高中数学上台阶分布列问题
高中数学上台阶分布列问题
1、甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而
丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空，比赛按这种顺序进行下去，直到某个人连胜$2$局为止，比赛终止，问在$5$局$3$胜制与$7$局$4$胜制两种赛制下，各局比赛中获胜的概率$P_{i}(i = 1,2,3,4)$之间有何关系？
【分析】
本题考查概率的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
【解答】
解：在$5$局$3$胜制与$7$局$4$胜制两种赛制下，各局比赛中获胜的概率$P_{i}(i = 1,2,3,4)$均等于$\frac{1}{3}$．
在$7$局$4$胜制下，连胜$2$局终止比赛的概率等于$\frac{1}{3} \times
\frac{1}{3} = \frac{1}{9}$，
故在$7$局$4$胜制下，各局比赛中获胜的概率比在$5$局$3$胜制下相应各局比赛中获胜的概率小．
高中数学高三分布列知识点
高中数学高三分布列知识点 在高中数学的学习中，分布列是一个重要的概念和技巧，它用 于描述随机试验中各个可能结果的概率分布。分布列的研究可以 帮助我们理解概率论的基本原理，并且可以应用于实际问题的解决。 一、概念和基本性质 分布列是指随机试验的所有可能结果及其对应的概率。在计算 分布列时，我们需要确定试验的所有可能结果，并且计算每个结 果出现的概率。 分布列具有以下基本性质： 1. 概率的非负性：每个结果的概率都是非负数，不会出现负值。 2. 概率的和为1：所有结果的概率之和等于1，表示必然事件 的发生。 3. 互斥性：不同结果之间是互斥的，即只能发生其中一个结果。
4. 可列性：试验的所有可能结果是可列的，即可以一一列举。 二、常见的分布列 1. 二项分布：二项分布是一种离散的概率分布，适用于只有两个可能结果的试验。二项分布的概率计算公式为 P(X=k)=C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)，其中n表示试验的次数，k表示成功的次数，p表示每次试验成功的概率。 2. 泊松分布：泊松分布是一种离散的概率分布，适用于描述单位时间（或空间）内某事件发生的次数的概率分布。泊松分布的概率计算公式为P(X=k)=e^(-λ)λ^k/k!，其中λ表示单位时间（或空间）内事件的平均发生次数。 3. 几何分布：几何分布是一种离散的概率分布，适用于描述在独立重复试验中，试验成功之前所需的失败次数的概率分布。几何分布的概率计算公式为P(X=k)=(1-p)^(k-1)p，其中p表示每次试验成功的概率。
4. 正态分布：正态分布是一种连续的概率分布，适用于描述大 部分事物的分布情况。正态分布的概率密度函数为 f(x)=1/(σ√(2π))e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ表示均值，σ表示标准差。 三、应用实例 分布列的应用非常广泛，下面我们通过几个实例来说明其实用性。 1. 投掷硬币问题：假设我们进行10次硬币的正反面投掷试验，每次成功的概率都是0.5。我们可以通过二项分布计算出在10次 试验中，成功次数的概率分布。这个分布可以帮助我们判断在多 次试验中，出现特定结果的可能性大小。 2. 车站候车问题：假设某车站每小时有平均λ辆车进站。我们 可以通过泊松分布计算在某一小时内，进站车辆的概率分布。通 过这个分布，我们可以估计不同时间段内，进站车辆数量的可能 范围。
2019-2020年高中数学随机变量及其分布列版块一离散型随机变量及其分布列2完整讲义(学生版)(可
2019-2020 年高中数学随机变量及其分布列版块一离散型随机变量及其分 布列 2 完整讲义（学生版） 知识内容 1.离散型随机变量及其分布列 ⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量来表示，并且是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母表 示．如果随机变量的所有可能的取值都能一一列举出来，则称为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列 2.几类典型的随机分布 ⑴两点分布 如果随机变量的分布列为 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为，不合格记为，已知产品的合格率为，随机变量为任意抽取一件产品得到的结果，则的分布列满足二点分布． 两点分布又称分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布． ⑵超几何分布 一般地，设有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率为 ，为和中较小的一个． 我们称离散型随机变量的这种形式的概率分布为超几何分布，也称服从参数为，的超几何分布．在超几何分布中，只要知道，和，就可以根据公式求出取不同值时的概率，从而列出的分布列． ⑶二项分布 1.独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果及，并且事件发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为次独立重复试验．次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为． 2.二项分布 若将事件发生的次数设为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生
n n n n x 1 1 2 2 n n … … 由 式 (q + p )n = C 0 p 0q n + C 1 p 1q n -1 + + C k p k q n -k + C n p n q 0 各对应项的值，所以称这样的散型随机变量服从参数为，的二项分布， 记作． 二项分布的均值与方差： 若离散型随机变量服从参数为和的二项分布，则 ，． ⑷正态分布 1. 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时， 直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变量， 则这条曲线称为的概率密度曲线． 曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是，而随机变量落在指定的两个数之间的概率就是对应的曲边梯形的面积． 2. 正态分布 ⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机 现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布． 服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变 量． 正态变量概率密度曲线的函数表达式为，，其中，是参数，且，．式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差．期望为、标准差为的正态分布通常记作． 正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线． ⑵标准正态分布：我们把数学期望为，标准差为的正态分布叫做标准正态分布． ⑶重要结论： ①正态变量在区间，，内，取值的概率分别是，，． ②正态变量在内的取值的概率为，在区间之外的取值的概率是，故正态变量的取值几乎都在距三倍标准差之内，这就是正态分布的原则． ⑷若，为其概率密度函数，则称 F (x ) = P (≤ x ) = ⎰-∞ f (t )dt 为概率分布函数，特别的， 称为标准正态分布函数． ． 标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得． 分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可． 3. 离散型随机变量的期望与方差 1. 离散型随机变量的数学期望 定义：一般地，设一个离散型随机变量所有可能的取的值是， …， 这些值对应的概率是， …， 则 E (x ) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + + x n p n ，叫做这个离散型随机变量的均值或数学期望 （简称期望）． 离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平． 2. 离散型随机变量的方差 一般地，设一个离散型随机变量所有可能取的值是，，…， 这些值对应的概率是，，…， 则 D ( X ) = (x - E (x ))2 p + (x - E (x ))2 p + + (x - E (x ))2 p 叫做这个离散型随机变量的方差． 离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）． 的算术平方根叫做离散型随机变量的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．
高中数学 随机变量及其分布列 版块一 离散型随机变量及其分布列1完整讲义(学生版)
学而思高中完整讲义：随机变量及其分布列.版块一.离散型随机变量 及其分布列1.学生版 1． 离散型随机变量及其分布列 ⑴离散型随机变量 如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母,,X Y 表示． 如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． ⑵离散型随机变量的分布列 将离散型随机变量X 所有可能的取值 x 与该取值对应的概率p (1,2,,)i n =列表表示： X 的分布列． 2．几类典型的随机分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 其中01p <<，1q p =-X 服从参数为p 的二点分布． 二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率为80%，随机变量X X 的分布列满足二点分布． 两点分布又称01-布又称为伯努利分布． ⑵超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为 C C ()C m n m M N M n N P X m --== (0m l ≤≤，l 为n 和M 中较小的一个)． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ， n 的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． ⑶二项分布 1．独立重复试验 如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A 及A ，并且事件A 发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n 次独立重复试验．n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为 ()C (1)k k n k n n P k p p -=-(0,1,2,,)k n =． 知识内容
高中数学—离散型随机变量及其分布列-习题
对事件的描述，有时是很复杂的，有没有量化的可能呢？ 1.随机变量 引例1 随机试验：某人射击一次，其结果是什么呢？ 引例2 随机试验：任意掷一枚硬币，其结果是什么呢？ 从上面两个引例可看出随机试验的结果可用一个数来表示，且这个数是唯一的，这个数在一次随机实验前是无法确定的，在不同次的随机试验中，表示结果的数值可能发生变化，也就是说随机实验的结果可用一个变量来表示. 定义： 如果随机试验的结果可用一个变量来表示，而且这个变量是随着试验结果的不同而变化的，则这样的变量叫做随机变量，随机变量常用希腊字母“ξ”，“η”来表示, 如：在“随机试验：某人射击一次”中，可用“ξ=9”表示“射击一次，命中9环”这一事件； 在“随机试验：任意掷一枚硬币”中，可用“ξ=0”表示“任意掷一枚硬币，正面向上”这一事件； 2.随机变量的分类 引例3 随机试验：考察某自动装置无故障运转时间； 引例4 随机试验：某林场树最高30米，考查树高
对于随机变量可能取的值，可按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量； 如果随机变量可取某一区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量； 在实际问题中，有些随机变量是可用其他随机变量表示的，如下例： 引例5 在一次知识问答竞赛中规定：参赛者得分为在基本分50分的基础上累加答对题目所得分数为其总得分，其中答对一题得5分，答错或不答不得分，现共20题，考查某人参赛后得分“ξ”与答对题目数“η”关系 (某人参赛后得分“ξ”与答对题目数“η”都是离散型随机变量) 引例6 正方形边长η与其面积ξ的关系 3.离散型随机变量的分布列 引例7 一个布袋中共有50个完全相同的球，其中标记为0号的球有5个，其余的球按如下要求标记：标记为k号的球有k个，k=1,2,3…, 设随机变量ξ表示从袋中任取一球所得球的号数，写出ξ取不同值时的概率； 引例8 投两颗骰子，设随机变量ξ表示掷得点数和，写出ξ取不同值时的概率；
高中数学随机变量分布列知识点(供参考)
第二章随机变量及其分布 内容提要： 一、随机变量的定义 设是一个随机试验，其样本空间为，若对每一个样本点，都有唯一确定的实数 与之对应，则称上的实值函数是一个随机变量（简记为）。 二、分布函数的概念和性质 1．分布函数的定义 设是随机变量，称定义在上的实值函数 为随机变量的分布函数。 2．分布函数的性质 (1) ， （2）单调不减性：， （3） （4）右连续性：。 注：上述4个性质是函数是某一随机变量的分布函数的充要条件。在不同的教科书上，分布函数的定义可能有所不同，例如，其性质也会有所不同。 （5） 注：该性质是分布函数对随机变量的统计规律的描述。 三、离散型随机变量 1．离散型随机变量的定义 若随机变量的全部可能的取值至多有可列个，则称随机变量是离散型随机变量。 2．离散型随机变量的分布律 （1）定义：离散型随机变量的全部可能的取值以及取每个值时的概率值，称为离散型随机变量的分布律，表示为 x1 x2 … x n… p k P1 p2… p n… 或记为 ~
（2）性质：， 注：该性质是是某一离散型随机变量的分布律的充要条件。 其中。 注：常用分布律描述离散型随机变量的统计规律。 3．离散型随机变量的分布函数 =，它是右连续的阶梯状函数。 4．常见的离散型分布 （1）两点分布（0—1分布）：其分布律为 即 0 1 p 1–p p （2）二项分布 （ⅰ）二项分布的来源—重伯努利试验：设是一个随机试验，只有两个可能的结果 及，，将独立重复地进行次，则称这一串重复的独立试验 为重伯努利试验。 （ⅱ）二项分布的定义 设表示在重伯努利试验中事件发生的次数，则随机变量的分布律为 ，， 称随机变量服从参数为的二项分布，记作。 注：即为两点分布。 （3）泊松分布：若随机变量的分布律为 ，， 则称随机变量服从参数为的泊松分布，记作（或。 高中数学系列2—3练习题（2.1） 一、选择题： 1、如果X是一个离散型随机变量，则假命题是( ) A. X取每一个可能值的概率都是非负数；
高中数学知识点总结(第十一章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第六节 离散型随机变量及其分布列)
第六节 离散型随机变量及其分布列 一、基础知识 1．随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示 (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下： X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n 此表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列.有时也用等式P X ＝x i ＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列. (2)分布列的性质 ①p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；② i ＝1n p i ＝1. 3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布列 X 0 1 P 1－p p 若随机变量X 的分布列具有左表的形式，则称X 服从两点分布❸，并称p ＝P X ＝1 为成功概率. (2)超几何分布列 在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n － k N －M C n N ， k ＝0,1,2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *. X 0 1 … m P C 0M C n － N －M C n N C 1M C n － 1 N －M C n N … C m M C n － m N －M C n N . 若X 是随机变量，则Y ＝aX ＋b (a ，b 为常数)也是随机变量． 表中第一行表示随机变量的取值；第二行对应变量的概率． 两点分布的试验结果只有两个可能性，其概率之和为1.
高中数学 概率与离散型随机变量的分布列试题(附答案)
概率与离散型随机变量的分布列试题 1. 一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率。 2. 一个自动报警器由雷达和计算机两个部分组成，两部分有任何一个失灵，这个报警器就失灵。若使用100小时后，雷达部分失灵的概率为0.1，计算机失灵的概率为0.3，若两部分失灵与否是独立的，求这个报警器使用100小时而不失灵的概率。 3. 对同一目标进行3次射击，第1、第2、第3次射击的命中概率分别为0.4、0.5、0.7，求： （1）在这3次射击中，恰好有1次击中目标的概率； （2）在这3次射击中，至少有1次击中目标的概率。 4. 已知A 、B 、C 为三个相互独立事件，若事件A 发生的概率为2 1 ，事件B 发生的概率为 32，事件C 发生的概率为4 3 ，求下列事件的概率： （1）事件A 、B 、C 都不发生； （2）事件A 、B 、C 不都发生； （3）事件A 发生且B 、C 恰好发生一个 5. 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，已知每一局甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4。 （1）赛满3局，甲胜2局的概率是多少？ （2）若比赛采用三局二胜制，先赢两局为胜，求甲获胜的概率。 6. 某种项目的射击比赛规则是：开始时在距目标100m 处射击，如果命中记3分，同时停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150m 远处，这时命中记2分，同时停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200m 远处，若第三次命中则记1分，同时停止射击；若三次都未命中，则记0分，已知射手甲在 100m 处击中目标的概率为1 2，他命中目标的概率与目标的距离的平方成反比，且各次射击 都是独立的。 （1）求射手甲在200m 处命中目标的概率； （2）设射手甲得k 分的概率为P 0，求P 3，P 2，P 1，P 0的值； （3）求射手甲在三次射击中击中目标的概率。
高中数学-离散型随机变量的分布列
教师版第五单元第4讲 离散型随机变量的分布列（6课时） 一.基本理论 (一)基本概念 (1) 随机变量 如果随机试验的结果可以用一个变量表示,那么这样的变量叫做随机变量来表示, 随机变量常用希腊字母ηξ,等表示. (2) 离散型随机变量: 如果对于随机变量可能取的值,我们可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.例如,射击命中环数ξ是一个离散型随机变量. (3) 连续型随机变量 如果随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的随机变量叫连续型随机变量. （二）离散型随机变量的分布列 1.设离散型随机变量ξ可能取的值为 ,,,21n x x x ,ξ取每一个值)4,3,2,1( =i x i 的概率 i i p x P ==)(ξ,则称下表 为随机变量ξ的概率分布,简称为ξ的分布列. 分布列的表达式可以是如下的几种(A)表格形式; (B)一组等式 (C)压缩为一个帶i 的形式. 2.由概率的性质知,任一离散型随机变量的分布列具有下列二个性质: (A),3,2,1,0 =≥i p i (B)121=++ p p 3. 求分布列三种方法 (1)由统计数据得到离散型随机变量分布列； (2)由古典概型求出离散型随机变量分布列； (3)由互斥事件、独立事件的概率求出离散型随机变量分布列． 4..离散型随机变量的期望与方差 一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布列为 则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望或平均数.或均值.
+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的均方差.简称方 差.ξD 叫标准差. 性质: (1)22)()(ξξξE E D -= (2)b aE b a E +=+ξξ)( (3)ξξD a b a D 2)(=+ （三）几种常见的随机变量的分布 1.两点分布 如果随机变量X 的分布列为 其中0
高中数学 4离散型随机变量的分布列(带答案)
随机变量的分布列 一、【考点系统归纳】 1.离散型随机变量——如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量. 2.离散型随机变量的概率分布（离散型随机变量的分布列） X 1x 2x ⋯ i x ⋯ n x P 1p 2p ⋯ i p ⋯ n p 离散型随机变量的分布列的性质： （1）；，，，，n i p i ⋯=≥321,0 （2）121=⋯++n p p p . 3.离散型随机变量的期望与方差： (1)期望: =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ 的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有 =1p =2p …n p n 1= =，=ξE +1(x +2x …n x n 1 )⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 (2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝12 1)(p E x ⋅-ξ＋22 2)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． 4.几种分布列： （1）二点分布： 其中p q p -=<<1,10，则称离散型随机变量的X 服从参数为p 的二点分布. 举例：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得一分，不中得0分.已知某篮球运动员罚球命中得概率为0.8，则他罚球一次的得分的分布列为随机变量X 服从参数p 的二项分布. 二点分布的期望与方差：期望p X E = )(,方差)1()(p q pq X D -==. (2).超几何分布： 设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件(n ≤N )，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率P (X ＝m )＝ C M m C N －M n －m C N n (0≤m ≤l ，l 为n 和M 中较小 的一个)，称这种离散型随机变量的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N 、M 、n 的超几何分布．超 X 1 0 P p q
高中数学总结归纳 概率分布列的求解策略
概率分布列的求解策略 一、弄清“随机变量的取值”是第一步 确定随机变量的取值时，要做到准确无误，特别要注意随机变量能不能取0的情形．另外，还需注意随机变量是从几开始取值，每种取值对应几种情况．搞清这些，是求离散型问题最基本的要求． 例1 写出下面随机变量可能的取值，并指出随机变量的试验结果． 如从4张已编号（1号～4号）的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和． 解：ξ的可能取值为3，4，5，6，7，其中ξ＝3表示取出分别标有1，2的两张卡片； ξ＝4表示取出分别标有1，3的两张卡片；ξ＝5表示取出分别标有1，4或2，3的两张卡 片；ξ＝6表示取出分别标有2，4的两张卡片；ξ＝7表示取出分别标有3，4的两张卡片． 二、弄清“事件的类型”是关键 随机事件包括互斥事件，独立事件等，在计算相应的概率前要确定事件类型． 例2 某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，求答对试题数ξ的概率分布． 分析：答对试题数ξ的可能取值为：0，1，2，3四种情况． 解：因3 43101(0)30C P C ξ===；12643103(1)10C C P C ξ===；21643101 (2)2 C C P C ξ===； 3 63101 (3)6 C P C ξ===． 所以答对试题数ξ的概率分布列为 三、最后“运用排列组合知识求出相应事件的概率” 求离散型随机变量的分布列，要求必须正确地求出相应事件的个数，即正确求出相应的排列组合数，也就是正确的计算相应事件的概率，所以必须掌握好排列组合知识． 例3 盒中的零件有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不放回，
高中数学总结归纳 分布列问题典例分析
分布列问题典例分析 初学随机变量分布列，难免被书上的性质、定义所禁锢，也就失去了它“来自生活，用于生活”的真正含义，本篇文章便以几个典型例题对分布列问题进行分析． 例1 盒中装有大小相等的球10个，编号分别为0，1，1，…，9，从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”三类情况之一，规定一个随机变量，并求其概率分布列． 分析：要求其概率分布列可以先求各种情况所对应的概率． 解：分别用123x x x ，，表示题设中的三类情况的结果：1x 表示“小于5”的情况，2x 表示“等于5”的情况，3x 表示“大于5”的情况． 设随机变量为ξ，它可能取的值为123x x x ，，，ξ取每个值的概率为 1()P x P ξ==（取出的球号码小于5）510= ； 2()P x P ξ==（取出的球号码等于5）110 =； 3()P x P ξ==（取出的球号码大于5）410= ． 故ξ的分布列为 评注：分布列是我们进一步解决随机变量有关问题的基础，因此准确写出随机变量的分布列是很重要的，但是我们不能保证它的准确性，这时我们要注意运算的准确性外，还可以利用11n i i p ==∑进行检验． 例2 从8个男生5个女生中抽取6个参加义务劳动，其中女生的人数ξ是随机变量，求ξ的分布列． 解：由题意知ξ服从超几何分布， 135015N M n ===L ，，，，，．
于是可得68613287(0)1716429 C P C ξ====， 518561328070(1)1716429 C C P C ξ====·， 4285613700175(2)1716429 C C P C ξ====·， 3385613140(3)429 C C P C ξ===·， 248561314035(4)1716429 C C P C ξ====·， 158561382(5)1716429 C C P C ξ====·． 如ξ的分布列如下： 例3 袋中有3个白球，3个红球和3个黑球，从袋中随机取3个球，假定取得一个白球得１分，取得一个红球得－１分，取一个黑球得0分，求所得分数的概率分布． 解：当ξ表示所得分数，则ξ取值为3210123---，，，，，，共7个值． 当0ξ=时，表示取3个黑球，或取1个白球，1个红球，1个黑球． 则3111333531155(0)165 C C C C P C ξ+===； 当1ξ=时，表示取1个白球和2个黑球或1个红球和2个白球； 1ξ=-时，表示取1个红球和2个黑球或1个白球和2个红球， 则1221353331139(1)(1)165 C C C C P P C ξξ+===-==； 同理可得213531116(2)(2)165 C C P P C ξξ===-==·；
高考数学分布列专题及答案
分布列 1．<本小题满分14分> 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表： 已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为35 ． 〔1〕请将上面的列联表补充完整<不用写计算过程>； 〔2〕能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由； 〔3〕现从女生中抽取2人进一步调查,设其中喜爱打篮球的女生人数为ξ,求ξ的分布列与期望. 下面的临界值表供参考： <参考公式：2 2 ()()()()() n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++> 2．〔本小题满分14分〕某同学在研究性学习中,收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产 量〔单位：万盒〕的数据如下表所示： 〔Ⅰ〕该同学为了求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+,根据表中数据已经正确计算出ˆ0.6b =,试求出ˆa 的值,并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数； 〔Ⅱ〕若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒,小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊,后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ,求ξ的分布列和数学期望． 3．〔本题满分14分〕 某商场准备在节日期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中,选出3种商品进行促销活动. 〔1〕试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率； 〔2〕商场对选出的商品采用有奖促销,即在该商品现价的基础上价格提高180元,同时允 许顾客每购买1件促销商品有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都可获得奖金100元,假设顾客每次抽奖时中奖与否是等可能的,试分析此种有奖促销方案对商
分布列高考知识点讲解
分布列高考知识点讲解 高考知识点是每一位学生备战高考所必须掌握的基础。在高中 三年的学习中，我们学习了大量的知识点，包括语文、数学、英语、物理、化学等各个科目。在这篇文章中，我将会以科目为单位，分别讲解一些高考知识点。 1. 语文知识点讲解 语文是我们学习和交流的基础，也是高考中最重要的科目之一。在语文考试中，阅读理解是一个重要的题型。在解答阅读理解题时，我们需要仔细阅读文章，理解文章的主旨和作者的观点。同时，我们还需要掌握一些解题方法，比如寻找关键词、综合归纳等。 2. 数学知识点讲解 数学是一个考察逻辑思维和解题能力的科目。在高考数学中， 要注意拓宽思维的边界，培养多角度思考问题的能力。例如，在 解决代数方程题时，可以运用恒等变形、因式分解等方法。而在 几何题中，我们要善于利用几何性质解决问题。 3. 英语知识点讲解
英语作为一门外语，对于我们来说可能较为陌生。但是通过学习一些英语知识点，我们可以提高听、说、读、写的能力。在高考中，阅读理解和写作是两个重要的方面。我们可以通过阅读英文文章、听英语音频等方式来提高自己的英语水平。 4. 物理知识点讲解 物理是一门实践性很强的科学，需要我们具备实验操作和计算分析的能力。在高考物理中，我们需要掌握一些基本的物理概念和公式，并能够灵活运用。例如，在解决动力学问题时，我们可以运用牛顿定律、动能定理等。 5. 化学知识点讲解 化学是一门关于物质变化和反应的科学，需要我们了解元素、化合物等基本概念。在高考化学中，我们需要掌握一些基础的化学反应方程式，并能够应用到实际生活中。例如，在进行酸碱中和反应时，我们可以根据酸碱的性质来选择合适的指示剂。 以上只是对高考知识点的一些简单讲解，每一门科目都涉及到更多的知识点和技巧。在备战高考的过程中，我们应该注重理解和掌握知识点，同时也要提高自己的解题能力和方法。只有全面
高中数学分布列数学期望练习题
频率组距 岁 （17）（本小题满分13分） 为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表： 成绩等级 A B C D E 成绩（分） 90 70 60 40 30 人数（名） 4 6 10 7 3 其成绩等级为“A 或B ”的概率； （Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选 3人，记X 表示抽到成绩等级为“A 或B ”的学生人数，求X 的分布列及其数学期望EX ； （Ⅲ）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率． （16）（本小题共13分）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志愿者的年龄情况如下表所示． （Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如 图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[3035，） 岁的人数； （Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X ，求X 的分布列及数学期望． 分组 （单位：岁） 频数 频率 [)20,25 5 050.0 [)25,30 ① 200.0 [)30,35 35 ② [)35,40 30 300.0 []40,45 10 100.0 合计 100 00.1
上楼数列问题 人教版
上楼数列问题人教版 一、规律解析 一个看似简单的问题：上楼梯中的数学。请问叶子从1楼到3楼上了几段楼梯？这个问题看似特别简单，但其实蕴含着很重要的数学思想。 大部分小朋友看见问题就说出了答案是3段，但是如果仔细想想，就会发现哪里出了错。从1楼到2楼只爬了一段楼梯，从2楼到3楼又爬了一段楼梯，所以总共爬了两端楼梯。其实上楼梯问题它的本质依然是两端植树问题，以楼层开始，以楼层结束，所以楼层数要比段数多1。 这样一道题目：如果每上一层楼梯需要1分钟，那么从一层上到四层需要多少分钟？如果你的答案是4分钟，那么你就错了.正确的答案应该是3分钟。为什么是3分钟而不是4分钟呢？原来从一层上到四层，只要上三层楼梯，而不是四层楼梯。 例.某人要到一座高层楼的第8层办事，不巧停电，电梯停开，如从1层走到4层需要48秒，请问以同样的速度走到八层，还需要多少秒？ 分析要求还需要多少秒才能到达，必须先求出上一层楼梯需要几秒，还要知道从4楼走到8楼共走几层楼梯.上一层楼梯需要： 48÷（4-1） =16（秒），从4楼走到8楼共走8-4=4（层）楼梯。到这里问题就可以解决了。
解：上一层楼梯需要： 48÷（4-1） =16（秒）从4楼走到8楼共走： 8-4=4（层）楼梯还需要的时间： 16×4=64（秒）答：还需要64秒才能到达8层。 例：晶晶上楼，从1楼走到3楼需要走36级台阶，如果各层楼之间的台阶数相同，那么晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶？ 分析要求晶晶从第1层走到第6层需要走多少级台阶，必须先求出每一层楼梯有多少台阶，还要知道从一层走到6层需要走几层楼梯。从1楼到3楼有3-1=2层楼梯，那么每一层楼梯有36÷2=18（级）台阶，而从1层走到6层需要走6-1=5（层）楼梯，这样问题就可以迎刃而解了。 解：每一层楼梯有： 36÷（3-1）＝18（级台阶）晶晶从1层走到6层需要走： 18×（6-1） =90（级）台阶。 答：晶晶从第1层走到第6层需要走90级台阶。 注：例1～例4所叙述的问题虽然不是上楼梯，但它和上楼梯有许多相似之处，请同学们自己去体会.爬楼梯问题的解题规律是：所走的台阶数=每层楼梯的台阶数×（所到达的层数减起点的层数）。 专项练习题（1） 1.有一幢楼房高17层，相邻两层之间都有17级台阶，某人从1层走到11层，一共要登多少级台阶？ 2.从1楼走到4楼共要走48级台阶，如果每上一层楼的台阶数都相同，那么从1楼到6楼共要走多少级台阶？
35 高中数学分布列与期望及决策专题训练
专题35高中数学分布列与期望及决策专题训练 【知识总结】 离散型随机变量X 的分布列为 则，(1)p i ≥0，i ＝1,2，…，n . (2)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1. (3)E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n . (4)D (X )＝ i ＝1n [x i －E (X )]2p i . (5)若Y ＝aX ＋b ，则E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝a 2D (X )． 【高考真题】 1．(2022·全国甲理) 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． (1)求甲学校获得冠军的概率； (2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望． 2．(2022·北京) 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m 以上(含9.50m) 的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，935，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16． 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立． (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E （X ）； (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证） 【题型突破】 1．某校计划举行以“唱支山歌给党听”为主题的红歌合唱比赛活动，现有高一1，2，3，4
高中数学人教A版选修三 离散型随机变量及其分布列题型整理(解析版)
选修三7.2离散型随机变量及其分布列 一、知识储备 二、题型专练 1、离散型随机变量的判断 2、离散型随机变量分布列的性质与应用 3、求离散型随机变量的分布列 4、两点分布及其应用 三、课后加练
一、知识储备
二、题型分类 题型一：离散型随机变量的判断 1.10件产品中有3件次品,从中任取2件,可作为随机变量的是 A．取到产品的件数B．取到正品的概率 C．取到次品的件数D．取到次品的概率 【答案】C 【详解】逐一考查所给的选项：A中取到产品的件数是一个常量而不是变量,B,D中的量也是一个定值,而C中取到次品的件数可能是0,1,2,是随机变量.本题选择C选项. 2.对一批产品逐个进行检测,第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ,则ξ=k表示的试验结果为( ) A．第k-1次检测到正品,而第k次检测到次品 B．第k次检测到正品,而第k+1次检测到次品 C．前k-1次检测到正品,而第k次检测到次品 D．前k次检测到正品,而第k+1次检测到次品 【答案】D ξ=表示第一次检测到次品前已检测的产品个数为k，因此前k次检测到【详解】由题意k k+次检测的是一件次品.故选D. 的都是正品，第1 3.下列随机变量中不是离散型随机变量的是__________（填序号）． ①某宾馆每天入住的旅客数量是X； ②某水文站观测到一天中珠江的水位X； ③西部影视城一日接待游客的数量X； ④阅海大桥一天经过的车辆数是X. 【答案】② 【解析】①③④中的随机变量X的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量；②中随机变量X可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量．故答案为：②
《 随机变量及其分布列(2)》示范课教案【高中数学苏教版】
第八章概率 8.2.1随机变量及其分布列 第二课时 ◆教学目标 1．理解离散型随机变量分布列的性质，并用其解决问题． 2．进一步熟练掌握求离散型随机变量的概率分布． ◆教学重难点 重点：求离散型随机变量的概率分布． 难点：离散型随机变量分布列性质的运用． ◆教学过程 一、新课导入 问题1：说一说离散型随机变量的概率分布的定义、性质、及求解步骤吧． 答案：（1）离散型随机变量的概率分布 概率分布：P(X＝x i)＝p i,i＝1,2,…，n，或 X x1x2…x n P p1p2…p n （2）随机变量的概率分布的性质 ①p i≥0; ②p1＋p2＋…＋p n＝1. 利用这两个性质可以列出方程或不等式(组)求参数的值或范围． （3）求概率分布的一般步骤 ①写出X的所有可能取值； ②求出X取各个值的概率； ③按定义规范形式写出分布列(通常写出表格形式)． 追问1：通过上节课的学习，你认为如何用函数思想研究概率问题？ 答案：先引入随机变量的概念，建立起样本空间到实数集的对应关系，为随机事件的表示带来方便；然后再引入分布列的概念，建立起随机变量取值与其概率的对应关系．有了随机变量及其分布列的概念，就可以将不同背景的概率问题转化为统一的数学问题．追问2：离散型随机变量的分布列与样本频率分布有什么联系与区别？ 答案：联系：都是统计离散型随机变量各个取值的可能性大小． 区别：分布列呈现的是准确值(概率)，而样本频率分布呈现的是统计数据的经验值(频率)；频率一般容易得到，通常用来代替随机变量分布列进行定量分析． 二、应用举例
例1. 若随机变量X 的分布列如下表所示，试求出常数c . 解：由随机变量分布列的性质可知⎩⎪⎨⎪ ⎧ 9c 2－c ＋3－8c ＝1，0≤9c 2－c ≤1， 0≤3－8c ≤1，解得c ＝1 3 . 追问：本题的解答有哪些关键和需要注意的地方呢？ 答案： (1) 分布列的两个性质：①p i ≥0, i ＝1,2,…，n,这是由概率的非负性所决定的；② p 1＋p 2＋…＋p n ＝1，这是因为一次试验的各种结果是互斥的，而全部结果之和为必然事件． (2) 两个性质的应用：①检查写出的分布列是否正确；②在求分布列的某些参数时，可通过列方程或不等式(组)求出参数． 例2. 同时抛掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．设两颗骰子中出现的点数分别为X 1,X 2,记X ＝max{X 1,X 2}． (1) 求X 的概率分布； (2) 求P (2 高中理科数学概率统计、各类分布列解答题类型 以随机事件概率为背景离散型随机变量的分布列、均值 【背一背重点知识】 1．随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，各事件概率之和为1． 2．求随机事件概率为背景的离散型随机变量的均值与方差公式 3．注意事件中所包含关键词，如至少，至多，恰好，都是，不都是，都不是等的含义．【讲一讲提高技能】 1、必备技能：分类讨论要保证不重不漏，且相互互斥．灵活运用排列组合相应方法进行计数．等可能性是正确解题的关键，在计数及求概率过程中严格保证事件的等可能性． 【练一练提升能力】 1．某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）． （1）求选出的3名同学来自不同班级的概率； （2）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望． 2．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望； （2）求恰好得到分的概率． 3、某厂有台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为．(1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于？ (2)已知一名工人每月只有维修台机器的能力，每月需支付给每位工人万元的工资．每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有名工人．求该厂每月获利的均值． 以二项分布为背景离散型随机变量的分布列、均值高中理科数学各类型 概率统计、分布列解答题