大学线性代数课件1.3

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a11 a12 a13
6a11 2a12 10a13
例4．设 a21 a22 a23 =1， 求 3a21 a22 5a23 。
a31 a32 a33
3a31 a32 5a33
6a11 2a12 10a13 解： 3a21 a22 5a23
3a31 a32 5a33
(2)①
3a11 a12 5a13 2 3a21 a22 5a23
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性下质页3
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性质2 互换行列式的两行(列)，行列式的值变号。 推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同，则 此行列式的值为零。
性质3 用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k 乘以此行列式。即
a11 a12 … a1n
a11 a12 … a1n
… ………
… ………
ka31 ka32 … ka3n =k a31 a32 … a3n 。
1 0 1 2 ③ 2④ 36 0 0 1
2 3
④
4③ 1 36
0 0
1 0
2 1
2 3
0 0 4 11
0 0 0 23
= 23 36
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2下题页解
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4 4 3 5
1 3 1 3
3 2.
7
1 2
4 5
2 3 ①②
3 7
1 2
4 2 53
4 3 10 14
4 3 10 14
… … … …… a1n a2n a3n … 0
0 a12 a13 …a1n
则
a12 0 a23 …a2n D = (1)n a13 a23 0 …a3n
… … … ……
( 将D的每一行 提出一个1)
a1n a2n a3n … 0
=(1)nDT =(1)n D，
( DT= D)
当n为奇数时，有D=D， 所以D=0。
= (1) N ( j1 j2 jn ) a1 j1 aiji anjn
(1) N ( j1 j2 jn ) a1 j1 biji anjn 。
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性下质页5
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性质5 将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数 k后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式的值不变。
1 1 0 2
④③①①(12)
0 1
1
2
Baidu Nhomakorabea③④②13
0 1 1
2
0 1 1 2
0 0 2 4
0 3 1 4
0 0 2 2
1 1 0 2
④③(1)
0 1 1
2
=1(1)(2)(2) =4。
0 0 2 4
0 0 0 2
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下例页6
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0111
例6：计算下列行列式：
1 1
0 1
1 0
1 1
解：
1110
3.
4.
1 1 1 y 1
0 1 a 3 1
1 1 1 1 y
1 0 1 a 3
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1下题页解
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解：
1
1 2
0
1
3 1 02
1.
1 3
1
3
1
0 0 1
2
1 3 0
1
1 1
1 2
1 2
1 3
1 3
① ③
1 2
1 2
② ④
36
1 3
0 0 2
6 1 0
2 1 1
1 3 02
1 3 02
1 0 ① ② 36 0
an1 an2 … ann an1 an2 … ann
这是因为，
(1) N ( j1 j2 jn ) a1 j1 (aiji biji ) anjn
= (1) N ( j1 j2 jn ) [a1 j1 aiji anjn a1 j1 biji anjn ]
0 1 14 2
0 0 7 9
1 ③ 5④ 0
0
2 1 0
1 7 2
3 7 70
2③
2
1 0 0
2 1 0
1 7 1
3 7 35
0 0 7 9
0 0 7 9
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1 2 1 0 1 7
3 7
④② ③ 7②
1 0
2 1
1 7
3 7
0 7 12 24
0 0 37 25
011 101 110
11 ① 1
②
1 0 1
0 1 1④① 1
1 1
1 0
1 1
③
①
0 0
0 1 1
1 1 1
1 1 0
1110
1110
0 1 0 1
④② 1 0 1 1
10 1 1
③②
0 0
1 0
1 2
1 ③④ 1
0 0
1 0
1 1
1 2
0 0 1 2
0 0 2 1
10 1 1
④ 2③ 0 0
3a31 a32 5a33
(3)① 5③
2(3)5
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
=2(3)51 =30。
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下例页5
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0 1 1 2 例5． 1 1 0 2
1 2 1 0 2 1 10
1 1 0 2
① ②
0 1 1
2
1 2 1 0
2 1 10
1 1 0 2
它与D的一般项相差一个负号，所以D 1=D。
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下推页论
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性质2 互换行列式的两行(列)，行列式的值变号。 推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同，则 此行列式的值为零。
这是因为，将行列式 D 中具有相同元素的两行互换 后所得的行列式仍为D，但由性质2，D=D，所以D=0。
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①③
0 ① ② 1 a 3 1 0
a11 a12 … a1n … ………
a11 a12 … a1n a11 a12 … a1n … … …… … … ……
ai1bi1 ai2bi2 … ainbin = ai1 ai2 … ain bi1 bi2 … bin 。 … … … … … … …… … … ……
an1 an2 … ann
1 1
6 1
2④ 2① 1
10 36 0
1 1
6 1
2 1
2 3 0 1
0 3 05
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1 3 0 2 ④ 3② 1 3 0 2
1 0 1 6 2③ ② 1 0 1 6 2
36 0 1 1 1
36 0 0 7 3
0 3 05
0 0 18 11
1 3 2 2
1 3 2 2
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性下质页2
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性质2 互换行列式的两行(列)，行列式的值变号。
证明：记D=|aij|，交换D的第s行与第t(s<t)行得到的 行列式为D1=| bij |，则bsj = atj 、btj = asj(j=1, 2, , n)。
D1的一般项为
(1) b N ( j1 js jt jn ) 1 j1
0 1 14 2
0 0 7 9
1 2 ③ 5④ 0 1
00
1 7 2
3 7 70
④
7③
2
1 0 0
2 1 0
1 7 1
3 7 35
0 0 7 9
0 0 0 254
= 508
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3下题页解
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1 x 1 1 1
x101
1 3.
1 1
1 x 1 1
1 1 y
1
x
1 ①② 0
1 1
y
④ 4① 1 ③ 7① 0 ② 3① 0
3 8 19
1 7 12
3
1
7
0
24 ② ③ 0
2 1 7
1 7 12
3 7 24
0 15 14 2
0 1 14 2
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1 2 1 0 1 7
3 7
④② ③ 7②
1 0
2 1
1 7
3 7
0 7 12 24
0 0 37 25
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下解页答
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例3． n 阶行列式
x a a…a a a x a…a a a a x…a a ……… … …… a a a…x a a a a… a x
①② ①③
x(n1)a a a … a a x(n1)a x a … a a x(n1)a a x … a a
a11 a12 … a1n
a11
a12 … a1n
… … ……
… ………
即
ai1 ai2 … ain = ai1kaj1 ai2kaj2 … ainkajn 。
… … ……
… ………
an1 an2 … ann
an1
an2 … ann
这是因为
a11 a12 … a1n
a11 a12 … a1n
… … ……
a22 …
… …
an2 …
。
an1 an2 … ann
a1n a2n … ann
若D=|aij|，D T=| bij |， 则bij = aji (i, j=1, 2, , n)。
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性下质页1
结束
行列式的性质
行列式的转置： 将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的
转置行列式，记为DT或D 。 性质1 将行列式转置，行列式的值不变，即D =DT。 证明：记D=|aij|，D T=| bij |， D T的一般项为
0 1
0 1
1 1 1 1 y 0 0 0 y
( y)④
(x)②
1
x
2
y
2
0 0
1 1 1
0 0 1
1 0 1
1
③
①
x
2
y
2
0 0
1 1 0
0 0 1
1 0 = x2y2 1
0001
0001
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4下题页解
结束
a 3 1 0 1 a 3 1 4. 0 1 a3
1 ①④a3 a3 a3 a3
③
④
0
1 x 1 1
0 y y
1 1 1 y
1 1 0 1 ④③ 1 1 0 1
1 1 x 0 x① xy 0 1 1
1
②① 0 xy
x
0
0
1
0111
y③ 0 1 1 1 y
0 0 0 y
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1 x 1 1 1
1101
3.
1 1
1 x 1 1 1 y
1 1
=
xy
0 0
x 1
… …… … …… x(n1)a a a … x a x(n1)a a a … a x
②①(1)
③①(1)
x(n1)a a 0 xa 00 …… 00 00
a…a a 0…0 0 xa … 0 0 … … …… 0 … xa 0 0 … 0 xa
=[x(n1)a](xa)n1。
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下例页4
bsjs
btjt
bnjn
= (1) a N ( j1 js jt jn ) 1 j1
atjs
asjt
anjn
= (1) a N ( j1 js jt jn ) 1 j1
asjt
atjs
anjn
= (1) N ( j1 jt js jn ) a1 j1 asjt atjs anjn ，
性质3 用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k 乘以此行列式。
推论1 如果行列式中某一行(列)的所有元素有公因 子，则公因子可以提到行列式符号的外面。
推论2 如果行列式有两行(列)的对应元素成比例， 则此行列式的值为零。
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性下质页4
结束
性质4 若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之 和，则此行列式可以写成两个行列式之和：
… ………
… ………
an1 an2 … ann
an1 an2 … ann
这是因为，(1)N ( j1 j2 jn ) a1 j1 (kaiji ) anjn
= k (1) N ( j1 j2 jn ) a1 j1 aiji anjn 。
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推下论页1，2
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性质2 互换行列式的两行(列)，行列式的值变号。 推论 如果行列式中有两行(列)的对应元素相同，则 此行列式的值为零。
(1) N ( j1 j2 jn ) b1 j1 b2 j2 bnjn
= (1) N ( j1 j2 jn ) a j11a j2 2 a jnn
= (1) N ( j1 j2 jn )N (12n) a j11a j2 2 a jnn ，
这也是D 的一般项， 所以 D =DT。
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下例页2
结束
例2：计算下列行列式：
3111
1234
1.
1 1
311 131
2.
2 3
3 4
4 1
1 2
1113
4123
分析：
这两个行列式的共同特点是：行列式的各行（列） 之和相等。解决这类问题的一般方法是：把行列式的 各列均加到第一列，再提取第一列的公因式，然后利 用行列式的性质5化为三角行列式计算。
1 0
1 1
1 2
= 11 (1) 3 = 3
00 0 3
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下例页7
结束
例7：计算下列行列式：
1
1 2
0
1
4 4 3 5
1.
1 3
1
3
0 0
21 1 1 2.
32
3 7
1 2
4 5
2 3
1
1
0
1 2
4 3 10 14
1 x 1 1 1
a 3 1 0 1
1 1 x 1 1
1 a 3 1 0
§1.3 行列式的性质
行列式的转置 行列式的性质
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返回 行列下式页转置 结束
行列式的性质
行列式的转置：
将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的 转置行列式，记为DT或D 。即如果
a11 a12 … a1n
a11 a21 … an1
D=
a21 …
a22 …
… …
a2n …
， 则 DT =
a12 …
…………
右边= ai1 ai2 … ain k aj1 aj2 … ajn 。
… … ……
…………
an1 an2 … ann
an1 an2 … ann
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下例页1
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例1．证明:奇数阶反对称行列式的值为零。
解：设 0 a12 a13 … a1n
a12 0 a23 … a2n D = a13 a23 0 … a3n ，