变化率问题与导数的概念
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△t 0
思考：在t0时刻的瞬时速度呢？
S(t + △ t) － S(t ) 0 0 lim △t 0 △t
瞬时变化率：
思考：我们利用平均速度的极限求得 瞬时速度，那么如何求函数f(x)在 x=x0点的瞬时变化率呢？
可知:函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为： △ f f(x + △ x) － f(x ) 0 0 lim lim = △ x 0 △x △x 0 △x
导数
函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为： △ f f(x + △ x) － f(x ) 0 0 lim lim = △ x 0 △x △x 0 △x 我们称它为函数f(x)在x=x0处的导数．
f(x + △ x) － f(x ) 0 0 lim 记作：f’(x0)= △ x 0 △x
小结：由定义知，求f(x) 在x0处的导数步骤为： (1) 求增量 y f ( x x ) f ( x );
1 2x (x) 2 y 2x (x) 2 x x x
2 2
2
小结：
１．平均速度
２．平均变化率 ３．导数
瞬时速度；
瞬时变化率；
f(x + △ x) － f(x ) 0 0 lim f’(x0)= △ x 0 △x
物体自由落体的运动方程是: 1 S(t)= gt2,
2
3 解： S2－S1= g=14.7 2
t 2－ t 1= 1
求１s到２s时的平均速度．
S (2) S (1) V = 14.7 2 1
问题2.平均速度.
思考：求t1s到t2s时的平均速度． V =
S (t 2 ) S (t1 ) t 2 t1
变化率问题 与导数的概念
问题1.气球平均膨胀率.
吹气球时,会发现:随着气球内空气容量的 增加,气球的半径增加得越来越慢,能从数 学的角度解释这一现象吗?
解:可知:V(r)= πr3 即：r(V)=
3
3V 4
当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了 r(1)－r(0)= 0.62
r (1) r (0) 气球平均膨胀率： 0.62 1 0
y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x y ( 3) 求极限 y lim . x 0 x
例1.求y=x2在点x=1处的导数． 解： y (1 x)
y lim lim (2 x) 2 x 0 x x 0 ' y | x 1 2
平均变化率
如果上述的两个函数关系用f(x)表示 那么当自变量x从x1变化到x2时， 函数值就从y1变化到y2 则函数f(x)从x1到x2的
平均变化率：
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
它的几何意义是什么呢？
问题３：瞬时速度
物体自由落体的运动方程是: 1 S(t)= gt2,
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题1.气球平均膨胀率.
当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了 r(２)－r(１)= 0.１６
r ( 2 ) r ( 1 ) 气球平均膨胀率： 0.16 2 1
可以看出，随着气球体积变大，它的平均 膨胀率变小．
思考：当空气容量从V1增加到V2 时,气 球的平均膨胀率是多少呢?
问题2.平均速度.
△Ｓ V = △t
g 2
(6+△t)
问题３：瞬时速度
解：取一小段时间：［3,3+△t] 1 9 2 △Ｓ= g(3+△t) － g 2 2
△Ｓ V = △t
g 2
(6+△t)
当△t
0时， v
3g =29.4
（平均速度的极限为瞬时速度）
瞬时速度：
（平均速度的极限为瞬时速度） S(3 + △ t) － S(3) 即：lim = 29.4 △t
如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？
能否用求平均速度的方法求某一时刻 的瞬时速度？
（我们可以取t=3临近时间间隔内的 平均速度当作t=3时刻的平均速度， 不过时间隔要很小很小）
问题３：瞬时速度
物体自由落体的运动方程是: 1 S(t)= gt2,
2
如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？
解：取一小段时间：［3,3+△t] 1 9 2 △Ｓ= g(3+△t) － g 2 2
思考：在t0时刻的瞬时速度呢？
S(t + △ t) － S(t ) 0 0 lim △t 0 △t
瞬时变化率：
思考：我们利用平均速度的极限求得 瞬时速度，那么如何求函数f(x)在 x=x0点的瞬时变化率呢？
可知:函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为： △ f f(x + △ x) － f(x ) 0 0 lim lim = △ x 0 △x △x 0 △x
导数
函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为： △ f f(x + △ x) － f(x ) 0 0 lim lim = △ x 0 △x △x 0 △x 我们称它为函数f(x)在x=x0处的导数．
f(x + △ x) － f(x ) 0 0 lim 记作：f’(x0)= △ x 0 △x
小结：由定义知，求f(x) 在x0处的导数步骤为： (1) 求增量 y f ( x x ) f ( x );
1 2x (x) 2 y 2x (x) 2 x x x
2 2
2
小结：
１．平均速度
２．平均变化率 ３．导数
瞬时速度；
瞬时变化率；
f(x + △ x) － f(x ) 0 0 lim f’(x0)= △ x 0 △x
物体自由落体的运动方程是: 1 S(t)= gt2,
2
3 解： S2－S1= g=14.7 2
t 2－ t 1= 1
求１s到２s时的平均速度．
S (2) S (1) V = 14.7 2 1
问题2.平均速度.
思考：求t1s到t2s时的平均速度． V =
S (t 2 ) S (t1 ) t 2 t1
变化率问题 与导数的概念
问题1.气球平均膨胀率.
吹气球时,会发现:随着气球内空气容量的 增加,气球的半径增加得越来越慢,能从数 学的角度解释这一现象吗?
解:可知:V(r)= πr3 即：r(V)=
3
3V 4
当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了 r(1)－r(0)= 0.62
r (1) r (0) 气球平均膨胀率： 0.62 1 0
y f ( x x ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; x x y ( 3) 求极限 y lim . x 0 x
例1.求y=x2在点x=1处的导数． 解： y (1 x)
y lim lim (2 x) 2 x 0 x x 0 ' y | x 1 2
平均变化率
如果上述的两个函数关系用f(x)表示 那么当自变量x从x1变化到x2时， 函数值就从y1变化到y2 则函数f(x)从x1到x2的
平均变化率：
f ( x2 ) f ( x1 ) x2 x1
它的几何意义是什么呢？
问题３：瞬时速度
物体自由落体的运动方程是: 1 S(t)= gt2,
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题1.气球平均膨胀率.
当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了 r(２)－r(１)= 0.１６
r ( 2 ) r ( 1 ) 气球平均膨胀率： 0.16 2 1
可以看出，随着气球体积变大，它的平均 膨胀率变小．
思考：当空气容量从V1增加到V2 时,气 球的平均膨胀率是多少呢?
问题2.平均速度.
△Ｓ V = △t
g 2
(6+△t)
问题３：瞬时速度
解：取一小段时间：［3,3+△t] 1 9 2 △Ｓ= g(3+△t) － g 2 2
△Ｓ V = △t
g 2
(6+△t)
当△t
0时， v
3g =29.4
（平均速度的极限为瞬时速度）
瞬时速度：
（平均速度的极限为瞬时速度） S(3 + △ t) － S(3) 即：lim = 29.4 △t
如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？
能否用求平均速度的方法求某一时刻 的瞬时速度？
（我们可以取t=3临近时间间隔内的 平均速度当作t=3时刻的平均速度， 不过时间隔要很小很小）
问题３：瞬时速度
物体自由落体的运动方程是: 1 S(t)= gt2,
2
如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？
解：取一小段时间：［3,3+△t] 1 9 2 △Ｓ= g(3+△t) － g 2 2