清华大学流体力学教程

D r VdV * r fdV r Tn dA * * D (t ) (t ) Dt D ( t )
r 为质量体内任一流体质点到参考点的向径
（4）能量守恒方程
遵照热力学第一定律，质量体内总能量的变化率等于单位时间内 外力对质量体所做的功和由外界输入质量体内的热量之和。
D 2 1 (e 2 V )dV * f VdV Tn VdA * * ( ) ( ) ( ) D t D t t Dt qR )dV * (q * n TdA
D (t ) (t )
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D (t ) (t )



2 2 1 1 e V d ( e V ) V n dA 2 2 D t 外力做的功 外界的 传导热 通过控制面 流入的能量


2 1 (e 2 V )dV f VdV Tn VdA D D t qR )dV (q nTdA
第三章
流体动力学的基本原理
流体运动学：几何和分析的方法、流动形态的描述 不涉及运动的原因 流体动力学 考虑作用在流体上的力 流体动力学：考虑作用在流体上的力 三大守恒定律 流体的运动 流体动力学的基本方程
积分型 系统 总体性能 积分型：系统，总体性能 微分型：流体微团 流场的细节 微分型：流体微团，流场的细节
第三章
流体动力学的基本原理
2. 随体导数和局部导数
定义：控制体内某物理量的总和随时间的增长率称为局部导数。例：水箱内 定义：质量体内某物理量的总和随时间的增长率称为随体导数。 例：气球内
输运公式 随体导数 局部导数
质量体 经典定理应用方便
控制体 研究实际问题方便
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在质量体中不存在源和汇的条件下 质量体内的质量不随时间变化 在质量体中不存在源和汇的条件下，质量体内的质量不随时间变化。
D dV 0 * D ( t ) Dt
对任何坐标系成立！
（2）动量方程（运动方程）
根据牛顿定律 质量体内动量的变化率等于该瞬间作用在质量体上 根据牛顿定律，质量体内动量的变化率等于该瞬间作用在质量体上 的外力之和。
Q Q V Q QV d (QV ) d D* t D* t
令t0时刻，D* D，*
Q (QV ) d Qd Q V n dA D t D t
x A o
x
x
速度场的求解可分为三个部分： V VE VV u 2 1 0 u VE x , y, z R d d d 3 4 R D Vbn x VE n V V n 1 R n VV x, y, z d d d 3 数理方程中的Neuman问题 4 D R Turbulence Research Laboratory
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第三章
（4）能量方程
流体动力学的基本原理
(Q (e 1 2 V ))
2
D 2 1 e V d * f Vd Tn VdA 2 * * D t D t t ( ) ( ) ( ) Dt q R d * q * n TdA
Gauss公式
V n 0 流出控制体 V n 0 流入控制体
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第三章
流体动力学的基本原理
4. 质量体上的守恒方程 —— Lagrange 积分型方程
任取 质量体 D*(t), 任取一质量体 *(t) Σ*(t)
（1）质量守恒方程（连续方程）
控制面 Σ 上流入的质量。
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第三章
（2）动量方程
流体动力学的基本原理
(Q V )
D Vd * fd Tn dA * * D ( t ) D ( t ) ( t ) Dt
Vd (V n)VdA t D
第三章 3. 输运公式
流体动力学的基本原理
定理：任意时刻，质量体内物理量的随体导数等于该时刻形状、体积
相同的控制体内物理量的局部导数与通过该控制体表面的输运 量之和。
D Dt
QdV D * ( t ) t t0
Q D t dv Q V n dA
lim
随体导数定义
1 Q Q d d D*t0 D*t0 t t 0 t 求和 N 1 N 形式 lim Q x, t0 t i (t0 t )i Q x, t0 i ( )i ( 也是t的函数） t 0 t i 1 i 1 N 1 lim Q x, t0 t i (t0 t )i Q x, t0 i ( )i t 0 t i 1 D D(d ) 1 D(d ) D(d ) DQ V Vd * (Q d ) d Q Dt Dt d D Dt D* Dt Dt
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第三章
流体动力学的基本原理
§3.1 流体动力学积分型基本方程
三大守恒定律：质量体 实际流动问题：控制体
1. 质量体和控制体 （1）质量体（闭系统） 定义：流场中封闭流体面所包含的流体空间称为 流场中封闭流体面所包含的流体空间称为‘质量体’。 质量体 。 特点：质量体的边界随流体一起运动，其形状和大小随时间变化；
1 2
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y
海姆霍兹速度分解定理（ Cauchy-Helmholtz速度分解定理）
VA Vo So x
Vi Vi 0 (Sij )0 x j (ij )0 x j
流体微团的运动 = 平动 + 转动 + 变形 给定流场的散度和旋度求速度场
z
V
o
x
质点导数
流场的几何描述比较
迹线: 同一个质点，不同时间的空间曲线； 流线：不同质点，同一时间的向量线； 流体线(时线 )/面/管： 光滑流体面保持性 涡线 /涡面 /涡管： 涡通量/涡管强度 流面/流管 界面运动学条件 涡管强度守恒
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第二章 流体运动学
1
2
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§3.1 流体动力学积分型基本方程
(2) 理想流体在势力场中做绝热定常流动沿流线的能量方程
V n dA 0 流管侧面 V n | A3 0 p 2 1 e V V n dA 0 2 A1 A2

r Vd r V (V n)dA t D
r VdV r fdV r Tn dA r V (V n)dA D D t
控制体内动量 矩的变化率 = 作用在控制体内 流体上的合力矩 + 通过控制面 流入的动量矩
D Dt

D* (t )
V dV

D* (t )
fdV

* (t )
Tn d A
只适用于惯性系！
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第三章
流体动力学的基本原理
（3）动量矩方程 在惯性坐标系中，质量体对某点的动量矩随时间的变化率等于 该瞬间外界作用在质量体上所有外力对于同一点的力矩之和。
n1
A1
A3 A2 A1
n2
V n dA V n dA
A2 A1
A1 A2 A3
不可压缩流体
V n dA V n dA
A2
微元流管，A1 , A2 无限小
1 V1n A 2 V2 n A
VdV fdV Tn dA (V n)VdA D D t
控制体内动量 的变化率 = 作用在控制体内 流体上的合力 + 通过控制面 流入的动量
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第三章
流体动力学的基本原理
(Q r V ) （3）动量矩方程 D r Vd * r fd r Tn dA * * D ( t ) D ( t ) ( t ) Dt
流体空间称为‘控制体’，控制体的边界称为 ‘控制面’。
特点：控制体的几何外形和体积相对于选定的坐标系是不变的；
在控制面上可以有质量交换； 在控制面上控制体内流体与外界有力的相互作用和能量交换。 Euler 方法！ 经典的力学和热力学方程 质量体 D*(t), Σ*(t) 控制体 D, Σ
D

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控制体内总能量 的变化率
D 1 ( e 2 V )V ndA 2
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§3.1 流体动力学积分型基本方程 6. 定常流中的常用公式
(1) 定常流中沿流管截面的质量流量相等；
定常
0 t
n3
，侧面
V n3 0
第三章
流体动力学的基本原理
5. 控制体上的守恒方程 —— Euler 积分型方程
将质量体上的守恒方程用输运公式，可得到控制体上的守恒方程。
D Dt QdV D * ( t ) t t0 Q D t dv Q V n dA
（1）连续方程 (Q ) D d 0 * Dt D (t ) d V ndA D t D t dV V ndA 物理意义：控制体 D 内质量的增长率等于单位时间
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第二章 流体运动学
描述流体运动的两种方法
拉格朗日法 跟踪质点来描述它们的力学和其他物理状态 拉格朗日法：跟踪质点来描述它们的力学和其他物理状态； 欧 拉 法：在选定的时空坐标系中考察流动过程中力学和其他物理参量的分布 拉格朗日法 欧拉法 可以 通过速度互换 （通过速度场） DQ Q V Q Dt t
质量体的边界面上无质量交换； 质 体 界面 无质 交换 质量体的边界面上与外界有力的相互作用和能量交换。
D* (t )
* (t )
Lagrange 方法！
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第三章
流体动力学的基本原理
（2）控制体（开系统） 定义：相对于某 定义 相对于某一坐标系不随时间变化的由封闭曲面包含的 标系不随时间变化的由封闭曲面包含的
随体导数 = 局部导数 + 控制面上的输运量
质量体 D*(t) ,
D
控制体 ,
Q
任一物理量
n
控制体表面外法向单位向量
(证明） Turbulence Research Laboratory
§3.1 流体动力学积分型基本方程
D , d Q x t D* t D t t t0 定义