
浙江大学
建筑工程学院
题5.9
解：
σ 1 =σ 2 =P / A ⇒ ∆σ 1 = ∆σ 2 = ∆P / A
1
题6.4
设S1,S2,S3为应力偏量，试证明用应力偏量表示Mises屈服条件时，其形式为：
3 2 ( S1 + S 22 + S32 ) = σ s 2
σ 1 2 2 2 证明： 证明： Mises屈服条件为 Mises屈服条件为： 屈服条件为：J 2 ′ = (σ 1 -σ 2） + （σ 2 -σ 3） + （σ 3 -σ 1） = S
π
π
π
π
π
π
cos(ϕ +
π
6
)≥0
∴−
2π π ≤ϕ ≤ 3 3
∴1) ∩ 2)得 0 ≤ ϕ ≤
π
3
题6.7
已知两端封闭的薄壁圆筒，半径为r，厚度为t，受内压力p及轴向拉应力σF的作 用，试求此时圆筒的屈服条件，并画出屈服条件的图。 解： 薄壁圆筒的轴向应力为：
σz = σF +
π r2 p F pr pr = + =σF + 2π rt 2π rt 2t 2t
6 3
2 2 2 又 J2 ′= （S 2 -S3） + （S3 -S1） (S1 -S 2） +
2
1 6 1 = [2( S12 + S 22 + S32 ) − 2 S1S 2 − 2 S 2 S3 − 2 S3 S1 ] 6 1 = [2( S12 + S 22 + S32 ) − S1 ( S 2 + S3 ) − S 2 ( S1 + S3 ) − S3 ( S1 + S 2 )] 6 1 = [2( S12 + S 22 + S32 ) − S1 (− S1 ) − S 2 (− S 2 ) − S3 (− S3 )] 6 1 = ( S12 + S22 + S32 ) 2 3 2 σ2 1 ( S1 + S 22 + S32 ) = σ s ∴ ( S12 + S 22 + S32 ) = S 2 2 3
2
3 p2r 2 2σ + = 2σ S2 2t 2
Tresca屈服条件：
pr σ2 + 3 =1 σ S2 2tσ s
pr 2tσ S
2
pr 当σ ≥ 时，则σ z > σ θ , σ z = σ 1 ,σ θ = σ 2 ,σ 3 = 0 2t σ pr pr + =1 σ1 − σ 3 = σ z = σ + = σS σ 2 t σS S 2t pr 当σ < 时，则σ θ > σ z , σ θ = σ 1 ,σ z = σ 2 ,σ 3 = 0 2t pr 1 pr = σ1 − σ 3 = σθ = =σS 2 t σ 2 S t
解: ∵ σ = σ x
1 3
ε = (1 − 2ν )ε x
K= E 3(1 − 2ν 0 )
1 3
σ =3K ε
∴σ x =3σ =9Kε =
1-2ν Eε x = Eε x [1 − ω (ε x )] 1-2ν 0
1-2ν = 1 − ω (ε x ) 1-2ν 0
∴ν = ν 0 [1 − ω (ε x )] +
1 2 2 2 (σ 1 -σ 2） + （σ 2 -σ 3） + （σ 3 -σ 1） J 2′ = 6 π π π π 1 4 = × σ S2 {[cos(ϕ − ) − cos(ϕ + )]2 + [cos(ϕ + ) + cos ϕ ]2 + [cos ϕ + cos(ϕ − )]2 } 6 9 3 3 3 3
π
由内压产生的合力为：
∫0 prdθ sin θ = pr ∫0 sin θ dθ = 2 pr
π
2σ θ t = 2 pr , σ θ =
pr t
在内表面径向应力： σr = − p 外表面径向应力：
σr = 0
圆筒的内壁首先进入屈服状态，而后逐层往外扩展，当最外层进入屈服状态，则 整个圆筒皆进入屈服状态。 最外层应力为：σ z = σ F +
ω (ε x )
2
题7.3
已知某材料在简单拉伸时满足线性强化规律，即： Eε σ= σ s + E ′(ε − ε s )
ε ≤ εs ε ≥ εs
1 在弹性时ν 0 ≠ ，问σ (ε )曲线是什么形式？ 2
解:
ε = ε x (1+ν )= ε (1+ν )
简单拉伸
2 3
2 3
σ =σ x = σ
当ε ≤ ε s , 即
2(1 + ν 0 ) 3ε ≤ ε s ,ε ≤ εs 2(1 + ν 0 ) 3
ε = ε (1 + ν 0 ),
2 3
σ =σ
由于此时σ =Eε，将上式代入
σ=
2 (1 + ν 0 ) 3E ε , （ε ≤ εｓ ） 2(1 + ν 0 ) 3
5
题7.3
已知某材料在简单拉伸时满足线性强化规律，即： Eε σ= σ s + E ′(ε − ε s )
∵ τ xy ≠ 0, γ xy ≠ 0, 其余全为零，
∴σ = 3τ xy = 3τ
ε=
1 1 γ xy = γ 3 3
∴ γ = 3ε
∵ τ = f (γ )
∴ σ = 3τ = 3 f ( 3ε )
4
题7.2
已知某材料在简单拉伸时满足σ x =Φ (ε x ) = Eε x [1 − ω (ε x )]曲线规律。设弹性时的 1 泊松比ν =ν 0 ≠ 。求在拉伸过程ν =ν （ε x）的规律。 2
所以， 所以，恒满足Mises 恒满足Mises条件 Mises条件
2
题6.5
π π cos(ϕ − ) ≥ cos(ϕ + ) ≥ − cos ϕ σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3时， 则，
3 3 1). cos(ϕ − )-cos(ϕ + )=2sin ϕ sin ≥ 0 3 3 3 ∴0 ≤ ϕ ≤ π 2). cos(ϕ + )+ cos ϕ ≥ 0 3 2cos(ϕ + ) cos ≥ 0 6 6
σ σS
题7.1
已知某材料在纯剪时的曲线τ = f (γ ),问σ （ε ）曲线是什么形式？
解:
∵ σ = 3J′ = 2
1 2 2 2 2 2 2 （σ x -σ y） + （σ y -σ z） + （σ z -σ x） + 6(τ xy + τ yz + τ zx ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ε= I′2 = （ε x -ε y） + （ε y -ε z） + （ε z -ε x） + 6(γ xy + γ yz + γ zx ) 3 3
J 2′ = 2 2 π π π π π σ S {[(2sin ϕ sin ) 2 + 2cos 2 ϕ + cos 2 (ϕ + ) + cos 2 (ϕ − ) + 2cos ϕ[cos(ϕ + ) + cos(ϕ − ) 27 3 3 3 3 3 π 2 π 2 π 2 2 2 2 = σ S [3sin ϕ + 2cos ϕ + 2(cos ϕ cos ) + 2(sin ϕ sin ) + 2cos ϕ cos ϕ cos ⋅ 2] 27 3 3 3 2 2 1 3 2 2 2 2 2 = σ S [3sin ϕ + 2cos ϕ + cos ϕ + sin ϕ + 2cos ϕ ] 27 2 2 2 2 9 1 2 = σS ⋅ = σS 27 2 3
ε ≤ εs ε ≥ εs
1 在弹性时ν 0 ≠ ，问σ (ε )曲线是什么形式？ 2
解:
当ε ≥ ε s , 即ε ≥
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2(1 + ν 0 ) εs 3
σ =σ
ε = ε (1 + ν ) = ε [1 + ν 0 (1 − ω (ε )) +
2 3 2 3
ω (ε )
2
]
(由题7.2)
此时由公式（5.13） ω (ε ) = (1 −
图示的楔体，两面受压，已知
2γ = 3π 4
分别对q=0.5p,q=p两中情况，求极限荷载p
刚 性 区
∆A' B ' A
σ1 = σ n = σ A + k = 0
'
⇒ q = 2k (0.5π + 1)
题8.3
右图所示为一尖角为2δ的楔体， 楔体，在外力P作用下， 作用下，插人具有相同角度的V 形切口内。 形切口内。如楔体与V形切口接触处因摩擦而产生的剪应力为k，试求此 情况下的极限荷载。 情况下的极限荷载。
题6.5
证明应力分量
证明： 证明：
3 3 2 π σ 2 = σ s cos(ϕ + ) + σ m 3 3 2 σ 1 = − σ s cos ϕ + σ m 3
2 π σ 1 = σ s cos(ϕ − ) + σ m
恒满足Mises应力条件，又当
σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 时，对φ有什么限制？
纯剪时：
σ = 3τ
γ ijp = 2ε ijp
剪应变和张量的关系
∵ σ = 0, ∴ Sij = σ ij
dγ p 3 3 dτ 3 = τ= dτ 2 2ψ ′ 3 τ 2ψ ′ dγ = dγ e + dγ p = dτ 3 + dτ G ψ′
∴
dτ 1 = 1 3 dγ + G ψ′
题7.4
纯剪时：
σ = 3τ
γ ijp = 2ε ijp
剪应变和张量的关系
∵ σ = 0, ∴ Sij = σ ij
dγ p 3 3 dτ 3 = τ= dτ ′ 2 2ψ 3 τ 2ψ ′ dγ = dγ e + dγ p = dτ 3 + dτ G ψ′
∴
dτ 1 = 1 3 dγ + G ψ′
7
题8.1
5 ∵σ = σ n +k sin 2(− π ) = − k 4 π − q + 2 k ( − + δ ) = Cβ 1 2 由亨奇应力方程可得： − k + 2k (− 3π ) = C β2 4
解：在扇形区域ABC中 取出一小单元体，根据 剪应力作用的情况可以 定出α线的方向，AB线 即为α滑移线。若α线的 正向如图所示，则在AB 边上有：
π θ = −( − δ ), 顺时针为负；σ = σ n = −q
2
在ADC中，AD边为自由边， ϕ =
π
2
3 5 ,τ n = 0,由图可知θ =- π , 故有θ -ϕ =- π 4 4
ε E′ E′ ε E′ ε s )(1 − s ) = 1 − − s + E ε E ε E ε
∴ε =
3E + E ′(2ν 0 − 1) ( E − E ′)(2ν 0 − 1) ε+ εs E 3E 3Eε − ( E − E ′)(2ν 0 − 1)ε s ε= 3E + E ′(2ν 0 − 1)
pr pr > 0, σ θ = > 0, σ r = σ 3 = 0 2t t
3
题6.7
解： Mises屈服条件为：
σ2 +(
2
pr 2 pr pr pr pr ) − 2σ + ( ) 2 + σ 2 + 2σ + ( ) 2 = 2σ S2 2t 2t t 2t 2t pr σ + 3( )2 = σ S2 2t
3E + E ′(2ν 0 − 1)
∴σ = σ s +
EE ′[3(ε − ε s ) − ε s (2ν 0 − 1)] 3E + E ′(2ν 0 − 1) 2 (1 + ν 0 ) εｓ 3 2 (1 + ν 0 ) ε ≥ εｓ 3
3E ε 2(1 +ν 0 ) σ = σ + EE ′[3(ε − ε s ) − ε s (2ν 0 − 1)] s 3E + E ′(2ν 0 − 1)