对数及其运算
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问题1：假设1995年我国国民生产总值为a亿元，如果 每年平均增长8%，那么到2000年，我国国民生产总值 为1995年的多少倍？
分析：2000年国民生产总值为a(1+8%)5亿元，所以 2000国民生产总值是1995年的(1+8%)5倍。 ---------这时已知底数和指数，求幂值问题！
问题2；假设1995年我国国民生产总值为a亿元，如果每 年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是1995年 的2倍？
③指数运算与对数运算对照关系：
指数 对数
N=ab
幂 值 底数相同
b=logaN
真 数
做一做：
计算下列各式的值：
log24= 2
log39= 2
log464= 3 log10100= 2 log31/9= -2 log1/5125= -3 log44= 1 log41= 0
2
log 2 8
8
2
log 2 16
④log243与3log24
你能否根据上述 计算结果提出一般 性的运算公式？
⑤
log23
1 与 log 2 64 64 3
对数运算法则(公式中a>0,a≠1,M>0,N>0)：
①内乘外加公式：loga(MN)=logaM+logaN
②内除外减公式：loga(M/N)=logaM-logaN
③真数乘方公式：logaNm=mlogaN 1 ④底数乘方公式： log am N log a N m m 特别的： log m N log N
2.以欧拉常数e=2.71828…为底的对数logeN叫做自然 对数,简记作lnN. 试一试： 1.若ln[log3(lnx)]=0,则x= e3 .
2.分别计算下列各组值，观察两者之间的关系：
① log24+log28与log2(4×8)
②lg10+lg100与lg(10×100)
③log327-log39与log3(27/9)
a a
log c b lg b ⑤对数换底公式： log a b log c a lg a ⑥倒数公式： a b 1 log logb a
以上公式怎么证明呢？
①的证明：
设 logaM=p,logaN=q,
则 M=ap,N=aq, 那么 MN=apaq, 即 MN=ap+q, 有 loga(MN)=p+q=logaM+logaN, 故有 loga(MN)=logaM+logaN.
cab
x
。
lg 3 . 6.已知 f (10 ) x, 则f(3)=
log 2 7
loga N
16
7
N
2
a
对数logaN(a>0,a≠1)具有下列性质： ①0和负数没有对数，即N>0;
②1的对数为0,即loga1=0;
③底数的对数等于1，即logaa=1;
④对数恒等式 a
试一试： 求值：
loga N
N(a 0, a 1, N 0)
9
1 log3 5 2
3 25
两种特殊对数 1.在现代科技中，以10为底的幂和对数经常使用， 我们就称以10为底的对数log10N对数为常用对数，常 常简记为lgN（其中底数10省略，log简记为lg). 计算： lg100= 2 lg1000= 3 lg1/10= -1
lg1= 0
lg0.1= -1
lg0.01= -2
C. 15 D.225
A.15
B. 15
3.若 a
1 1 log 1 3 2
1 log 1
5
, 则a属于区间( D ) 1 3
C. (3, 2) D. 2,3
A.(2, 1)
B. 1, 2
3mn 4.若log83=m,log35=n,则lg5= 1 3mn .
ln 2 ln 3 ln 5 ,b ,c 5.若 a ,则a,b,c大小关系为 2 3 5
如，42=16,则2=log416,读作“2=以4为底的16的对数”；
1 则-1=log 1 读作“-1=以4为底的1 的对 4 ， 4 , 4 4 4 数。
1
注意：
①由对数定义知，指数运算与对数运算互为逆运算！
②表达式“N=ab”与“b=logaN”是同一关系的两种 表达形式，两者可以互化！
分析：假设经过x年国民生产总值为1995年的2倍，由 题意有： a(1+8%)x=2a,所以 (1+8%)x=2,即 1.08x=2 x=? -------这是已知底数和幂值，求指数问题，是指数运 算的逆运算！
ຫໍສະໝຸດ Baidu
新概念 一般地，对于指数式ab=N(a>0,a≠1,N>0)，我们称b 是以a为底的N的对数，记作“logaN”,即： b=logaN (a>0,a≠1,N>0) 其中，数a 叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b 等于以a为底N的对数”.
④lg25+lg2×lg50=
1
3 ⑤ lg lg 70 1 lg 9 (lg 3) 2 2 7
小贴士，用法则进行对数运算时，要关注两点：
①单个的对数求值要将底数和真数化为同底；
②两个及多个对数化简求值要通过分解质因数等手段将 各个对数化为同底。
2.已知3a=5b=A,且
1 1 2, 则A的值为( B ) a b
小贴士：指数、对数的互相转换是解指数、对数方程 或相关求解题的重要方法！
请三位同学板演②③⑤的证明过程！
小贴士：对幂值两边同时乘方、开方、取对数是 重要的运算方法！
练习巩固 1.求下列各式的值： 10 ①log89×log2732= 9
5 ②(log43+log83)(log32+log92)= 4 ③ log ( 15 14 ) ( 15 14) 1
分析：2000年国民生产总值为a(1+8%)5亿元，所以 2000国民生产总值是1995年的(1+8%)5倍。 ---------这时已知底数和指数，求幂值问题！
问题2；假设1995年我国国民生产总值为a亿元，如果每 年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是1995年 的2倍？
③指数运算与对数运算对照关系：
指数 对数
N=ab
幂 值 底数相同
b=logaN
真 数
做一做：
计算下列各式的值：
log24= 2
log39= 2
log464= 3 log10100= 2 log31/9= -2 log1/5125= -3 log44= 1 log41= 0
2
log 2 8
8
2
log 2 16
④log243与3log24
你能否根据上述 计算结果提出一般 性的运算公式？
⑤
log23
1 与 log 2 64 64 3
对数运算法则(公式中a>0,a≠1,M>0,N>0)：
①内乘外加公式：loga(MN)=logaM+logaN
②内除外减公式：loga(M/N)=logaM-logaN
③真数乘方公式：logaNm=mlogaN 1 ④底数乘方公式： log am N log a N m m 特别的： log m N log N
2.以欧拉常数e=2.71828…为底的对数logeN叫做自然 对数,简记作lnN. 试一试： 1.若ln[log3(lnx)]=0,则x= e3 .
2.分别计算下列各组值，观察两者之间的关系：
① log24+log28与log2(4×8)
②lg10+lg100与lg(10×100)
③log327-log39与log3(27/9)
a a
log c b lg b ⑤对数换底公式： log a b log c a lg a ⑥倒数公式： a b 1 log logb a
以上公式怎么证明呢？
①的证明：
设 logaM=p,logaN=q,
则 M=ap,N=aq, 那么 MN=apaq, 即 MN=ap+q, 有 loga(MN)=p+q=logaM+logaN, 故有 loga(MN)=logaM+logaN.
cab
x
。
lg 3 . 6.已知 f (10 ) x, 则f(3)=
log 2 7
loga N
16
7
N
2
a
对数logaN(a>0,a≠1)具有下列性质： ①0和负数没有对数，即N>0;
②1的对数为0,即loga1=0;
③底数的对数等于1，即logaa=1;
④对数恒等式 a
试一试： 求值：
loga N
N(a 0, a 1, N 0)
9
1 log3 5 2
3 25
两种特殊对数 1.在现代科技中，以10为底的幂和对数经常使用， 我们就称以10为底的对数log10N对数为常用对数，常 常简记为lgN（其中底数10省略，log简记为lg). 计算： lg100= 2 lg1000= 3 lg1/10= -1
lg1= 0
lg0.1= -1
lg0.01= -2
C. 15 D.225
A.15
B. 15
3.若 a
1 1 log 1 3 2
1 log 1
5
, 则a属于区间( D ) 1 3
C. (3, 2) D. 2,3
A.(2, 1)
B. 1, 2
3mn 4.若log83=m,log35=n,则lg5= 1 3mn .
ln 2 ln 3 ln 5 ,b ,c 5.若 a ,则a,b,c大小关系为 2 3 5
如，42=16,则2=log416,读作“2=以4为底的16的对数”；
1 则-1=log 1 读作“-1=以4为底的1 的对 4 ， 4 , 4 4 4 数。
1
注意：
①由对数定义知，指数运算与对数运算互为逆运算！
②表达式“N=ab”与“b=logaN”是同一关系的两种 表达形式，两者可以互化！
分析：假设经过x年国民生产总值为1995年的2倍，由 题意有： a(1+8%)x=2a,所以 (1+8%)x=2,即 1.08x=2 x=? -------这是已知底数和幂值，求指数问题，是指数运 算的逆运算！
ຫໍສະໝຸດ Baidu
新概念 一般地，对于指数式ab=N(a>0,a≠1,N>0)，我们称b 是以a为底的N的对数，记作“logaN”,即： b=logaN (a>0,a≠1,N>0) 其中，数a 叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b 等于以a为底N的对数”.
④lg25+lg2×lg50=
1
3 ⑤ lg lg 70 1 lg 9 (lg 3) 2 2 7
小贴士，用法则进行对数运算时，要关注两点：
①单个的对数求值要将底数和真数化为同底；
②两个及多个对数化简求值要通过分解质因数等手段将 各个对数化为同底。
2.已知3a=5b=A,且
1 1 2, 则A的值为( B ) a b
小贴士：指数、对数的互相转换是解指数、对数方程 或相关求解题的重要方法！
请三位同学板演②③⑤的证明过程！
小贴士：对幂值两边同时乘方、开方、取对数是 重要的运算方法！
练习巩固 1.求下列各式的值： 10 ①log89×log2732= 9
5 ②(log43+log83)(log32+log92)= 4 ③ log ( 15 14 ) ( 15 14) 1