第三章空间问题的有限元方法

第三章 空间问题的有限元方法 引言

许多工程实际问题，属于空间问题，由于结构形状或受力的复杂性，用经典弹性理论去求解它们的解析解是不可能的。而有限元法处理此类问题，原则上不存在什么困难，本章将介绍一般空间问题的四面体单元。 一般空间问题的有限元列式

3.2.1 单元位移模式及插值函数

空间问题中，每个单元有四个结点，编码为i,j,m,p 。每个结点有3个位移分量。每个结点的位移可用位移矢量i α表示，即

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=i i i i w v u α ),,,(p m j i

单元结点的位移向量可表示为

[

]

T

p p p m m m j j j i i i

p m j i e

w v u w v u w v u w v u =⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ααααα

？

e α为单元结点位移列阵。

假设单元内的位移模式选取一次多项式

z y x u 4321ββββ+++=

z y x v 8765ββββ+++= （3.2.1） z y x w 1211109ββββ+++=

由于四个结点也在单元内，满足位移模式，于是得

i i i i z y x u 4321ββββ+++=

j j j j z y x u 4321ββββ+++= （3.2.2）

m m m m z y x u 4321ββββ+++=

…

p p p p z y x u 4321ββββ+++=

上式是关于4321,,,ββββ的线性方程组。4321,,,ββββ是待定常数，也称为广义坐标。它可由（3.2.2）式求出。上式的系数行列式是

V z y x z y x z y x z y x D p

p

p

m m m j j j i i i 21111==

（3.2.3）

上式中当i,j,m,p 的编号顺序满足右手法则，V 值为正，其大小为四面体体积，因此为了方便单元的编号一般满足右手法则。求得4321,,,ββββ后,回代入位移模式得

p p m m j j i i u N u N u N u N u +++= (3.2.4)

式中

)(61

z d y c x b a V

N i i i i i +++= ),,,(p m j i (3.2.5)

p

p

p

m m m

j j j

i z y x z y x z y x a = -

p p m m

j j

i z y z y z y b 111-=

p

p

m m

j

j

i z x z x z x c 111= ),,,(p m j i （3.2.6）

p

p

m m

j

j

i y x y x y x d 111-= 上式下标),,,(p m j i 轮换，可得j j j j d c b a ,,,,m m m m d c b a ,,,及p p p p d c b a ,,,。 同理,也可得到其它两式,于是得

p p m m j j i i u N u N u N u N u +++=

p p m m j j i i v N v N v N v N v +++= （3.2.7）

p p m m j j i i w N w N w N w N w +++=

其中

、

)(61

z d y c x b a V

N i i i i i +++=

),,,(p m j i (3.2.8)

p m j i N N N N ,,,称为单元的插值函数或形函数，这里它是z y x ,,的一次函数，其中

i i i i d c b a ,,,，j j j j d c b a ,,,,m m m m d c b a ,,,及p p p p d c b a ,,,是常数，由表达式可知，

它完全由单元的大小和方位确定，一旦单元确定了，这些常数也完全确定。

（3.2.7）式的矩阵形式是

⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=p m j i p p p m

m m j

j j i

i

i

N N N N N N N N N N N N w v u u αααα0

00000

00000

00000

0000 [

]

⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡=p m j

i p m

j i

IN IN IN IN αααα

[]

e e p m j i N N N N N αα==][][][][ （3.2.9） N 称为插值函数矩阵或形函数矩阵。 3.2.2．应变矩阵和应力矩阵 ⑴应变

(

确定了单元位移后，可以很方便地利用几何方程和物理方程求得单元的应变

和应力。在（1.4.21）式的几何方程中，位移用（）式代入，得到单元应变为

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=z u x w y w z v x v y u z w y v x u zx yz xy z y x γγγ

εεεε

[

]

e e p m

j i

B B B B B αα=--=][][][][ （3.2.10）

B 称为应变矩阵。

应变矩阵的分块矩阵i B ][是

⎥⎥⎥⎥

⎥

⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=

i i i i i i i i i i b d c d b c d c b V B 00000

000061][ ),,,(p m j i （3.2.11）

可以看出，应变矩阵B 中的元素都是常量，从而单元中的应变都是常量，所以三维线性位移模式的四面体单元是常应变单元。 ⑵ 应力

单元应力可以根据物理方程求得， 其应力应变关系如下：

，

)]

([1

)]([1

)]([1

x y x z z x z y y z y x E

E E σσνσεσσνσεσσνσε+-=+-=+-=

⎪⎭

⎪

⎬⎫

===μτγμτγμτγ///xy xy zx zx yz yz

或