2020高考立体几何动点最值问题压轴选填题

立体几何新颖问题压轴填空题

以立体几何为背景的新颖问题常见的有折叠问题，与函数图象相结合问题、最值问题，探索性问题等. 对探索、开放、存在型问题的考查，探索性试题使问题具有不确定性、探究性和开放性，对学生的能力要求较高，有利于考查学生的探究能力以及思维的创造性，是新课程下高考命题改革的重要方向之一；开放性问题，一般将平面几何问题类比推广到立体几何的中，不过并非所有平面几何中的性质都可以类比推广到立体几何中，这需要具有较好的基础知识和敏锐的洞察力;对折叠、展开问题的考查，图形的折叠与展开问题（三视图问题可看作是特殊的图形变换）蕴涵了“二维——三维——二维” 的维数升降变化，求解时须对变化前后的图形作“同中求异、异中求同”的思辩，考查空间想象能力和分析辨别能力，是立几解答题的重要题型.

类型一 几何体在变化过程中体积的最值问题

典例1 在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D 所在的平面

内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是（ ）

A ．36

B ． C.24 D ．

【名师指点】在运动变化过程中，当变量达到某一个特殊位置时，要所求的变量的最值达到. 这就

要求看准变化中的临界点，从而确定最值. 空间问题平面化是解题关键．

【举一反三】表面积为π60的球面上有四点C B A S 、、、且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平面

ABC 的距离为3，若ABC SAB 面⊥,则棱锥ABC S -体积的最大值为 ．

类型二 几何体的外接球或者内切球问题

典例2 已知长方体1111D C B A ABCD -的外接球O 的体积为

3

32π

，其中21=BB ，则三棱锥ABC O -的体积的最大值为（ ）

A.1

B.3

C.2

D.4

【举一反三】在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，0

2,2,1,60PA AB AC BAC ===∠=，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．

类型三 立体几何与函数的结合

典例3 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1AC 上取一点P ，以A 为球心，AP 为

半径作一个球，设AP x =，记该球面与正方体表面的交线的长度和为()f x ，则函数()f x 的图像最有可能的是（ ）

【名师指点】本题考查数形结合的数学思想方法，考查特殊值、小题小作的小题技巧.

【举一反三】如图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱'AA ，'CC 的中

点，过直线EF 的平面分别与棱'BB 、'DD 分别交于,M N 两点，设BM x =，

[0,1]x ∈，给出以下四个结论：①平面MENF ⊥平面BDD B ''；②直线AC ∥平面

MENF 始终成立；③四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数；④四棱锥

C MENF '-的体积()V h x =为常数；以上结论正确的是___________．

【精选名校模拟】

1． 如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以顶点A 为球心， 2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交得到的两段弧长之和等于（ ）

A ．65π

B ．32π C. π D ．6

7π

2. 在三棱锥ABC P -中，PC PB PA ,,两两垂直，且1,2,3===PC PB PA ，设M 是底面ABC ∆内一点，定义),,()(p n m M f =，其中p n m ,,分别是三棱锥PAB M -，三棱锥PBC M -，三棱锥PCA M -的体积，若

),,2

1()(y x M f =，且81≥+y a

x ，则正实数a 的最小值为________.

F E

A'

B'

A

B

C

D C'D'

M N

2． 已知5 2.236≈，如图，在矩形ABCD 中，5,3,AD AB E F ==、分别为AB 边、CD 边上一点，且1AE DF ==，现将矩形ABCD 沿EF 折起，使得ADEF BCFE ⊥平面平面，连接

AB CD 、，则所得三棱柱ABE DCF -的侧面积比原矩形ABCD 的面积大约多（ ）

A.68%

B.70%

C.72%

D.75% 3． 如图四边形ABCD ，2AB BD DA ===，2BC CD ==.现将ABD ∆沿BD 折起，当二面

角A BD C --处于5[

,]66

ππ

过程中，直线AB 与CD 所成角的余弦值取值范围是（ ） A ．522[,]88- B ．252[,]88 C ．2[0,]

8

D ．52[0,]8

4． 如图，90ACB ∠=︒，DA ⊥平面ABC ，AE DB ⊥交DB 于E ，

AF DC ⊥交DC 于F ，且2AD AB ==，则三棱锥D AEF -体积的最大值为 ．

5． 已知四面体ABCD 的每个顶点都在球O 的表面上，

5AB AC ==，8BC =，AD ⊥底面ABC ，G 为ABC ∆的重心，且

直线DG 与底面ABC 所成角的正切值为1

2

，则球O 的表面积为_________．

7．已知ABC ∆的三边长分别为5=AB ，4=BC ，3=AC ，M 是AB 边上的点，P 是平面ABC 外一点．给出下列四个命题：①若⊥PM 平面

ABC ，且M 是AB 边中点，则有PC PB PA ==；②若5=PC ，⊥

PC 平面ABC ，则PCM ∆面积的最小值为

2

15

；③若5=PB ，⊥PB 平面ABC ，则三棱锥ABC P -的外接球体积为

π6

2

125；④若5=PC ，P 在平面ABC 上的射影是ABC ∆内切圆的圆心，则三棱锥ABC P -的体积为232；其中正确命题的序号是 （把

你认为正确命题的序号都填上）．

A

B

C

D

E

F