第四章理想流体动力学

2 t
将对 x, y,z 求偏导数：
x x vx
y y v y
z
z
vz
可见，和 实质一样，符合速度势的定义。
第四章 理想流体动力学 §4-2 拉格朗日积分式
15
如果流体的质量力只有重力，取ｚ轴垂直
向上，有 U gz ，代入上式，得：
gz p v2 2 t
或：
z p v2 1 2g g t
第四章 理想流体动力学
1
第四章 理想流体动力学
(Ideal fluid dynamics)
§4-1 欧拉运动微分方程式 §4-2 拉格朗日积分式 §4-3 伯努利积分式及其应用 §4-4 伯努利方程几何意义和能量意义 §4-5 动量定理及动量矩定理
第四章 理想流体动力学
2
重点：伯努利积分式及其应 用、伯努利方程的几何意义和能 量意义、动量定理及动量矩定理
上式为非定常无旋运动的拉格朗日积分式。
对于定常无旋运动，括号中的函数还不 随时间变化，因此它在整个流场为常数：
U p v2 C(通用常数) 2
第四章 理想流体动力学 §4-2 拉格朗日积分式
16
U p v2 C(通用常数) 2
对于理想、不可压缩流体，在重力作用下
的定常、无旋运动，上式写为：
欧拉运动微分方程：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
X
1
p x
v y t
vx
v y x
vy
v y y
vz
v y z
Y
1
p y
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
Z
1
p z
沿流线积分：
第四章 理想流体动力学 §4-3 伯努利积分式及其应用
22
vx t
vx
vx x
dx vy
vx y
dx
vz
vx z
dx
vx
vx x
dx
vx
vx y
dy
vx
vx z
dz
x
vx2 2
dx
y
vx2 2
dy
z
vx2 2
dz
d
vx2 2
则：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
dx
d
vx2 2
第四章 理想流体动力学 §4-3 伯努利积分式及其应用
24
vx t
v22 2g
上式即为理想流体定常、不可压缩、重力场 中沿流线的伯努利方程。
第四章 理想流体动力学 §4-3 伯努利积分式及其应用
27
伯努利积分与拉格朗日积分在形式上相似, 但不同之处有二：
⑴应用条件不同。拉格朗日积分只能用于 无旋流运动，不要求流动定常；伯努利积分无 需无旋运动，但一定是定常流动。
⑵ 质量力有势；
存在质量力势函数
U，且：X
U x
⑶ 定常流动；
物理量＝0
t
⑷ 沿流线积分。
Y U y
Z U z
第四章 理想流体动力学 §4-3 伯努利积分式及其应用
21
推导过程主要将运动微分方程沿流线积分，
再将积分号下的项变形为某个函数的全微分， 得到积分方程。然后在质量力为重力的情况下， 整理出要求的伯努利积分式。
25
三式相加：
d
vx2 2
d
v
2 y
2
d
vz2 2
x
U
p
dx
y
U
p
dy
z
U
p
dz
整理为：
d
vx2
v
2 y
2
vz2
d U
p
或：d
U
p
v2 2
0
即：
U
p
v2 2
Cl
此式即为欧拉运动微分方程的伯努利积分，它表明：
对于不可压缩理想流体，在有势质量力作用下作定 常流时，在同一条流线上U p v2 值保持不变，该
⑵常数性质不同。拉格朗日积分中的常数 在整个流场中不变，故称为普遍常数，伯努利 积分常数只在同一根流线上不变，不同流线取 值不同，称为流线常数。或者说拉格朗日积分 在整个空间成立，而伯努利积分只在同一条流 线上成立。
当流动定常且无旋时，两个积分式等同。
第四章 理想流体动力学 §4-3 伯努利积分式及其应用
U
p
v2 2
t
0
三式综合说明，括弧内函数不随空间坐标变 化,那么只可能是时间的函数。
可写为：
U p v2 f t
2 t
第四章 理想流体动力学 §4-2 拉格朗日积分式
14
t
引入函数 ，使： f tdt
U p v2 f t
2 t
0
方程继续可改写为： U p v2
28
二、沿有限流束(总流)的伯努利方程
流束的极限为流线。为工程上的应用，现 将伯努利方程推广到有限大的流束(总流)。
渐变流动：流线近似平行，而且流线的曲 率很小的流动。
否则称为急变流动。 渐变流动的特点： z p 在整个有效截面上
为常数，即服从静压分布规律：
z p const
第四章 理想流体动力学 §4-3 伯努利积分式及其应用
第四章 理想流体动力学 §4-1 欧拉运动微分方程式
4
§4-1 欧拉运动微分方程式
欧拉运动微分方程是理想流体的运动微分 方程，是牛顿第二定律在理想流体中的具体应 用。这里采用微元体积法导出欧拉运动微分方 程。
如图，在流场中建立直角坐标系oxyz，任 取一微元六面体，其边长分别为dx、dy、dz。
第四章 理想流体动力学 §4-1 欧拉运动微分方程式
vy
vx y
vz
vx z
dx
X
1
p x
dx
vy t
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
dy
Y
1
p y
dy
vx t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
dz
Z
1
p z
dz
其中dx、dy、dz为流线上的线元的分量。
以x方向为例：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vz
v y z
Y
1
p y
第四章 理想流体动力学 §4-1 欧拉运动微分方程式
8
同理可得：vx
t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
X
1
p x
v y t
vx
v y x
vy
v y y
vz
v y z
Y
1
p y
vz t
vx
vz x
vy
vz y
vz
vz z
Z
1
p z
三式综合dv写 成F矢 量1 形p 式：
2
常数值称为伯努利积分常数。对于不同的流线伯努
利积分常数一般不相同。
第四章 理想流体动力学 §4-3 伯努利积分式及其应用
26
U
p
v2 2
Cl
在重力场中 U gz ，则沿流线上式变为：
p v2
gz
2
Cl
或：
z
p
v2 2g
Cl
或在流线上任意两点上成立：
z1
p1
v12 2g
z2
p2
7
3. 推导运动微分方程
根据牛顿第二定律，作用在流体上的诸力
在任一轴投影的代数和应等于流体的质量与该
轴上加速度投影的乘积。
Fy may
故对y轴有：
Ydxdydz
p y
dxdydz
dxdydzay
又：
ay
vy t
vx
vy x
vy
vy y
vz
vy z
所以：
v y t
vx
v y x
vy
v y y
难点：动量定理及动量矩定 理
第四章 理想流体动力学
3
虽然实际流体都具有粘性，但是在很 多情况下粘性力影响很小，可以忽略，所 以讨论理想流体的运动规律不但具有指导 意义，而且具有实际意义。
本章先建立理想流体动力学的基本方 程——欧拉运动微分方程，然后在特定的 条件下积分可以得到拉格朗日积分式及伯 努利积分式，介绍两个积分的实际应用， 最后推导出动量及动量矩定理，并举例
vz
vx z
vx
vx x
vy
y
x
vz
z x
vx
vx x
vy
x
y
vz
x z
vx
vx x
vy
vy x
vz
vz x
1 x 2
vx2
v
2 y
vz2
1 v2 x 2
等号左边： 第一项： X U
x
第四章 理想流体动力学 §4-2 拉格朗日积分式
6
左面：px, y,z
右面：px, y dy,z px, y,z p dy
y
故沿ｘ方向表面力的合力是：
pdxdz ( p p dy )dxdz p dxdydz
y
y
2. y方向的质量力
设作用在六面体上沿y轴的单位质量力为Y，
则流体质量力在y方向的分力为 Ydxd。ydz
第四章 理想流体动力学 §4-1 欧拉运动微分方程式
19
§4-3 伯努利积分式及其应用
介绍伯努利(D.Bernouli 1700－1782)方程的推导和应 用。
伯努利方程的推导： 是欧拉方程在定常运动沿流线的积分。
第四章 理想流体动力学 §4-3 伯努利积分式及其应用
20
一、沿流线的伯努利方程
伯努利方程的限制条件：
⑴ 理想不可压缩流体；
const
但是对于复杂的流动很难得到问题的解析 解，只有在一些特殊条件下，才能求出解析解， 如拉格朗日积分式和伯努利积分式。
第四章 理想流体动力学 §4-2 拉格朗日积分式
10
§4-2 拉格朗日积分式
拉格朗日(Langrange)积分是欧拉方程在 非定常无旋运动条件下的积分解。
拉格朗日假设：
⑴ 理想不可压缩流体；
dt
即为理想流体运动微分方程，也称欧拉运动微
分方程。
此式对可压缩及不可压缩或定常流及非定
常流的理想流体均适用。
第四章 理想流体动力学 §4-1 欧拉运动微分方程式
9
运动微分方程的三个分量式中有四个未知 数 vx 、v y、vz 和 p ，再加上连续方程式共四个方 程组，方程封闭，理论上可求解。当然还要满 足所提问题的边界条件、初始条件，这一问题 不是本课程的讨论范围。
应用拉格朗日积分式，可解释许多重要 的物理现象：如机翼产生升力的原因；两艘 并排行驶而又靠得很近的船舶为什么会产生 互相吸引的“船吸现象”；以及在浅水航道 行驶的船舶为什么会产生“吸底现象”等等。
第四章 理想流体动力学 §4-2 拉格朗日积分式
18
第四章 理想流体动力学 §4-3 伯努利积分式及其应用
29
211
2
1 2
3
4
5
6
7
缓变流：1、3、5、7
1段有效截面上：
z1
p1
z2
p2
7段有效截面上：
z1
p1
z2
p2
为简单计，约定 z p 取有效截面形心处
的数值。
第四章 理想流体动力学 §4-3 伯努利积分式及其应用
30
2 11 1
2
21
2
3
4
const
⑵ 质量力有势；
存在质量力势函数
U，且：X
U x
Y U y
Z U z
⑶ 无旋运动。
存在速度势函数
，且：vx
x
vy y
vz
z
第四章 理想流体动力学 §4-2 拉格朗日积分式
11
推导过程主要分别将x、y、z方向的运动 微分方程变形为某函数(或表达式)关于x、y、z 的偏导数，三方程相加，在质量力为重力的情 况下，整理出要求的拉格朗日积分式。
p v2 z C(通用常数)
2g
此式即为理想不可压缩流体，在重力场中定 常无旋运动得拉格朗日方程。Ｃ是在整个流 场都适用的通用常数，因此它在整个流场建 立了速度和压力之间的关系。
第四章 理想流体动力学 §4-2 拉格朗日积分式
17
若能求出了流场的速度分布(理论或实验 的方法)，就能用拉格朗日积分式求流场的压 力分布，再将压力分布沿固体表面积分，就可 求出流体与固体之间的相互作用力。
第二项：
12
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
X
1
p x
1
p x
x
p
所以x方向的运动微分方程变形为：
x
t
1 2
v2
x
U
p
x
U
p
v2 2
t
0
第四章 理想流体动力学 §4-2 拉格朗日积分式
13
同样可得：
y
U
p
v2 2
t
0
x
U
p
v2 2
t
0
z
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
dx
X
1
p x
dx
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
dx
d
vx2 2
以及：
X
1
p x
dx
x
U
p
dx
即变为： 同理可得：
d
vx2 2
x
U
p
dx
d
v
2 y
2
y
U
p
dy
d
vz2 2
z
U
p
dz
第四章 理想流体动力学 §4-3 伯努利积分式及其应用
5
平行六面体，顶点为 Ax, y,z 处的速度 是 vx, y,z ，压强为 px, y,z 。六面体平均密
度为 ，作用在六面体上的力有表面力和质量 力。
以y方向为例进行受力分析： 1. y方向的表面力 由于讨论的流体是理想流体,作用在流体表 面上的力只有法向力,其方向为内法线方向。
第四章 理想流体动力学 §4-1 欧拉运动微分方程式
vx z
dx
X
1
p x
dx
首先，定常流动，有：
vx ＝0 t
第四章 理想流体动力学 §4-3 伯努利积分式及其应用
23
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
dx
X
1
p x
dx
则上式简化为：
vx
vx x
dx
vy
vx y
dx
vz
vx z
dx
X
1
p x
dx
变形：
vx
vx x
以x方向为例：
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
X
1
p x
等号右边：
第一项： vx
t t x x t
第四章 理想流体动力学 §4-2 拉格朗日积分式
第二、三、四项：
11
vx t
vx
vx x
vy
vx y
vz
vx z
Leabharlann Baidu
X
1
p x
vx
vx x
vy
vx y