第七章-线性调频通信技术

第七章线性调频通信技术
线性调频(LFM)是一种不需要伪随机编码序列的扩展频谱调制技术。

由于线性调频信号占用的频带宽度远大于信息带宽，所以也可以获得很大的系统处理增益。

线性调频信号又称鸟声(Chirp)信号，因为其频谱带宽落于可听范围，则听若鸟声，所以又称Chirp扩展频谱(CSS)技术。

LFM技术在雷达、声纳技术中有广泛应用，如在雷达定位技术中，它可在增大射频脉冲宽度、提高平均发射功率、加大通信距离同时又保持足够的信号频谱宽度，不降低雷达的距离分辨率。

1962年，M.R.Wiorkler将CSS技术用于通信中，它以同一码元周期内不同的Chirp 速率表达符号信息。

研究表明，这种以Chirp速率调制的恒包络数字调制技术抗干扰能力强，能显著减少多径干扰的影响，有效地降低移动通信带来的快衰落影响，非常适合无线接入的应用。

进入21世纪以来，将CSS技术用于扩频通信的研究发展日益活跃，尤其随着超宽带(UWB)技术的发展，将CSS技术与UWB 的宽带低功率谱相结合形成的Chirp-UWB通信，它利用Chirp技术产生超宽带宽，具备二者优势，增强了抗干扰与抗噪声的能力。

目前CSS技术已成为传感网络通信标准IEEE802.15中物理层候选标准。

7.1 LFM信号的表征与特性
7.1.1 信号表征
线性调频(LFM)信号是指瞬时频率随时间成线性变化的信号。

假设在一个信码持续时间T内，信号的瞬时频率变化如图7-1所示。

也就是说，假设信号的瞬时角频率
i
ω为：
02T T
,
T22
i
F
t t π
ωω
=+-≤≤(7-1)
式中，00=2f ωπ，0f 为中心频率，F 为瞬时频率变化范围，即围绕0f 的两倍频率偏移。

由于信号的瞬时角频率与瞬时相位()t φ之间为微分关系，即 ()i d t dt ωφ= (7-2)
所以，LFM 信号的时域表达式可以写为(设振幅归一化，初始相位为零)： 20T T ()cos{()}cos(),T 22F
f t t t t t πφω==+-≤≤ (7-3)
从而有对应图7-1的时域波形()f t 如图7-2所示。

2-2i
w
0f 2
F 图7-1 LFM 信号的瞬时频率图7-2 LFM 信号的时域波形
按照处理增益的定义，现在信号的高频带宽近似等于F ，信息带宽为1/T ，故频谱扩展带来的处理增益等于F /1/T=F T ，此即时间带宽积，通常选用F T>>1。

在信号匹配滤波检测的分析中可以看到，F T 就是匹配滤波器输出的最大峰值。

7.1.2 信号频谱特性
现在来分析(7-3)式表示的LFM 信号()f t 的频谱特性。

为便于推导与计算，常采用复信号表示形式。

众所周知，一个时间波形是时间的实函数，而复函数的实部就表示了这个时间波形，例如00cos()Re{}j t t e ωω=。

用复函数来表示实函数的目的在于方便傅里叶变换的处理运算，例如：
000[][cos()sin()]j t e t j t ωωω=+F F ，
000[cos()][()()]t ωπδωωδωω=-++F ，
000[sin()][()()]t j ωπδωωδωω=+--F 都包含有正负频率谱，但是
000000[][()()][()()]2()j t e j j ωπδωωδωωπδωωδωωπδωω=-+++⋅+--=-F ，只包含正频率谱，此结果表明，复信号0j t e ω的频谱与实信号0cos()t ω的正频率谱相同，只是倍数不同。

大家知道，实信号频谱含有正，负频率分量，但是正负频率普的振幅谱对称，相位谱反对称，因此对于一个实信号时间波形，完全可以用对应复信号来求其频谱，结果是等效的。

下面 应用此结论来求LFM 信号时间波形()f t 的频谱。

对于(7-3)式()f t 的复数形式可表示为 20()T T T ()22F
j t t F t e t πω+-=≤≤， (7-4)
对()F t 实施傅里叶变换，可得()F t 频谱()P ω
(
)20222
00()T/2T -T/2T )T/224-T/2()[()]()F j t t j t j j F P F t F t e dt e dt e e dt
πωωωπωωωωπω⎡⎤-+∞⎢⎥-⎣⎦-∞
⎤-⎥--⎦====⎰⎰⎰F (7-5)
进行变量代换，令20)x ωω⎤=-⎥⎦，则上式变为
(
)22021T 42()j j x F P e e dx πωωμπμω--= (7-6)
式中，10)μωω=-
20)μωω=
- (7-6)式计算结果如下：
(
)02211T 224()cos sin 22j F P e x dx j x dx ωωμμπμμππω--⎤⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦⎰⎰ (7-7)
式中，方括弧内积分可引用特殊函数积分(Fresnel 积分表可查到)
20()cos()c t dt μμ⎤=⎥⎦⎰
与20()sin()s t dt μμ⎤=⎥⎦⎰ 来计算，从而有
(
)]20T 411()()()j F P e c js ωωπωμμ--=+ (7-8) 式中，
1()c c c μμμ⎛⎛=- ⎝⎝
(7-9)
1()s s s μμμ⎛⎛=- ⎝⎝
(7-10)
这样可得()F t ，也即()f t 的振幅谱与相位谱分别为
1/22211|()|()()P c s ωμμ⎤=+⎦ (7-11) 2
011T(-)()()arctan ()4s c F ωωμϕωμπ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
(7-12) 当处理增益F T=50时的|()|P ω与()ϕω分布如图7-3所示。

)|
F 0
f
图7-3 LFM 信号的振幅谱|()|P ω与相位谱()ϕω分布
由图7-3可以看出，相位谱()ϕω由两部分组成，(7-12)式第二项决定的群时延=()d d τϕωω与ω成直线关系，它是主要部分；而第一项11()arctan ()s c μμ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
值在
带宽F 内很小，基本上呈均匀分布，称之为残余相角。

所以()ϕω的群时延特性基本为线性。

振幅谱|()|P ω在B=F 的带宽内基本是平坦起伏的均匀分布，也即95%的信号能量分布在带宽B 内。

图7-4是0560MHz,=160MHz f F =的电路产生的LFM 信号在频谱仪上显示的谱形，基本为一等幅矩形谱，与理论分析基本一致。

图7-4 频谱仪显示的LFM 信号频谱
7.1.3 信号检测特性
对接收的LFM 信号的检测方法有多种，原理上应用匹配滤波器概念进行检测。

匹配LFM 信号频谱|()|P ω的匹配滤波器传递函数应为
*T ()()j H P e ωωω-= (7-13)
式中，*()P ω为LFM 信号频谱()P ω的共轭，T 为匹配滤波器时延。

对于()P ω，
可以近似|()|P ω在B=F 频带内是一均匀分布的常数，按照(7-11)式与(7-12)式，有
()20T 400(),j F P F F ωωπωωπωωπ--≈-≤≤+
(7-14) 令 2
0T()T
4()j j F H e ωωωπω--= (7-15)
设匹配滤波器输入为LFM 的复数信号形式，输出为
1()()()2j t M t H P e d ωωωωπ∞-∞=⎰
(T)001,2j t e d F F ωωωπωωππ∞--∞=-≤≤+⎰
(7-16)
又可写为
0000(T)(T)(T)1()2F j t j t j t F M t e e e d ωπωωωωπωπ+-----⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰
0000()(T)(T)12F j t j t F e d e ωπωωωωπωπ+----⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
⎰ (7-17) (7-17)式括弧内积分等效于宽度为F 的频域门函数f F ⎡⎤∏⎢⎥⎣⎦
积分，即(7-17)式等效为
00()(T)(T)0011()()2j t j t f f M t F e d e F F ωωωωωπ∞----∞⎡-⎤⎡⎤=∏-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰ (7-18)
(7-18)式内傅里叶积分可应用常用的的傅里叶变换对： 1(2)22a f S t πωωω⎛⎫↔∏ ⎪⎝⎭ (7-19)
式中，2ω为频域门函数带宽，这里2F ω=，(7-18)式的门函数是以0f 为中心，宽度为F 的波形，因此
0(T)()[(T)]j t a M t F t e ωπ--
}
00cos[(T)]sin[(T)]t j t ωω=-+- (7-20)
检测输出为LFM 的实信号，故对上式取实部得到输出
0()Re[()]S t M t =
0(T)]t ω=- (7-21)
这是主瓣宽度为1/F 7-5所示。

图7-5 LFM 信号的匹配滤波输出波形
显然，时间带宽积F T 愈大，也即处理增益越高，检测效果越好。

假设信道为白高斯噪声信道，进入匹配滤波器的单边功率谱密度为0n ，噪声是不匹配滤波器的，因此，匹配滤波器输出噪声功率为0N n F =。

若对匹配滤波器输出信号
峰值采样，则有平均信号功率1T 2
S F =，这是假设输入信号振幅A=1下得出的一般形式则为2
A T 2S F =。

输出信噪比
200A T ()22b O E S F N n F n == 其中，2A T b E =为信号能量。

输入信噪比
200A ()22T b i E S N n F n F == 从而有
0()(T)()i S S F N N = (7-22)
LFM 信号的匹配滤波特性表明信号有极强的自相关特性。

分析表明，LFM 信号还有极好的互相关特性，检测时对于非匹配滤波器的LFM 信号能量将均匀地散落在2T 时间间隔之中，这个特性作为通信信号的数据符号识别特别重要。

7.2 Chirp 通信信号产生与检测
7.2.1 Chirp 通信信号一般形式
通信的二元数据也可用LFM 信号，常称为Chirp 信号来传输。

最常用做法是用围绕着中心频率0f 的正向和负向频率斜升变化来代表二元信码”1”与”0”，表示为
对应2020''1"()cos()T "0"()cos(-)T
F f t t t F f t t t πωπω⎧→=+⎪⎪⎨⎪→=⎪⎩信码信码
(7-23)
()f t 随频率变化的时频关系如图7-6所示。

(
f t 0
f t
图7-6 ()f t 的时频关系图
接收端采用两个相应的匹配滤波器来检测。

这个通信过程可以简单地如图7-7所示。

1”0”图7-7 采用正负斜率Chirp 信号通信过程
代表信码“1”的正斜率Chirp 信号通过匹配滤波器的情况已在7.1.3中作了分析，匹配滤波器输出是一个峰值功率正比于时间带宽积F T 的压缩脉冲，通过取样判决可以恢复出信码“1”。

代表信码“0”的负斜率Chirp 信号通过对应的负斜率匹配滤波器可得出与正斜率匹配滤波器相同结论的压缩脉冲，通过取样判决确定信码“0”。

正、负斜率Chirp 信号经信道传输，都会对两个匹配滤波器形成输入，下面分析一下，若负斜率Chirp 信号输入正斜率匹配滤波器会产生什么样的结果？
作为匹配正斜率Chirp 信号的匹配滤波器传递函数()H ω如(7-15)式表示，现设其输入为不相匹配的负斜率Chirp 信号，即
'20T T ()cos(),T 22
F
f t t t t πω=--≤≤ 相应的复数表示 20()'T T T (),22F
j t t F t e t πω-=-≤≤ (7-24)
对于复数'()F t 输入，正斜率匹配滤波器的傅里叶变换输出
2200()()T/2T 4T/21()2F j t j j t F S t e d e d πωωωωτωπτωπ⎡⎤---∞⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦
⎰⎰ 20()T 41()2F j t t z e ππωμ-+= (7-25)
式中，
2212()j x z e dx πμμμ-=⎰
1)t μ=-
，2T )t μ=--
上式中，()z μ取近似值后，可得出
20(),T T T 4()0,T,T F j t t t e S t t t ππω-+-≤≤⎧⎪=⎨⎪><-⎩ (7-26)
上式表明，不匹配的负斜率Chirp 信号输入，滤波器输出是一个均匀分布在2T 范围内的低幅度值。

假若Chirp 信号的时间带宽积(处理增益)F T=50，输入信号振幅为1时，匹配输出相对于不匹配输出有50倍差距，可以获得明显的检测效果。

除正、负斜率外，也可以用不同斜率值来表达信码符号“1”与“0”。

显然，上述的匹配滤波特性反映了Chirp 信号的自相关与互相关特性。

图7-8为信号中心频率0f =400MHz ，带宽F =40MHz ，T=1ns 时的Chirp 信号自相关特性与正、负斜率Chirp 信号的互相关特性的仿真验证，可以看出，仿真结果与理论分析基本一致。

图7-8 Chirp 信号自相关与互相关特性
图7-9为不同斜率Chirp 信号的互相关特性，图中分别对照了斜率40MHz/ms 与60MHz/ms 以及40MHz/ms 与100MHz/ms 两种状况下的互相关特性。

可以看出，随着两Chirp 信号的斜率差距加大，互相关幅值逐渐减小。

图7-9 不同斜率Chirp 信号的互相关
按照白高斯纹道下，不同斜率(又称调频率)Chirp 信号的二元差分检测，其误码率与信噪比关系为)2(0n E Q P d e =[]，⎰-=T d dt t s t s E 0221)]()([为二元信号)
(1t s 与)(2t s 的差分能量，在)(1t s 与)(2t s 的能量相等为d E 下，有
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=002)1(1212)1(n e E erf n e E Q P b b e (7-27)
式中e 为相关系数，⎰=T b dt t s t s E e 021)()(1。

例1. 用LFM 信号传输二元数据，设发“1”码时，频率从1950kHz 线性增长到2050kHz ，发“0”码时，频率从2050kHz 线性地减小到1950kHz ，振幅A=1，接收端的匹配滤波器与数码“1”的信号匹配。

设数据速率为1千比特/秒。

试求当发送数据为“1”与“0”时，匹配滤波器的输出值为多少？
解：已知LFM 信号频率变化范围为1950kHz~2050kHz ，得频率带宽度F=2050-1950=100 kHz ；
数据速率R=1kbps →T=1/R=10-3s ；在A=1下，有
发送数码“1”时，匹配滤波器输出为压缩脉冲峰值V FT V 10100max ===； 发送数码“0”时，滤波器不匹配，故输出值很低，据(7-26)式，约为V V 1min ≈。

7.2.2 Chirp 信号调制
通信用的Chirp 信号调制通常分为两类：二元正交键控(BOK)与直接调制(DM)。

上节中谈到的分别用正负斜率或不同斜率值Chirp 信号代表二元数据符号“1”与“0”，就等于BOK 调制。

这种方式正是简单地利用了不同斜率Chirp 信号脉冲之间的正交性来实现的。

直接调制(DM)能进一步提高调制频率？。

在直接调制中，将Chirp 脉冲的展宽和压缩过程直接看成一种扩频调制与解调，而与数据调制基本无关。

这一概念如同直接序列扩频调制一样，只是把扩频序列换成Chirp 脉冲信号。

基于这一概念，可以采用DPSK 、QPSK 、DPSK -4π等幅值多维调制方式来提高数据传
输速率。

图7-10示出了QPSK 调制的Chirp 信号产生图，首先在中频IF 出产生QPSK 调制脉冲信号，再用该信号驱动Chirp 脉冲产生电路得到DM 调制的Chirp 信号输出。

0IFf 图7-10 QPSK 方式的Chirp 信号直接调制
直接调制(DM)方式还有利于利用Chirp
信号所具有的多维正交性实施Chirp 信号的多维调制与多址应用。

Chirp
信号的产生方法大致归结为四种：
(1) 直接频率调制
用纹波控制正、反向线性锯齿波电压直接控制压控振荡器(VCO)来产生正、反斜率的Chirp 信号，基本的原理如图7-11所示。

图7-11 正反斜率Chirp 信号直接频率调制产生原理图
a b c d
f e t
t
t
t t
t 1011110000
图7-12 图7-11 上各点时域波形
图7-11上各点时域波形如图7-12所示，这里设正反向斜率Chirp 信号起点频率相同，则中心频率不同。

显然，这种方式很难保证数据转换时刻Chirp 信号的频率准确性与相位连续性，损伤了信号的频谱特性，不利于匹配滤波与相干检测。

为此，可将图7-11中VCO 改变为锁相环(PLL)控制的VCO ，利用锁相环路的宽带载波跟踪功能来保证Chirp 信号起点频率的准确性，频率与相位可与基准时钟信号取得同步。

这种直接频率调制的改进电路如图7-13所示。

此外，信号的频率准确性与相位还同锯齿波电压的线性度及电压稳定性有关，因此对于锯齿波电压产生电路也提出了较为苛刻的要求。

图7-13 带PPL的直接频率调制Chirp信号产生原理图
(2)CDDS方式
在直接式数字频率合成CDDS的结构中加入一级频率累加器就构成了CDDS，可用来产生正向或反向Chirp信号。

原理组成如图7-14所示。

这是一种数字生成Chirp信号的方法。

C
F
C
K
CDDS
图7-14 CDDS产生Chirp信号原理图
在图7-14上，受起始频率控制字
C
F与频率斜升控制字
C
K的控制，频率累加器在时钟控制下产生线性上升瞬间频率增量。

相位累加器则在瞬时频率增量控制下生成线性调频的二次瞬时相位增量。

由相位增量寻址波形存储器得到相应频率量的幅度量化值，经过D/A变换可得到连续频率变化阶梯波，用低通滤波器滤去高频分量，就得到线性调频，即Chirp信号的输出。

CDDS方式产生Chirp信号有线性度高、可编程、稳定性好、可靠性高等优点，而且有DDS芯性可用。

为满足设计要求，通常在CDDS原面加一个PLL 信频电路，展宽Chirp信号频带实现中心频率搬移，还可进一步抑制杂散。

(3)正交调制方法
Chirp信号可以分解成为正交与同相分量方式，即
t f
t
Q
t f
t I
t f
t
t f
t
t
t
t
f
2
2
2
1
2
sin
)(
2
cos
)(
2
sin
sin
2
cos
cos
)
2
1
cos(
)(
π
π
π
πμ
π
πμ
μ
ω
-
=
-
=
+
=
(7-28)
式中T
F =μ为调频斜率；2cos )(t t I πμ=为同相分量，2sin )(t t Q πμ=为正交分量，这里可以采用数字方式来产生I(t)与Q(t)，在进行正交调制产生f (t)，如图7-15所示。

这种产生方式的优点在于I 、Q 分量产生的灵活性。

可以很方便地通过改变I 、Q 分量实现Chirp 信号的直接调制。

当然，这种需要混频调制的方式有可能带来杂散、谐波与相位噪声等影响。

()f t
图7-15 正交调制方式Chirp 信号产生
(4) 声表面(SAM)色散延迟线方式
这是一种无源Chirp 信号产生方法。

若Chirp 信号起始频率为i f ，带宽B ，时间间隔T ，则首先产生一个时宽B
t 10>矩形宽脉冲去调制频率为i f 的中频振荡信号，然后通过一带宽为B 的中频矩形带通滤波器得到X X sin 形包络调制中频窄脉冲，最后用该窄脉冲直接激励SAWChirp 色散延迟线得到所需Chirp 信号。

这里的SAWChirp 色散延迟线直接根据所需的Chirp 信号形式进行叉指设计。

SAW 色散延迟线方式的优点在于应用方便，可靠性高，但是SAW 器件存在有20~30dB 接入损耗，为得到足够的输出Chirp 信号幅度，要求驱动冲击信
号幅度很高。

7.3 Chirp 信号的接收检测
通常，Chirp 信号的接收检测时经天线接收的信号通过低噪声放大器(LNA)后送入匹配滤波器实现Chirp 信号波形压缩，通过包络检波提取压缩脉冲，再经采样判决等处理恢复出数据。

显然，Chirp 信号的匹配滤波压缩是关键技术。

关于匹配滤波原理在7.3.1中已有阐述，这里主要介绍实现Chirp 信号匹配压缩的三种主要实现方式：
(1) 时域数字脉冲压缩
采用IQ 正交双通道处理，优点在于可以避免接收信号的随机相位影响。

设系统接收到的Chirp 信号为
)](sin[sin )()](cos[cos )()
)(cos()()(000t t t a t t t a t t t a t s θωφθωφφθω+-+=++= (7-29)
其中2)(t t πμθ=为线性频率变化部分，a(t)为信号的振幅起伏。

用频率为0f 的正弦波进行正交相位检波，其中I 路零中频信号输出为
φφθφθφsin )(cos )()
(sin sin )()(cos cos )()(t Q t I t t a t t a t X I -=-=
(7-30)
Q 路零中频信号输出为
φφsin )(cos )()(t Q t I t X Q += (7-31)
其中)(cos )()(t t a t I θ=，)(sin )()(t t a t Q θ=，将上述信号的数字化写成复形式为)()()(n jX n X n X Q I +=。

假设)(n h I 、)(n h Q 分别为)(n X I 、)(n X Q 匹配滤波响应，
则对应)(n X 的接收匹配滤波器响应为)()()(n jh n h n h Q I -=，匹配滤波的输出为 )
()()]
()()()([)]()()()([)()(n jY n Y n h n X n h n X j n h n X n h n X n h n X Q I Q Q I I Q Q I I +=*-*+*+*=*(7-32)
实际输出)()()(22n Y n Y n Y Q I +=，经过数模变换(ADC)后就得到压缩信号y(t)。

具体实现框图如图7-16所示。

()
Q Y n
图7-16 Chirp 信号的时域压缩过程
(2) 频域数字脉冲压缩
假设接收到的Chirp 信号形成为)](cos[)()(0t t t a t s θω+=，其中2)(t t πμθ=为线性调频部分。

经本地0f 载波相干检波后，得到同相(I 路)零中频信号)(cos )()(t t a t V I θ=、正交(Q 路)零中频信号)(sin )()(t t a t V Q θ=，经快速傅氏变换(FFT)后与匹配滤波器的频率响应)(f H 相乘，乘积信号作快速傅氏逆变换(IFFT)即可得到脉冲压缩信号y(t)，其实现系统结构见图7-17.使用流水线工作方式，用批处理方式完成数据采集、FFT 、复相乘、IFFT 等，这种方式处理速度高，工作稳定，重复性好，具有较大的工作灵活性。

(3) 声表面波(SWA)色散压缩线实现方式
可以实现Chirp 色散压缩线的SAW 器件主要有两种方式：叉指器件(IDT)和反射阵压缩器(RAC)，叉指器件换能器结构也有两种，一是不作加权的线性Chirp 换能器，一是采用切指加权的加权线性Chirp 换能器。

RAC 利用沟槽阵列对声表面波的反射来实现色散，能达到很高的BT ，但制造工艺复杂。

目前，国内相关研究单位已制造出采用加权叉指器件实现的SAWChirp 器件，器件标
称中心频谱为1GHz ，色散带宽MHz 600≥，色散时间0.15s μ，实现Chirp 信号时域展宽的脉冲展宽线的斜率为负，其幅度频率响应如图7-18所示，脉冲压缩采用了加权来压缩时域旁瓣，其幅度频响如图7-19所示。

可见使用SAW 压缩延时线来实现Chirp 脉冲的压缩可以使接收设备大为简化。

图7-17 Chirp 信号的频域压缩过程
图7-18 SAWChirp 脉冲展宽幅度频响
图7-19 SAWChirp 脉冲压缩线频响图
Chirp 信号为典型的非平稳信号，除采用传统的匹配滤波接收方式外，还可以考虑利用各种时频分析技术进行变换域分析，提取接收Chirp 信号特征，从中可以进一步提取出传输信道特征，在此基础上可以完成信道估计。

信道均衡、多径分集接收、定位测距等功能。

已有研究表明，Radon-Wigner 变换、分数阶Fourier 变换(FRFT)对特定的Chirp 信号有能量聚集特性，Chirp-Fourier 变换可同时匹配Chirp 信号的中心频率和调制频率，同样具有能量聚集效应，可以实现Chirp 信号的检测和参量估计。

一个公认的观点是，任何一种时频分布如果对线性调频信号不能提供良好的时频聚集性，那它便不适合用作非平稳信号时频分析的工具。

由此可见，其它的时频变换分析工具，如Wigner-Ville 分布、Wigner-Hough 变换、模糊函数、进化谱估计、线性调频小波(Chirplet)等均可考虑用来实现Chirp 信号的检测和
参量估计。

下面的7.3节将对分数阶傅里叶变换作专门的叙述。

7.3 Chirp 信号的分数阶傅里叶变换
7.3.1 基本概念[ ]
分数阶傅里叶变换(FRFT)是一种时频变换，可以理解为Chirp 的基分解。

FRFT 的基本定义：
定义在t 域函数)(t f 的P 阶分数阶傅里叶变换是一种线性积分运算
()[()]()(,)P P P x u f t f t K u t dt ∞-∞==⎰F
(7-33) 式中P 为分数阶傅里叶变换的阶数；α为变换域与时间轴之间的旋转角度，2παP =；u 为分数域的横轴；),(t u K P 为分数阶傅里叶变换的变换核，其为
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧±=-=-≠-+-=παδπ
αδπαααπα)12(),(2),(),sin cot 2exp(2cot 1),(22n u t n u t n jtu t u j j t u K P (7-34)
因此有
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧±=-=≠-=⎰∞∞--παπ
απαπαααα)12(),(2),(,)(2cot 1)(sin cot 2cot 222n u x n u x n dt e t x e j u x jtu t j u j P
(7-35)
由(7-34)式看出，分数阶傅里叶变换核实质上是一组调频率为αcot 的Chirp 信号，其初始频率为)sin /(csc ααu u =，复包络为απαcot 222/)cot 1(u j e
j -。

分数阶
傅里叶域由该组完备正交基所表征，通过改变旋转角度α，使可以得到不同调频率的基。

当2
πα=时，分数阶傅里叶变换就成为了传统的傅里叶变换，分解基也由Chirp 信号变成了正交完备的三角函数系。

如同单频正弦信号经过傅里叶变换就必然会在某个单频基上成为冲激函数一样，一旦需要滤波处理的Chirp 信号与某组基的调频率吻合，那么该信号也就必然在该组基中的某个基上形成一个函数，而在别的基上则为零。

这点说明了Chirp 信号在分数傅里叶变换域上具有很好的时频聚焦性。

同时它又是个线性变换
[()()]()()P P P af t by t aX u bY u +=+F
(7-36) 信号与噪声叠加后的分数阶傅里叶变换等于各自分别进行分数阶傅里叶变换的叠加。

利用上述两点便可以对不同调频率的Chirp 通信信号在分数阶傅里叶变换域上进行检测处理。

7.3.2 Chirp 通信信号的FRFT 检测
如上所述，Chirp 信号在分数阶傅里叶变换域有很好的能量聚集性，因此可以用FRFT 来检测接收的Chirp 信号的能量聚集的峰值点位置及峰值大小，以进行采样判决，恢复出数据。

基本思路是以旋转角α为变量进行扫描，求观测信号的分数阶傅里叶变换，从而形成信号能量在参数),(u α平面上的二维分布。

FRFT 的计算可借助于FFT 实现，使得以旋转角α为变量的计算量大大减小。

算法的计算复杂度将取决于所采用的搜索算法及离散FRFT 的计算[]。

对于通信用的Chirp 信号，不同调频率的Chirp 信号在相应阶次P 的分数傅里叶变换域内均能实现能量聚集，而噪声却不会。

分数阶傅里叶变换的变换阶
次P 与旋转角度α、信号调频率μ存在一一对应关系。

当)2,0(∈P 时，有
)
2cot(2,cot πμπααμP P -=→=-=
(7-37)
假定接收的实Chirp 信号用复信号表示，为便于处理用同步检波方式将射频Chirp 信号下搬移至基带。

设基带Chirp 信号为 20()exp(2),[0,]f t A j f t j t j t T ππμϕ=++∈ (7-38)
为对应于分数阶傅里叶变换离散算法的模型，将其改写为
2()exp(2),[/2,/2]m f t A j f t j t j t T T ππμϕ=++∈- (7-39) 且0/2m f f t μ=+。

其对应分数阶傅里叶变换为
22222/2
(2)(cot 2csc cot )/23/2(cot )2(csc )(cot )24/2()m m T j t f t j j t ut u a T T j u j t f u j t T F u e e dt e e dt πμϕπααααππαϕπαπαμ++-+-+++-+-==⎰ (7-40) 式中定义
式中已归入处理的基带信号振幅A 中。

将cot μα=-，csc m f u α=代入(7-40)式中，可得到()f t 的分数阶傅里叶变换的振幅谱，用其模值平方表示能量峰值，则有
222max |()|
|sin |a A T F u α= (7-41)
由于实际传输的是实Chirp 信号，其FRFT 谱与复Chirp 信号的FRFT 谱相同，只是能量降低了一半，多了一个对称谱。

如果直接对以同步检波方式混频到基带的实Chirp 信号进行检波处理，应当根据基带信号参数，先计算出二元数码1，0码元相应的分数阶傅里叶变换域上峰值点位置0m u 、1m u ，再直接在该点进行采样判决。

实基带Chirp 信号的解调检测步骤如下：
(1)将同步接收后的信号混频到基带，然后将输入的实基带信号按码元周期下分别作0p ，1p 阶分数傅里叶变换(00cot(/2)p μμπ==-、11cot(/2)p μμπ=-=-)。

(2)对变换结果取模平方后，按确定的采样位置0m u 、1m u 进行采样判决。

检测组成示意图如图7-20所示。

0m u 与1m u 分别为0p 阶与1p 阶分数阶傅里叶变换域上能量峰值点位置。

从时频谱滤波角度看，分数阶傅里叶变换可以解释为信号在时频平面内绕原点旋转任意角度后所构成的分数阶傅里叶域的表示。

故对0m u 、1m u 的峰值点的采样可以用以0m u 与1m u 为中心频率的宽带带通滤波器，适当选择带宽取得信号能量的滤波输出。

如果恢复原时域信号，可将滤波后作反向旋转回时间域便可得到抑制了噪声的原信号。

图7-20 Chirp-rate 二元调制的检测示意图
例2
试证明一个正负调频率的实Chirp 信号的分数阶傅里叶变换的能量峰点相等，峰点位置相反，即01m m u u =-。

证明：题意表示二元数码的Chirp 信号正负调频率0μμ=，1μμ=-； 因此有
000011101
cot cot()arg cot()
cot arg cot()μμαπααπμμμααμαπα==-=-→=-=-=-→=∴=-
按FRFT 处理后能量峰值222max |()||sin |a A T F u α=，
0101sin sin αααπα=-∴=-不影响峰值，故峰值相等。

据csc m f u α=公式，0011/csc ,/csc m m m m u f u f αα==，
001011csc csc()csc m m m m m m f f f u u u απαα===∴=---。

7.4 性能分析
7.4.1 误码率
通常通信中，伴随Chirp 信号传输的还有信道噪声n(t)，n(t)为加性高斯白噪声，因此有接收解调的输入信号为
20()cos(2)()[0,]x t A f t t n t t T ππμ=++∈ (7-42)
式中/F T μ=为Chirp 信号的调频率。

使用匹配滤波器(MF)方式检测，由(7-27)式得到误码率与信号噪声功率比关系为
11[122e P erfc erf ==- (7-43)
式中2b E A T =为信号码元能量；0n 为高斯白噪声的单边功率谱密度；ρ为Chirp 信号的相关系数，使用分数阶傅里叶变换(FRFT)方式检测，由(7-41)式得到取样峰值平方模值22|()|/|sin()|a F u A T α=。

由
于|sin()|1/|α=
，2μ=，所以有
1sin T F
αμ=≈= (7-44) 故而有
2
2max ()a b F A TF E F μ== (7-45) 对于信道的高斯噪声，噪声能量均匀分布在整个时频平面内，在任何的分数阶傅立叶变换域上均不会出现能量密集，可近似认为FRFT 对噪声呈现出线性过滤特
性。

图7-20表示的FRFT 为二元差分检测方式进行比较判决的信号平方幅度为
2
max ()a b F E F μ=；
输入噪声经FRFT 的线性过滤器上下支路噪声和为02n F ，所以有误码率
112e p Q erf ⎡⎤==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (7-46) 图7-21为匹配滤波与FRFT 检测的误码率e p 和0
b E n 关系曲线。

由于FRFT 是非相干检测方式，相对于匹配滤波器(MF)的最有性能差了大概约3dB 。

图
图7-21 误码率曲线
7.4.2 锁相环同步混频对性能的影响
前面提到，为便于处理，通常将接收的射频Chirp 信号以同步检波方式混频到基带，同步混频常采用锁相环电路来实现。

锁相环(PLL)具有优良的锁定与跟踪性能，可为同步混频提供稳定的本地相干载波。

例如，让锁相环锁定在Chirp
信号的初始频率，即(7-42)式的0
m
e f f f
P 上，就可以将Chirp 信号的射频频谱搬移到
基带频域上，图7-22表示了这个频谱搬移的实现过程。

图中相干载波频率是由锁相环的VCO 提供，它是锁相环从输入的二元速率调制的Chirp 信号中提取的。

显然，锁相环提取的相干载波中不可避免的存在随机的稳态相位误差n θ。

相干载波()L S t 的表示为
0()cos()L n S t V t ωθ=+ (7-47)
经过同步混频，稳态相位误差n θ会传递到基带Chirp 信号上，它会影响到匹
配滤波器与FRFT检测的性能。

我们对一个
0560
f MHz
=，T=的Chirp信
号用集成锁相环提取相干载波，并在均方根相位抖动
n
θ为πσ时给出了分析计算与系统仿真的误码率曲线，如图7-23所示。

f
图7-22 Chirp信号同步混频过程
图7-23 存在相位抖动下的
e
P分析和仿真曲线
从图7-23看出，相干检测的匹配滤波器相对于非相干FRFT处理有大约3dB的增益，系统仿真亦验证了这个结论。

相位抖动会导致匹配滤波的性能有所降低，而非相干的FRFT处理性能基本不影响，这与理论结果也是一致的。

7.4.3 信道下性能仿真
无线传输信道的多经效应形成的码间干扰(ISI)对Chirp信号检测解调有较大的影响。

非直达路径(NLOS)到达的信号相对于直达的视距路径(LOS)到达的信号都存在不同的相移、延迟与幅度衰落。

这里以无线个人局域网的标准IEEE 802.15.4a定义的信道模型S-V信道为例，通过仿真说明信道对Chirp信号通信。