《简单线性规划》示范公开课教学设计【高中数学必修5(北师大版)】

《简单线性规划》教学设计

【知识与能力目标】

1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；

2.能根据条件建立线性目标函数；

3.了解线性规划问题的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.

【过程与方法目标】

1.能根据条件建立线性目标函数；

2.了解线性规划问题的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大值、最小值.

【情感态度价值观目标】

了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；

【教学重点】

线性规划问题的图解法；

【教学难点】

寻求线性规划问题的最优解.

在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。

1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：

引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

（1）用不等式组表示问题中的限制条件：

设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：

◆教学目标

◆教学重难点

◆教学过程

28

416

412

x y

x

y

x

y

+≤

⎧

⎪≤

⎪⎪

≤

⎨

⎪≥

⎪

≥

⎪⎩ (1)

（2）画出不等式组所表示的平面区域：

如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。

（3）提出新问题：

进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？

（4）尝试解答：

设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则y

x

z3

2+

=，这样，上述问题就转化为：当

y

x,满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？

把

y

x

z3

2+

=变形为

2

33

z

y x

=-+

，这是斜率为

2

3

-

，在y轴上的截距为3

z

的直线。当z 变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（

28

33

y x

=-+

），这说明，截距3

z

可以由平

面内的一个点的坐标唯一确定。

可以看到，直线233z y x =-+

与不等式组（1）的区域的交点满足不等式组（1），而且当截距3z 最大时，z 取得最大值。因此，问题可以转化为当直线

233z

y x =-+

与不等式组（1）确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P ，使直线经过点P 时截距3z

最大。 （5）获得结果：由图可以看出，当

233z y x =-+

经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点)2,4(M 时，截距3z 的值最大，最大值为14

3，这时1432=+y x .所以，每天生产甲产品4

件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。 2、有关概念

在上述引例中，不等式组是一组对变量x ，y 的约束条件，这组约束条件都是关于x ，y 的一次不等式，所以又称为线性约束条件。2z x y =+是要求最大值或最小值所涉及的变量x ，y 的解析式，叫目标函数。又由于2z x y =+是x ，y 的一次解析式，所以又叫线性目标函数.

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域。其中可行解（5,2）和（1,1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解. （三）例题分析：

例1：设y x ,满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≤+≤+--≥-≥36

34123443

y x y x y x

（1）求目标函数y x z 32+=的最小值与最大值 （2）求目标函数2434-+-=y x z 的最小值与最大值 解：（1）作出可行域（如图）

令0=z 作直线032:=+y x l

当把直线向下移动时所对应的y x z 32+=的函数值随之减小，所以直线经过可行域的顶点B 时，y x z 32+=取得最小值，顶点B 是直线3-=x 与直线4-=y 的交点，即

)4,3(--B

当把直线向上移动时所对应的y x z 32+=的函数值随之增大，所以直线经过可行域的顶点

D 时，y x z 32+=取得最大值，顶点D 是直线1234=+-y x 与直线3634=+y x 的交点，由⎩

⎨

⎧=+=+-36341234y x y x 知)8,3(D ，此时顶点)4,3(--B 和顶点)8,3(D 为最优解 所以18)4(3)3(2min -=-⨯+-⨯=z ，30

8332max =⨯+⨯=z

（2）作直线

34:0=+-y x l ，把直线向下平移时，所对应的y x z 34/

+-=的函数值随之

减小，即2434-+-=y x z 的函数值随之减小，当直线经过可行域顶点C 时，

y x z 34/+-=取得最小值，即2434-+-=y x z 取得最

小值

顶点C 是直线3634=+y x 与直线4-=y 的交

点，由⎩

⎨

⎧=+-=36344

y x y 知)4,12(-C

代入目标函数2434-+-=y x z 知84min -=z 由于直线

34:0=+-y x l 平行于直线

1234=+-y x ，因此当把直线0l 向上平移到1l 时，1l 与

可行域的交点不止一个，而是线段AD 上的所有点，此时，

12

2412max -=-=z

练习：设变量,x y 满足条件

4335251x y x y x -≤-⎧⎪

+≤⎨⎪≥⎩

，

（1）求2z x y =+的最大值和最小值.（2）求610z x y =+的最大值和最小值

.