向量的减法

√
例3:化简 (1) AB CB; (2) AB + BC + DA DC ; (3) MN MP PQ. 解(1)AB-CB=AB+(-CB)=AB+BC=AC; (2)AB+BC+DA-DC= AB+BC+DA+CD=
AB+BC+CD+DA= 0 .
(3)MN-MP-PQ=MN-(MP+PQ) =MN-MQ =MN+QM =QM+MN =QN.
练习
• 1化简：
( AB CD) ( AC BD)
原式 = AB CD AC + BD = AB + DC + CA + BD = ( AB + BD) + ( DC + CA) = AD + DA = 0
思考：若向量a、 共线，则应怎样作出 a b 呢？ b a a
b
（1）
O A B B
b
பைடு நூலகம்（2）
若a，方向相反，a b |=| a | + | b | b | 若a，方向相同，a b |=| a | | b （或 | b | | a |） b | | 若a b不共线，则 | a b || a | + | b | ，
3、判断下列命题是否正确，若不正确，说明理由
1、 + BA = 0 AB
2、 = OA OB AB
4、若
（ （
） ） ）
3、相反向量就是方向相反的量 （
AB + BC + CA = 0
，则A、B、C ）
三点是一个三角形的定点 （ 5、+ a = a （ ） 0
6、两个向量是互为相反向量，则两个向量共线 （ ）
温故知新
1、向量加法的三角形法则
A
a a a a a a a a a a b b b a+b b b
B
b
b
b
b O
首尾相接连端点
2、向量加法的平行四边形法则 D
a a a a a a a a a a a+b b a
C
b
b
b
b
A
B
b
起点相同连对角
r+ r= r+ r 3、向量加法的交换律：a b b a .
a a
AB = BA, 在计算中常用
结论： （1） (a) =
a 0
（2）零向量的相反向量仍是零向量,
0 = 0
(3)a + (a) = (a) + a =
（4）如果是a,b互为相反的向量，那么
a = b , b = a, a + b = 0
二、向量减法： 定义： a b = a + ( b) 即：减去一个向量相当于加上这个向量的 相反向量。 把 a b 也叫做 也是一个向量。
(二)重点 重点：向量减法的定义、向量减法的三角形法则
练习:2
(1)化简AB AC + BD CD 解 : 原式 = CB + BD CD = CD CD = 0
(2)化简OA + OC + BO + CO
解 : 原式 = (OA + BO) + (OC + CO) = (OA OB) + 0 = BA
a 与 b 的差。a 与 b
的差
三、向量减法的作图方法：
b
a
已知a, b,根据减法的定义， 如何作出 b呢？ a
已知a, b,根据减法的定义, 如何作出a b呢？
r r r r a b = a + (b )
b
B
b b
C O
a + ( b )
（1） + BC AD = D AB ( A) AD ( B)CD (C ) DB ( D) DC
（2） AC DB = C AB ( A) AD ( B) AC (C )CD
任意向量a， b， 有|| a | | b ||| a b || a | + | b |
例 已知向量a, b, c, d , 求作向量a b, c d. 1.
B A D
C
b a
作法 :
d
c a
b
O
d
c
1.在平面上任取点O , 作OA = a , OB = b, OC = c , OD = d . 2.作 BA, DC , 则BA = a b, DC = c d为所求.
例4：如图平行四边形ABCD, AB = a, D DA = b, OC = c, c b 证明：+ c a = OA b
O
C
a 证明：+ c = DA + OC = OC + CB = OB b
A
B
b + c a = OB AB = OB + BA = OA
a b
a b
O
A
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | + | b |
任意向量a， b，有|| a | | b ||| a b || a | + | b | 任意向量a， b，有|| a | | b ||| a + b || a | + | b |
“共起点，连终点，指向被减向量”
思 考
(1)如图，如果从a的终点到b的终点作向量，那么
所得向量是什么？
a
r b
r r ？ b a
思考：若向量a、 共线，则应怎样作出 a b 呢？ b a a
同向 反向
b
O （1） A
b
（2） B B
a b
a b
O
A
练习
若 AB = 8, AC = 5, 则 BC的取值范围是_____.
解： BC = AC AB , AC AB AC AB AC + AB 3 BC 13
小结:
(一)知识 1．理解相反向量的概念 2. 理解向量减法的定义， 3. 正确熟练地掌握向量减法的三角形法则
b
A
D
a b
C
a+b
B
| a |=| b | a +b与a b垂直？_____________
变式训练一：当a ,b满足什么条件时，
a
a和b互相垂直 |a +b|=|a b|？_____________________
变式训练二：当a ,b满足什么条件时，
变式训练三：a +b与a b可能是相等向量吗？ 不可能.因为平行四边形的两条对角线方向不同. ___________________________________________
, 练习 如图，已知ab, a . 求作 b
BA = OA OB = a b
（2） （1）
a
a
b b
b
o
B
o a
A
（3）
a b
A
a b
（4）
B
a
a b
a
b
B
B
o
b
A
o
a bA
例2：选择题：
( D) DC
例2.已知平行四边形ABCD , AB = a , AD = b, 用 a , b 表示向量AC , DB
解：有向量加法的平行四边形法则， A 得
D
C
b a
B
AC = a + b;
由向量的减法可得，
DB = AB AD = a b.
r+ r + r= r+ r+ r ( 4、向量加法的交换律：a b ) c a (b c )
向量的减法
探 究
向量是否有减法? 如何理解向量的减法? 我们知道,减去一个数等于加上这个数的相反 数，如:5-1=5+(-1)
向量的减法是否也有类似的法则：
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量？
一、相反向量 定义：与 a 长度相等，方向相反的向量， 叫做 a 的相反向量，记作： a
变式训练 四 如图,
你能用
ABCD 中, AO = a,OB = b,

a ,b 表示向量AB和AD吗?
D
解:AB=a + b; AD=a - b.
A
a
O
b
B
C
练习1
重要提示
AB = BA
填空： DB AB AD = _____; 你能将减法运 CA BA BC = ______; 算转化为加法 运算吗？ AC BC BA = ______; AD OD OA = ______; BA OA OB = ______ .
a
a
A a + ( b ) D
四、向量减法的几何意义:
a b的作图方法:
b
B
a
b
O
a b
a
A
①将两向量平移,使它 们有相同的起点. ②连接两向量的终点. ③箭头的方向是指向 “被减数”的终点.
a b表示从减向量b的终点指向被减向量a的终点 的向量，这就是向量减法的几何意义. 也可理解为： b表示与b的和等于a的向量. a