平面向量的数量积及其物理意义几何意义
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高中数学人教A版必修4
说
课
流
教学过程 板书设计
程
教材分析：
教材的地位、作用及特点
平面向量的 数量积在数 学、物理等 学科中应用 广泛。
借助向量对 图形的研究 推进到了有 效能算的水 平
平面向量的数 量积是向量计 算的重要组成 部分，有着很 重要的几何物 理意义
学情分析：
学生在学习本节内容之前， 已熟知了实数的运算体系， 掌握了向量的概念及其线 性运算。
教法
——问题引领，诱思启发
总结反思， 学以致用 教材重组， 典例引领
合作交流， 感知问题
类比联想， 探索问题
创设情境， 提出问题
学法：
——自主探索，合作交流
情景引入：
如图：一个物体在力F的作用下产生位移S,力F所做的功
W= F S cos 。
F
位移S
•设计意图：由特殊到一般，启发学生类比归纳，从知识的不同领域体会 向量的存在与价值。
,
即ar
r b
r a
r
b cos .
其中，
是ar与br 的夹角
数量积是数量还是向量？
问题
影响数量积大小的因素有哪些？
问题回应，回馈课堂效果
我明白了，力对 物体做功不但和 力，位移的大小 有关，还与夹角 有关呢~~
我也知道了， 数量积的正负 与向量夹角有 关呦一
b
cBiblioteka Baidus
(
a
cos
)叫做向量
b在a方向上（
X
板书设计
科学合理的板书设计
平面向量数量积的物理背景及其含义
一、数量积的概念
二、数量积的性质
１、概念：
２、概念强调：（1）记法
（2）“规定” 三、数量积的运算律 3、几何意义：
4、物理意义：
四、学生自编例题： 例1：
例2：
例3：
课后反思
让学生从生活中和物理知识中感 受数学的魅力，激发学生学习的 热情；同时也培养了学生由特殊 到一般的思维品质和类比创新的 意识。但数量积的定义和运算性 质的运用有待于进一步提高。
具备了功等物理知识，并 且初步体会了研究向量运 算的一般方法。
•知识与技能 （1）理解平面向量的数量积及其物理意义、几何意义；
（2）掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； （3）能够运用定义和运算性质解决相关问题．
• 过程与方法
解决数学、物理和生活中问题。
•情感态度与价值观 培养学生自主探究与合作交流的良好学习品质．
设计意图：生活中处处有数学，培养学生学习兴趣
(1) a b a b 0
（2）a a a 2 | a |2| a | a 2
（3） cos =
a
b
a
b
问题
向量的数量积能解决哪些几何问题呢？
学生活动：发扬团队精神，互编习题，可 以参照教材，但要有改动，力求难倒对方
向量在平面几何领域 的重大作用
欢迎教师批评指正 谢谢各位
a在
b方向上）的投影。记做 ：OB1 b cos.
几
当θ为锐角时投影为正值;
何
当θ为钝角时投影为负值;
画
当θ为直角时投影为0;
板
当θ=0°时投影为|b|;
演
当θ=180°时投影为-|b|.
示
设计意图：理解投影可正可负可为零，与向量夹角有关
生活中两个人同时拎一个提包，夹角越大越 费力，为什么呢？ 你能用本节课的知识解释 吗？
1.概 念:
向量夹角: 范围0°≤θ ≤180°
b a
B
b
图甲
O ’ a A
1.观察上图甲向量a与向量b的夹 角是吗？ 2.应如何正确作出向量夹角呢？ 夹角范围是？
已知两个非零向量 a 和 b ，我们把数量| a || b | cos
叫做a与 b的数量积 ( 或内积 )( 或点积 )
记作
ar
r b
应用1：用向量方法证明著名的勾股定理
A
如图所示，在直角三角形中，
已知∠ACB=90°
b
c
求证：AC2+BC2=AB2
C
B
应用2：用向量方法证明直径所对的圆周角a为直角。
C
B
A
(1)交换律 a b b a
(2)数乘结合律 (a) b (a b ) a (b )
(3)分配律 (a b ) c a c b c
(a b) c a (b c )
a
b
a
c
b
c
（2012课标全国）
对功W=|F||s|cos结构分析
抽 象
平面向量数量积的定义
→a ·→b=| a | | b | cos
师特
生 探
殊
究化
重要性质 运 算 律
分层作业
1.课本P108 1—4，6； 2.某同学在单杠上做引体向上， 手臂握杠的姿势怎样最合适？试 用本节课的知识解释。
说
课
流
教学过程 板书设计
程
教材分析：
教材的地位、作用及特点
平面向量的 数量积在数 学、物理等 学科中应用 广泛。
借助向量对 图形的研究 推进到了有 效能算的水 平
平面向量的数 量积是向量计 算的重要组成 部分，有着很 重要的几何物 理意义
学情分析：
学生在学习本节内容之前， 已熟知了实数的运算体系， 掌握了向量的概念及其线 性运算。
教法
——问题引领，诱思启发
总结反思， 学以致用 教材重组， 典例引领
合作交流， 感知问题
类比联想， 探索问题
创设情境， 提出问题
学法：
——自主探索，合作交流
情景引入：
如图：一个物体在力F的作用下产生位移S,力F所做的功
W= F S cos 。
F
位移S
•设计意图：由特殊到一般，启发学生类比归纳，从知识的不同领域体会 向量的存在与价值。
,
即ar
r b
r a
r
b cos .
其中，
是ar与br 的夹角
数量积是数量还是向量？
问题
影响数量积大小的因素有哪些？
问题回应，回馈课堂效果
我明白了，力对 物体做功不但和 力，位移的大小 有关，还与夹角 有关呢~~
我也知道了， 数量积的正负 与向量夹角有 关呦一
b
cBiblioteka Baidus
(
a
cos
)叫做向量
b在a方向上（
X
板书设计
科学合理的板书设计
平面向量数量积的物理背景及其含义
一、数量积的概念
二、数量积的性质
１、概念：
２、概念强调：（1）记法
（2）“规定” 三、数量积的运算律 3、几何意义：
4、物理意义：
四、学生自编例题： 例1：
例2：
例3：
课后反思
让学生从生活中和物理知识中感 受数学的魅力，激发学生学习的 热情；同时也培养了学生由特殊 到一般的思维品质和类比创新的 意识。但数量积的定义和运算性 质的运用有待于进一步提高。
具备了功等物理知识，并 且初步体会了研究向量运 算的一般方法。
•知识与技能 （1）理解平面向量的数量积及其物理意义、几何意义；
（2）掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； （3）能够运用定义和运算性质解决相关问题．
• 过程与方法
解决数学、物理和生活中问题。
•情感态度与价值观 培养学生自主探究与合作交流的良好学习品质．
设计意图：生活中处处有数学，培养学生学习兴趣
(1) a b a b 0
（2）a a a 2 | a |2| a | a 2
（3） cos =
a
b
a
b
问题
向量的数量积能解决哪些几何问题呢？
学生活动：发扬团队精神，互编习题，可 以参照教材，但要有改动，力求难倒对方
向量在平面几何领域 的重大作用
欢迎教师批评指正 谢谢各位
a在
b方向上）的投影。记做 ：OB1 b cos.
几
当θ为锐角时投影为正值;
何
当θ为钝角时投影为负值;
画
当θ为直角时投影为0;
板
当θ=0°时投影为|b|;
演
当θ=180°时投影为-|b|.
示
设计意图：理解投影可正可负可为零，与向量夹角有关
生活中两个人同时拎一个提包，夹角越大越 费力，为什么呢？ 你能用本节课的知识解释 吗？
1.概 念:
向量夹角: 范围0°≤θ ≤180°
b a
B
b
图甲
O ’ a A
1.观察上图甲向量a与向量b的夹 角是吗？ 2.应如何正确作出向量夹角呢？ 夹角范围是？
已知两个非零向量 a 和 b ，我们把数量| a || b | cos
叫做a与 b的数量积 ( 或内积 )( 或点积 )
记作
ar
r b
应用1：用向量方法证明著名的勾股定理
A
如图所示，在直角三角形中，
已知∠ACB=90°
b
c
求证：AC2+BC2=AB2
C
B
应用2：用向量方法证明直径所对的圆周角a为直角。
C
B
A
(1)交换律 a b b a
(2)数乘结合律 (a) b (a b ) a (b )
(3)分配律 (a b ) c a c b c
(a b) c a (b c )
a
b
a
c
b
c
（2012课标全国）
对功W=|F||s|cos结构分析
抽 象
平面向量数量积的定义
→a ·→b=| a | | b | cos
师特
生 探
殊
究化
重要性质 运 算 律
分层作业
1.课本P108 1—4，6； 2.某同学在单杠上做引体向上， 手臂握杠的姿势怎样最合适？试 用本节课的知识解释。