射洪中学2019-2020年高一上期半期考试 数学试题(含解析)

射洪中学2019-2020年高一上期半期考试
数学试题
一、选择题：（每小题5分，共60分．）
1.已知集合{}
(2)(1)0A x x x =-+则A =（ ）
A. {}12x x -<<
B. }{|12x x x -或
C. {}12x x -≤≤
D. }{|12x x x ≤-≥或
【答案】B 【详解】A ＝{x |（x ﹣2）（x +1）＞0}＝{x |x ＞2或x ＜﹣1}， 故选：B ．
2.下列函数在(0,)+∞上是减函数的是（ ） A. 2
1y x =+ B. 2log y x =
C. 1
y x
=
D. 1y x =+
【答案】C
【详解】二次函数y ＝x 2+1在（0，+∞）上为增函数； 对数函数2log y x =在（0，+∞）上为增函数； 反比例函数y 1
x
=
在（0，+∞）上为减函数； 一次函数y ＝x+1在（0，+∞）上为增函数，； ∴C 正确．故选：C ．
3.函数()
lg 31x f x +=的定义域是（ ） A. 1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
C. 11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭
D. 1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
【答案】A
【详解】要使函数有意义，需要10310
x x ->⎧⎨+>⎩，解得1
13-<<x ，
所以函数的定义域为1
(,1)3
-，故选A.
4.已知函数23(0)()log (0)
x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩ ，那么1
[()]4f f 的值为（ ）
A. 9
B. 1
9
C. 9-
D. 19
-
【答案】B
【详解】∵104
＞，∴22211244f log log -⎛⎫===-
⎪
⎝⎭2， 而﹣2＜0，∴f （﹣2）＝3﹣21
9
=．
∴11
49
f f ⎡⎤⎛⎫=
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 故选：B ．
5.若函数()f x 为R 上的
奇函数，当0x ≥时， 2
()2f x x x =-，则(1)f -的值为（ ）
A. -1
B. 2
C. 3
D. 1
【答案】D
【详解】解：∵当x ≥0时，f （x ）＝x 2
﹣2x ． ∴f （1）＝12﹣2×1＝﹣1 ∵f （x ）为R 上的奇函数， ∴f （﹣1）＝﹣f （1）＝1．
故选：D
6.函数2x y a +=（0a >且1a ≠）的图象经过的定点坐标是（ ）
A. ()2,1-
B. ()2,1
C. ()0,1
D. ()2,0-
【答案】A
【详解】令x +2＝0，解得x ＝﹣2， 此时y ＝a 0＝1，故得（﹣2，1） 此点与底数a 的取值无关，
故函数y ＝a x +2
（a ＞0，且a ≠1）的图象必经过定点（﹣2，1） 故选：A ．
7.已知a =log 20.3，b =20.1，c =0.21.3，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A. a b c <<
B. c a b <<
C. b c a <<
D. a c b <<
【答案】D
【详解】解：由对数和指数的性质可知，
0.10 1.302log 0.3022100.20.21a b c a c b =<=>=<=<=∴<<Q ，，，
故选D ．
8.已知函数()131f x x +=+，则()f x 的解析式为（ ）
A. ()32f x x =-
B. ()23f x x =-
C. ()32f x x =-
D. ()3f x x = 【答案】C
【详解】f （x +1）＝3x +1＝3（x +1）﹣2；∴f （x ）＝3x ﹣2．故选：C ．
9.已知01a <<，则函数x
y a =和()2
1y a x =-在同一坐标系中的图象只可能是图中的（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
试题分析:根据题意，由01a <<，函数x y a =在R 上为减函数，可排除选项A 、C ，又110a -<-<，则函数2
(1)y a x =-的图象是开口向下.故选D.
10.已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，若f （2）=﹣2，则满足f （x ﹣1）≥﹣2的x 的取值范围是 （ ）
A. （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）
B. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）
C. [﹣1，﹣3]
D. （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
【答案】B
【详解】根据题意，偶函数f x （）在[0+∞，）单调递增，且22f =-（
）， 可得f x f x =（）（），
若12f x -≥-（），即有12f x f -≥（）（），
可得12x -≥，
解可得：13x x ≤-≥或， 即的取值范围是1][3-∞-⋃+∞（，，）；
故选B ．
11.已知函数()
2
13()log f x x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪
⎝
⎭上是增函数，则a 的取值范围为（ ） A. [)1
-+∞， B. (]1-∞-，
C. 112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，
D. 112⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
，
【答案】C
【详解】已知函数()
213
()log f x x ax a =--在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝
⎭
上是增函数，13
log y t =单调递减，则t ＝x 2
﹣ax -a
在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭单调递减，又t ＝x 2
﹣ax -a>0在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭恒成立，故12210
42
a a a ⎧≥-⎪⎪⎨⎪+-≥⎪⎩ 解得112a -≤≤
故选：C
12.若直角坐标平面内的两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数()y f x =的图像上；②P ，Q 关于原点对称，则称P ，Q 是函数()y f x =的一对“友好点对”（点对P ，Q 与Q ，P 看作同一对“友好点对”）.已知函数
log (01),(04)
()3(40)a x a a x f x x x >≠<≤⎧=⎨+-≤<⎩
且若此函数的“友好点对”有且只有一对，则a 的取值范围是
（ ）
A. 1
(,1)(1,)4⋃+∞ B. (0,1)(1,)⋃+∞ C. (1,14
) D. (0,1) 【答案】A
【详解】当﹣4≤x ＜0时，函数y ＝|x +3|关于原点对称的函数为﹣y ＝|﹣x +3|，即y ＝﹣|x ﹣3|，（0＜x ≤4）， 若此函数的“友好点对”有且只有一对，
则等价为函数f （x ）＝log a x ，（x ＞0）与y ＝﹣|x ﹣3|，（0＜x ≤4），只有一个交点， 作出两个函数的图象如图：
若a ＞1，则f （x ）＝log a x ，（x ＞0）与y ＝﹣|x ﹣3|，（0＜x ≤4），只有一个交点，满足条件， 当x ＝4时，y ＝﹣|4﹣3|＝﹣1，
若0＜a ＜1，要使两个函数只有一个交点，
则满足f （4）＜﹣1，即log a 4＜﹣1，得14
＜a ＜1，
综上1
4＜a ＜1或a ＞1，即实数a 的取值范围是()1114⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭
，
，， 故选：A ．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13.已知集合{}3,4,44A m =-，集合{
}2
3,B m =，若B A ⊆，则实数m ＝ ___
【答案】 -2
【详解】因为集合{}{
}2
3,4,44,3,A m B m
=-=，且B A ⊆，
所以24m =或244m m =-，截得2m =±或2m =， 当2m =-时，集合{}{}3,4,12,3,4A B =-=，满足题意； 当2m =时，集合{}3,4,4A =，不满足集合元素的互异性，舍去， 综上可知，2m =-.
14.函数4
2
y x =
-在区间[]3,6上的值域是______. 【答案】[]1,4
【详解】4
2
y x =
-在区间[]3,6单调递减，则当6x =时，min 1;y = 当3x =时，max 4;y = 故值域为[]1,4 故答案为：[]1,4
15.函数
2
13
log (23)y x x =+-的单调增区间为 ． 【答案】()--3∞，
【解析】：
，3x <-或1x >，
在3x <-时递减，在1x >时递增，又
13
log y u
=单调递减，所以原函数的单调减区间是(,3)-∞-．
16.已知常数0a >，函数()22x x f x ax
=+的图象经过点65P p ，⎛⎫ ⎪⎝⎭，15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．若236p q
pq +=，则
a =______．
【答案】6【详解】函数f （x ）=22x
x ax
+的图象经过点P （p ，65），Q （q ，15-）．
则：2261
12255p q p
q ap aq +=-=++， 整理得：2
2222222p q p q p q
p q p q aq ap aq ap a pq
+++++++++=1， 解得：2p+q =a 2pq ， 由于：2p+q =36pq ， 所以：a 2
=36， 由于a ＞0， 故：a=6． 故答案为6
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，不能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内． 17.计算：(1))
32
2
4
3
116821281--
⎛⎫⎛⎫-+-
- ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
(2)22551
lg
log (log 16)(2log 10log 0.25)1000
+++ 【详解】（1）原式=()
3
2
33
227192
41441388-⎛⎫
-+-=-+-= ⎪⎝⎭
（2）原式＝﹣3+log 24(
)
2
5100.25log +⨯ ＝﹣3+22
55log +
＝﹣1+2 ＝1．
18.已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，且当0x >时，2
()1f x x
=- （1）用定义法证明()f x 在()0,∞+ 上是减函数； （2）求函数()f x 的解析式. 【详解】（1）当x ＞0时，f （x ）2
x
=
-1， 在（0，+∞）上任取x 1，x 2，且x 1＜x 2，
f （x 1）﹣f （x 2）＝（12x -1）﹣（22x -1）()211212
222x x x x x x -=-=， ∵0＜x 1＜x 2， ∴x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＞0， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＞0，
∴f （x ）在（0，+∞）上是减函数．
（2）∵f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ＞0时，f （x ）2
x
=-1 ∴当x ＜0时，f （x ）2
1f x x
=-=-
-． 故函数()f x 的解析式为2
1,0()21,0x x
f x x x
⎧->⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩
19.设全集U =R ，已知集合()1
A =+∞，，集合[]12
B =，
. （1）求U C A ；
（2）若{}|21C x a x a =≤≤-且C B ⊆,求实数a 的取值范围. 【详解】（1）U C A =∞（-,1] （2）由（1）知，[]12B =
，
，又∵C ⊆B ； ①当2a ﹣1＜a ，即a ＜1时，C ＝∅，成立； ①当2a ﹣1≥a ，即a ≥1时，
1212
a a ≥⎧⎨
-≤⎩解得1≤a 3
2≤， 综上所述，a ∈（﹣∞，3
2
]．
20.设函数22()log (4)log (2)f x x x =⋅,
1
416
x ≤≤．
（1）若2log t x =,求t 取值范围；
（2）求()f x 的最值，并给出最值时对应的x 的值. 试题解析：（1）[]21
4,log 4,16
2x t x ≤≤∴=∈-Q
. （2）由（1）可得()()()()()2222log 4log 22log 1log f x x x x x =⋅=++2
2
3132+24
t t t ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭，
32t ∴=-，可得23log 2x =-，解得322=4
x -=时，()min 14f x =-，当2t =即4x =时，()max 12f x =.
21.已知1
()()21
x
f x a a R =-
∈+是奇函数. （1）求a 的值；
（2）试判断函数()f x 的单调性（不需证明）； （3）若对任意的1
[,2]4
m ∈,不等式222[(log )](log )0f m f k m ++<恒成立，求实数k 的取值范围.
【详解】（1）由题意：()1
21
x f x a =-
+是定义域为R 的奇函数， ∴f （0）＝0即0
1
021a -=+， ∴a ＝12
． 当a ＝12时，()1121221221x x x
f x -=-=++（）
， ()()()
()211221*********
x x x x x x
f x f x ------===-=-+++（）， 故a ＝
1
2
满足题意； （2）单调递增函数； （3）由（2）得
222[(log )](log )0f m f k m ++<等价于22[(log )]f m <﹣2(log )f k m +
即2
22(log )log k m m <--
令[]2log 2,1m t ∈-=∴t 2
+t+k <0对任意t ∈[]2,1-恒成立，
则-k >t 2
+t=2
1124
t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ,解得：-k >2即k <-2．
22.已知函数3
()log 3
-=+m
x f x x ，（0m >且1m ≠） （1）当m =2时，解不等式()1f x >；
（2）若0＜m ＜1，是否存在0βα>>，使()f x 在[,]αβ的值域为[log (1),log (1)]m m m m βα--？若存在，
求出此时m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）当m =2时，23log 13x x ->+，则323x x ->+，得9+03
x
x <+则不等式解集为()9,3-- （2）()3log lo 613g 3m m x f x x x ⎛
⎫- ⎪+⎝-=+⎭=，613
t x =-+单调递增， 故当0＜m ＜1，()3log lo 613g 3m
m x f x x x ⎛
⎫- ⎪+⎝-=+⎭
=单调递减， 若()f x 在[,]αβ的值域为[log (1),log (1)]m m m m β
α--，则()[,]3,αβ⊂+∞且()()log (1),
log (1),m m f m f m ααββ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩
即()log (1)m m x f x -=在()3,+∞上有两个不等的根，即(1)3
3
m x x x --=+在()3,+∞上有两个不等的根，又令()30,x μ=-∈+∞ ()()(1)()362112
83x x m x μμμμμ
-+++=
==++-
又12
88μμ
+
+≥
，当且仅当3x μ==+1
y m
=
与128y μμ=++有两个
不同交点，则180m m >+<<
故存在0m <<。