超越函数积分的五种解法Word版

超越函数积分的五种解法

On the five solutions to integral

transcendental function

袁玉军，陈婷婷，韩仁江

指导老师：李声锋 蚌埠学院 数学与物理系

摘要: 大学数学课程系统介绍了幂级数、留数、拉普拉斯变换以及二元函数等理论，本文基于这些理论，给出了求解超越函数积分问题的五种方法. 关键词：超越函数；积分；大学数学 Abstract:In this paper ,by using the Laplace transform ,the residue theorem,the binary function,etc.to solve the problem of the transcendental function's integral Keywords:transcendental function ,integral

1.引言

牛顿——莱布尼茨公式是计算定积分或广义积分的一般方法，但在某些情况下会遇到函

数的原函数不能用初等函数表示，如x

x sin ，x ln 1，2

x e ±等函数. 在阻尼振动、热传导与正态

分布等实际问题中，常常遇到此类函数的积分，此时就不能用牛顿——莱布尼茨公式求解.在

大学数学课程的学习中，我们已经较全面掌握了幂级数、留数、拉普拉斯变换以及二元函数等理论，本文将基于这些理论，给出超越函数定积分的五种解法.

2.五种解法

(1)基于幂级数展开法求积分

引理1[1]

若函数项级数

()n

u x ∑在区间[],a b 上一致收敛，且每一项都连续，则

()().b

b

n n

a

a

u x dx u x dx =∑∑⎰

⎰

例1 求定积分

1

0ln .1x

dx x -⎰ 分析 注意到ln 1x x -在()0,1内连续，且01ln ln lim ,lim 1.11x x x x

x x

+-

→→=-∞=-- 若定义函数

(),

0,ln ,01,11,

1,x x

f x x x x -∞=⎧⎪⎪=<<⎨-⎪

=⎪⎩

显然，()f x 在点0,1x x ==为可去间断点，故()f x 在[]0,1上可积. 因此这是一道普通的定积分问题，然而被积函数的原函数不易找到，下面用幂级数展开求解.

解 因为

()

()1

1ln ,

11,n

n x x x n

∞

=-=--<∑

所以

()1

10011ln 111n n x x

dx dx x x n ∞=⎛⎫-=- ⎪ ⎪--⎝⎭∑⎰⎰()11011n n x dx n -∞=-=-∑⎰. 又因为级数

()

1

1

1n n x n

-∞

=-∑

在区间[]0,1上一致收敛，且通项

()1

1n x n

--连续，所以得到

()1

2

1

1200111ln 1.16n n n x x dx dx x n n

π-∞∞==-=-=-=--∑∑⎰⎰■

（2）基于柯西积分公式求积分

引理2（柯西积分公式）

[2]

设区域D 的边界是周线（或复周线）C ，函数()f z 在D 内解

析，在D C +上连续，则有

()()

()2,.c f f z i d z D z

ξπξξ=∈-⎰

例2 求定积分

()cos 0

cos sin .e d π

θθθ⎰

分析 若此题利用牛顿——莱布尼茨公式，则寻找被积函数的原函数比较困难. 考虑到构造复变函数，利用该复变函数的积分来间接求出原积分.

解 考察复变积分(),||1z C e dz C z =⎰，其中()z

e f z z

=，利用柯西积分公式得 022I ie i ππ==. (1)

令cos sin z i θθ=+，代入z

e z

得

()cos sin 20cos sin cos sin z i C e e dz d i z i θθ

πθθθθ+=++⎰⎰

()()2cos sin 0

cos sin cos sin i i e

d i π

θθ

θθθθ+=

-+⎰

()()()2cos sin 02cos 0

cos sin sin sin i e

e id e

i id π

θ

θπ

θ

θ

θθθ

=⋅=+⎡⎤⎣⎦⎰

⎰

()()2cos cos 0

sin sin cos sin ,e ie d π

θθ

θθθ⎡⎤=

-+⎣⎦⎰

(2)

又因为()cos cos sin e θθ在[]0,π上为偶函数, 所以由(1)和(2)可得

()cos 0

cos sin e d π

θθθπ=⎰

.■

注：这题虽然不难，但给了我们启示——任意给定函数，构造复变函数且该函数在某区

域上的积分容易求出，使给定函数等于复变函数的实部或虚部，这样就可以求出实变函数的积分.

(3)基于留数理论求积分

引理3（柯西留数定理）[2]

若()f z 在周线或复周线C 所围的区域D 内除12,,....,n

ααα外解析，在闭域D C +上除12,,....,n ααα外连续，则

()()1

2Re .k

n

C

z k f z dz i s f z α

π=

==∑⎰ 引理4（若当尔引理）[2]

设函数()g z 沿半圆周:Re (0,i R C z θθπ=≤≤R 充分大)上

连续，且()lim 0R g z →+∞

=在R C 上一致成立，则

()()lim

00.R

imz C R g z e dz m →+∞=>⎰

引理5

[2]

设()f z 沿圆弧()12:,i r S z a re r θ

θθθ-=≤≤充分小上连续，且在r

S

上一

致成立极限

()()0

lim r z a f z λ→-=，