一道高考数学试题的解法探究及教学思考

一道高考数学试题的解法探究及教学思考

题目：双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为l 1、l 2，经过右焦点F 垂直于l 1的直线分别交l 1、l 2于A 、B 两点. 已知||、||、||成等差数列，且与同向.

（1）求双曲线的离心率；

（2）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.

一、试题分析

本题是2008年高考数学全国卷I 文科第22题（理科第21题），是主要考查解析的几何基本思想和基本方法的压轴题，看似平凡，其实是一道可以用来归纳求解离心率的常用方法和技巧的好题，对启迪学生的发散性思维，拓宽学生的解题思路很有帮助。其命题意图是考查学生数形结合、化归与转化的数学思想和方程的思想。考生初读题目，感觉常规，下笔却困难重重。原因是试题的第（1）问对考生的思维能力要求较高，许多考生草读一遍题意，

便下笔求解A 、B 两点的坐标，虽然一些考生能够正确求出A 、B 两点的坐标为2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝

⎭，22222,a c abc B a b

a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭，接下来计算||和||还较容易，但计算||由于计算量大，陷入解题困境，部分考生算出了一个相当复杂的结果；部分考生甚至算了半天也计算不出结果，最后心慌，放弃此题。本文以此题为载体，引导学生一题多解，发散思维，并引发了几点思考，旨在与同行交流。

二、第（1）问解法探究

分析：如图1所示，设双曲线方程为22

22x y a b -=1(a ＞0，b ＞0)，右焦点为F(c,0)(c ＞0)，则c 2=a 2+b 2.不妨设l 1：bx-ay=0，l 2：bx+ay=0，

依题意||FA

==b ，||

==a ，由

22

1a

b a

c e +==知，只需求出a b 的值即可，可用多种思维建立a 与b 的关系。 解法1（坐标法）:由已知知直线AB 的方程为)(c x b a y --=，联立0,(),bx ay a y x c b -=⎧⎪⎨=--

⎪⎩

解图1

得),(2c ab c a A ，联立⎪⎩

⎪⎨⎧--==+)(0c x b a y ay bx 解得),(22222b a abc b a c a B ---。因为BF 与FA 同向，所以a ＞b,所以a =||，222||ac OB a b =-，2222||a b AB a b

=-。又因为||、||、||成等差数列，所以||||||2+=，可得a=2b ，所以25122=+==a

b a

c e 。 【点评】联立消元和坐标运算是解决解析几何问题的核心，也是常规解题思想和方法，但往往由于涉及字母较多，计算量大，运算技巧强，使得许多学生“易想难算”，望而生畏，产生恐惧心里，因此，对学生而言是一项艰巨的考验。

解法2（勾股定理）: 因为a =||，又由已知知222||||||=+，

||||||2+=，联立可得||3||5=，所以||43||AB OA == tan ∠AOB ，因为与FA 同向，所以∠AOB=2∠AOF ，即

34tan 1tan 22=∠-∠AOF AOF ，解得tan ∠AOF =12或tan ∠AOF =-2（舍去），因此2

1=a b 。以下略。 【点评】事实上，由221a

b a

c e +==知，只需求出a b 的值即可，进而寻找a 与b 之间的关系，而a b 恰为渐近线l 1 的斜率，由斜率的定义得b a

=tan ∠AOF ，再往下思考，会自然想到∠AOB=2∠AOF ，通过求出tan ∠AOB =

||||

AB OA 的值再计算，这样思路自然，迅速解答。 解法3（方程思想）:由已知得222||||||,2||||||,

OA AB OB AB OA OB ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩解得||：||：||=3：

4：5。设||OA =3k ，||AB =4k ，||OB =5k ，k ＞0，则可求得tan ∠AOB =||43||AB OA =，进而tan ∠AOF =12，即2

1=a b 。以下略。 【点评】在解法2的思维的启发下，利用已知建立三元方程组，从而可以得到||OA 、

||、||中的任何两个或三个的比值关系，这个解法较为简捷，也激发了学生思维智慧的火花。

解法4（三角法）: 设∠AOF=θ，则∠AOB =2θ，由||||||2OB OA AB +=得||||2||||OA OB AB AB +=，在R t △AOB 中，||1t a n 2||OA AB θ=，||1sin 2||

OB AB θ=，即22s i n 12t a n 1=+θθ，由万能公式解得21tan =θ，即2

1=a b 。以下略。 【点评】此解法充分利用直角三角形中的三角函数，把边长的比值问题转化为三角函数的运算，使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系，从而培养思维的灵活性。

解法5（角平分线定理）:依题意可知∠AOF=∠BOF 。由三角形角平分线定理得||||||||OA OB AF FB =，再利用比例性质及||||||2OB OA AB +=得||||||2||2||||||||

OA OA OB AB AF AF FB AB +===+，即21=a b 。以下略。 【点评】此解法用到了初中数学中的知识，显示了初中、高中数学知识的连贯性，利用两条渐近线关于实轴对称的特点和三角形角平分线定理建立简洁的比例关系进行求解。

解法6（设而不求）:不妨设l 1：x a b y =，l 2：x a

b y -=，直线AB 的方程为)(

c x b a y --=，又设),(11x a b x A ，),(22x a b x B -，则x 2＞x 1,1||1OA x =+

，2221||x a b ⋅+=，所以222

||||||1AB OB OA =-=。由||||||2OB OA AB +=得1221

4x x x x +=-①。直线AB 的斜率1212()b x x a a b x x +-=-②，

联立①②得2

1=a b 。以下略。 【点评】利用点在曲线上的性质，对点的坐标进行相关设法，设而不

求和整体消元是解析法的重要思想和方法，可以简化很多繁琐的运算。 图2