3-1-1 应力状态分析

第13章应力分析stress

analysis

本章内容：应用塑性力学分析金属在外力作用下的变形行为

本章重点：点的应力状态分析

应力stress：单位面积上的内力。

材料力学方法：切面法，将物体切开, 利用内力

外力平衡条件求切面上的应力

分布。

塑性力学方法：把物体切成无数个微六面体（或

其他形状），称微元体或单元

体，根据单元体静力平衡条件

写出平衡微分方程，再考虑其

他条件求解。

满足条件：连续，均质，同性，平衡，无

体积力，体积不变。

可列方程：平衡微分方程（平衡，3个），

几何方程（连续均质，6个），

物理方程（应力应变关系，6

个）

屈服准则（1个）

（共16个）

变量（共18个）：坐标x, y, z, 位移u, v, w, 应

力6个，应变6个。

力的类型有面力：作用力，反作用力，摩擦力

体积力：重力，磁力，惯性力

——高速成形不能忽略

13．1 应力状态分析

目标：任意一点的应力状态stress state —

—整个变形体的应力状态

13．1．1 应力分析截面法

外力outside forces——产生内力

应力：正应力（stress）σ，切应力（shear

stress）τ

要点：截开物体后，内力变外力。

13．1．1．1 单向拉伸uniaxial tensile 应力分析

00/A F =σ

C 1面上全应力：S=F/A=F/(A 0/cos θ)=σ0 cos θ

正应力：σ=Scos θ=σ0 cos 2θ

切应力：τ=Ssin θ=σ0 cos θsin

θ

结论：任意方向都可由σ0 和θ确定其全

应力S ，正应力σ，切应力τ，即：单向拉伸只需σ0即可确定任意面

的应力状态。

13．1．1．2 两向应力状态

设任意斜面AB （夹角θ）上的全应力S ，

S 可以分解为正应力σ，切应力τ

由于静力平衡

0=∑x F 0=∑y F 即

有：

θτθσθτθσsin cos sin cos l l l l yx x +=+

θτθσθτθσcos sin cos sin l l l l xy y +=+

解得

：θ

θτθσθσσs c 2s c

o 22xy y x ++= ()θτθσστ2cos 2sin 2

1xy y x --=

13．1．2 应力分析单元体法 变形体多向受力，用截面法不全面，需改进——单元体法！

设物体内任一单元体受力，将全应力均加以分解后，得九个应力分量stress components ，可写为矩阵：

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡z zy zx yz y yx xz xy x στττστττσ作用面 作用

方向

注意：应力是张量tensor （标量，矢量，张量）

张量的定义：满足坐标系转换关系的分量集合 正负号：正面正向、负面负向取正号，

正面负向、负面正向取负号。

单元体平衡有：τxy =τyx τxz =τzx τyz =τzy

因此σij =⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡z zy zx yz y yx xz xy x στττστττσ是对称张量 当同一单元取不同坐标系时，各应力值会不一样，但是点的应力状态未改变。 圆柱坐标 ——柱坐标应力张量

球坐标——球坐标应力张量

13．1．3 任意斜面上的应力stress on the oblique plane

已知应力状态σij =⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡z zy zx yz y yx xz xy x στττστττσ，求斜面ABC 上的应力（全应力S ，正应力σ，切应力τ）,设斜面ABC 的法线方向余弦为l, m, n 即：

l=cos(N, x) m=cos(N, y)

n=cos(N, z)

解：将全应力沿坐标方向分解为：S x S y S z

由静力平衡force equilibrium

0=∑x F 0=∑y F 0=∑z F

S x dA-σx dA x -τyx dA y -τzx dA z =0

而dA x =l dA dA y =m dA dA z =n dA

所以 S x =σx l+τyx m+τzx n

同理 S y =τxy l+σy m+τzy n

S z =τxz

l+τyz m+σz n

因此S 2=S x 2+S y 2+S z 2

σ= S x l+S y m+S z n

=σx l 2+σy m 2+σx n 2+2(τ

xy lm+τyz mn+τxz ln)

τ2= S 2-σ 2

习题： 13章 1、7

1、什么叫张量？张量有什么性质？

7、已知受力物体内一点的应力张量为

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=30758075050805050ij σMpa ，求外法线方向余弦为

2/1,2/1===n m l 的斜切面上的全应力、正应力和切应力。

13．1．4 主应力与应力不变量stress invariants

主平面principal plane ——切应力为0的平面。

主应力principal stress ——主平面上的正应力。

应力主轴（主方向）——主平面的法线方向。

也就是将

⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡z zy zx yz y yx xz xy x στττστττσ变换为⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎣⎡32100

0000

σσ

σ，即将实对称阵变为对角阵。

13．1．4．1 任意坐标系

设ABC 为主平面，在主平面上有τ=0 由于τ2= S 2-σ2

即可得S=σ

所以S x =Sl=σl S y =σm S z =σn