高中数学第三章《直线与方程》知识点总结与练习

第八章 平面解析几何

第一节

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[知识能否忆起]

一、直线的倾斜角与斜率 1．直线的倾斜角

(1)定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角．当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

(2)倾斜角的范围为[0，π)_． 2．直线的斜率

(1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan_α，倾斜角是90°的直线没有斜率．

(2)过两点的直线的斜率公式：

经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 1－y 2

x 1－x 2.

二、直线方程的形式及适用条件 名称 几何条件 方 程 局限性

点斜式 过点(x 0，y 0)，斜率为k y －y 0＝k (x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 斜率为k ，纵截距为b y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式

过两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 1≠x 2，y 1≠y 2)

y －y 1y 2－y 1＝x －x 1

x 2－x 1

不包括垂直于坐标轴的直线

截距式

在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ，b ≠0)

x a ＋y b

＝1 不包括垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式

Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)

[小题能否全取]

1．(教材习题改编)直线x ＋3y ＋m ＝0(m ∈k )的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．150°

D ．120°

解析：选C 由k ＝tan α＝－

3

3

，α∈[0，π)得α＝150°. 2．(教材习题改编)已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－3

4，则直线l 的方程为( )

A ．3x ＋4y －14＝0

B ．3x －4y ＋14＝0

C ．4x ＋3y －14＝0

D ．4x －3y ＋14＝0

解析：选A 由y －5＝－3

4

(x ＋2)，得3x ＋4y －14＝0.

3．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ) A ．1

B ．4

C ．1或3

D ．1或4

解析：选A 由1＝4－m

m ＋2

，得m ＋2＝4－m ，m ＝1.

4．(2012·长春模拟)若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． 解析：k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4

＝a －3.

由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4. 答案：4

5．若直线l 过点(－1,2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程为________． 解析：由已知得直线l 的斜率为k ＝－3

2.

所以l 的方程为y －2＝－3

2(x ＋1)，

即3x ＋2y －1＝0. 答案：3x ＋2y －1＝0

1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率．

2．由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性． 3．用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论．

直线的倾斜角与斜率

典题导入

[例1] (1)(2012·岳阳模拟)经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为3π

4，则y

＝( )

A ．－1

B ．－3

C ．0

D ．2

(2)(2012·苏州模拟)直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________． [自主解答] (1)tan 3π4＝2y ＋1－(－3)4－2＝2y ＋42＝y ＋2，因此y ＋2＝－1.y ＝－3.

(2)由题知k ＝－

33cos θ，故k ∈⎣⎡⎦⎤－33，33，结合正切函数的图象，当k ∈⎣

⎡⎦⎤0，3

3时，直线倾斜角α∈⎣⎡⎦⎤0，π6，当k ∈⎣⎡⎭⎫－3

3，0时，直线倾斜角α∈⎣⎡⎭⎫5π6，π，故直线的倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭

⎫5π

6，π. [答案] (1)B (2)⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭

⎫5π

6，π 由题悟法

1．求倾斜角的取值范围的一般步骤： (1)求出斜率k ＝tan α的取值范围；

(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 2．求倾斜角时要注意斜率是否存在．

以题试法

1．(2012·哈尔滨模拟)函数y ＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π

4，则直线l ：ax －by

＋c ＝0的倾斜角为( )

A ．45°

B ．60°

C ．120°

D ．135°

解析：选D 由函数y ＝f (x )＝a sin x －b cos x 的一条对称轴为x ＝π

4知，f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，即－b ＝a ，则直线l 的斜率为－1，故倾斜角为135°.

2．(2012·金华模拟)已知点A (1,3)，B (－2，－1)．若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )