经济数学基础讲义 第7章 多元函数微分学

第4章 多元函数微分学

4.2.1 二元函数的概念

多元函数与一元函数类似，学习时应注意比较．

一元函数是含有一个自变量的函数：)(x f y =。多元函数是含有多个自变量的函数，例如： 二元函数：),(y x f z =，三元函数：),,(z y x f u =等等． 例1 如果圆锥体底半径为r ,高为h ，则其体积v

它是二元函数.其中，r 和h 是自变量，v 是因变量（函数）.定义域：

{}

0,0),(>>=h r h r D . 例2黑白电视：在t 时刻屏幕上坐标为),(y x 处的灰度z 为：),,(t y x z z =，它是三元函数. 例3在一个有火炉的房间里，在t 时刻，点),,(z y x 处的温度u 是t z y x ,,,的函数：

),,,(t z y x u u =，称为温度分布函数，它是四元函数．

例4 求函数222y x a z --=

的定义域．

解：02

22≥--y x a ，定义域为{

}

2

22),(a y x y x D ≤+=

例5 求y

y x z )

ln(+=

的定义域． 解：由所给函数，对数真数为正，又分母根式为正，有

⎩

⎨

⎧>+>00

y x y {}0,0),(>+>=y x y y x D

4.3 ——4.4偏导数

二元函数),(y x f z =在点),(00y x 处关于x 的偏导数

x

y x f y x x f x ∆-∆+→∆)

,(),(lim

00000

（注意到：y 取值不变，恒为0y ）

记作：

)

,(00y x x z

∂∂或),(00y x f x '.类似地，关于y 的偏导数：

y

y x f y y x f y ∆-∆+→∆)

,(),(lim

00000

例如：y x z 3sin 2

=

y x y x f y

z

y 3cos 3),(2='=∂∂ 3

3cos 3)0,1()

0,1(2)0,1(=='=∂∂y x f y z

y

求偏导数，包括两个偏导数，一个是对x 求偏导，一个是对y 求偏导.对x 求偏导时，应把y 看作常数.这样z 就变为了一元函数，于是就可以用一元函数的微分法求导数了.对y 求偏导也类似. 注意：

一元函数)(x f y =在0x 处可导，则在0x 处连续.

多元函数),(y x f z =在),(00y x 可导和在),(00y x 连续，二者不能互推. 全微分

),(y x f z =称

y y

z x x z y y

z x x z z d d d ∂∂+∂∂=∆∂∂+∆∂∂=

为函数),(y x f z =在点),(y x 处的全微分.

例1: 求y x y x f z 3sin ),(2

==在点)0,1(处关于x 的偏导数.

解： 将y 看作常数，

y x x

z 3sin 2=∂∂，03sin 2)0,1()0,1(==∂∂y x x z 例2: 求x

y

y x z +

=2

在点)1,1(-处的全微分. 解： 112)2()

1,1(2

)1,1(-=+-=-=∂∂--x y xy x z ，2)1()1,1(2

)1,1(=+=∂∂--x x y z 因此，y x z d 2d d +-= 4.5 复合函数与隐函数微分法

复合函数求导法

设),(v u f z =，而),(y x u u =，),(y x v v =，则

x

v

v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂， y v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂

例1: )sin(e

y x z xy

+=.

解法1：（利用复合求导公式）设xy u =，y x v +=，则v z u sin e =

x

v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1)cos e ()sin e (⋅+⋅=v y v u u )cos(e )sin(e y x y x y xy xy +++= v z u sin e =，xy u =，y x v +=

y

v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1)cos e ()sin e (⋅+⋅=v x v u u )cos(e )sin(e y x y x x xy xy +++= 解法2：（直接求）

x

y x y x x x z xy

xy ∂+∂++∂∂=∂∂))

(sin(e )sin()e ()cos(e )sin(e y x y x y xy xy +++= 同理，

=∂∂y

z

)cos(e )sin(e y x y x x xy xy +++ 例2:),(y x xy f z +=，求

y

z x z ∂∂∂∂,． 解:设y x v xy u +==,,则),(v u f z =，

x

v

v z x u u z x z ∂∂∂∂+

∂∂∂∂=∂∂1⋅'+⋅'=v u f y f v u f f y '+'= y

v v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1⋅'+⋅'=v u f x f v u f f x '+'= 例3 ),(2

xy x f z =，求

解: 设2

,xy v x u ==,则),(v u f z =，

x

v

v z x u u z x z ∂∂∂∂+

∂∂∂∂=∂∂21y f f v u ⋅'+⋅'= v u f y f '+'=2v f xy '=2

例4 )sin ,3(2

x x f z =，求

dx

dz ． 注意：f 是二元函数：),(v u f ， x v x u sin ,32== 而z 是关于v u ,的二元函数，最终是关于x 的一元函数．

x

v

v z x u u z x z d d d d d d ∂∂+

∂∂=x f x f v u cos 6⋅'+⋅'= 例5 )(3

2

y x f z =，求

y

z x z ∂∂∂∂,．