苏教版八年级一次函数知识点整理

苏教版八年级上学期一次函数知识点整理（最新）
知识点1 一次函数和正比例函数的概念
若两个变量x ，y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量），特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=
21x 等都是一次函数，y=2
1
x ，y=-x 都是正比例函数.
【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函数的实际意义来确定. （2）一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，b ≠0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x 的次数为1，一次项系数k 必须是不为零的常数，b 可为任意常数.
（3）当b=0，k ≠0时，y=b 仍是一次函数. （4）当b=0，k=0时，它不是一次函数. 探究交流
有人说：“正比例函数是一次函数，一次函数也是正比例函数，它们没什么区别．”
点拨 这种说法不完全正确．正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数，只有当b=0时，一次函数才能成为正比例函数．
知识点2 确定一次函数的关系式
根据实际问题中的条件正确地列出一次函数及正比例函数的表达式，实质是先列出一个方程，再用含x 的代数式表示y ．
知识点3 函数的图象
把一个函数的自变量x 与所对应的y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象．画函数图象一般分为三步：列表、描点、连线．
知识点4 一次函数的图象
由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b ．
由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-
k
b
，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.
知识点5 一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的性质 （1）k 的正负决定直线的倾斜方向； ①k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大； ②k ﹤O 时，y 的值随x 值的增大而减小．
（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x 轴相交的锐角度数越小（直线缓）；
（3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置； ①当b ＞0时，直线与y 轴交于正半轴上； ②当b ＜0时，直线与y 轴交于负半轴上； ③当b=0时，直线经过原点，是正比例函数．
（4）由于k ，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同；
①如图11－18（l ）所示，当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；
②如图11－18（2）所示，当k ＞0，b ﹥O 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；
③如图11－18（3）所示，当k ﹤O ，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；
④如图11－18（4）所示，当k ﹤O ，b ﹤O 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）．
（5）由于|k|决定直线与x 轴相交的锐角的大小，k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x ＋1可以看作是正比例函数y=x 向上平移一个单位得到的．
知识点6 正比例函数y=kx （k ≠0）的性质 （1）正比例函数y=kx 的图象必经过原点；
（2）当k ＞0时，图象经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大； （3）当k ＜0时，图象经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小． 知识点7 点P （x 0，y 0）与直线y=kx+b 的图象的关系
（1）如果点P （x 0，y 0）在直线y=kx+b 的图象上，那么x 0,y 0的值必满足解析式y=kx+b ；
（2）如果x 0，y 0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x 0，y 0为坐标的点P （x 0，y 0）必在函数的图象上． 例如：点P （1，2）满足直线y=x+1，即x=1时，y=2，则点P （1，2）在直线y=x+l 的图象上；点P ′（2，1）不满足解析式y=x+1，因为当x=2时，y=3，所以点P ′（2，1）不在直线y=x+l 的图象上．
知识点8 确定正比例函数及一次函数表达式的条件
（1）由于正比例函数y=kx （k ≠0）中只有一个待定系数k ，故只需一个条件（如一对x ，y 的值或一个点）就可求得k 的值．
（2）由于一次函数y=kx+b （k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立的条件确定两个关于k ，b 的方程，求得k ，b 的值，这两个条件通常是两个点或两对x ，y 的值．
知识点9 待定系数法
先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法．其中未知系数也叫待定系数．例如：函数y=kx+b 中，k ，b 就是待定系数．
知识点10 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 （1）设函数表达式为y=kx+b ；
（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）； （3）求出k 与b 的值，得到函数表达式．
例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式． 解：设一次函数的关系式为y ＝kx+b （k ≠0）， 由题意可知，
⎩⎨
⎧+-=-+=,3,21b k b k 解⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==.
35,3
4b k ∴此函数的关系式为y=3534-x ． 【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（根据题中要求的函数“设”
关系式y=kx+b ，其中k ，b 是未知的常量，且k ≠0）；第二步，代（根据题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解这个方程（或方程组），求出待定系数k ，b ）；第三步，求（把求得的k ，b 的值代回到“设”的关系式y=kx+b 中）；第四步，写（写出函数关系式）.
知识点11 一次函数与一次方程（组）、不等式的关系
思想方法小结 ： （1）函数方法．
函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．
（2）数形结合法．
数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．
知识规律小结 （1）常数k ，b 对直线y=kx+b(k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点；
当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交．
②当k ，b 异号时，即-k
b
＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b=0时，即-
k
b
=0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即-k
b
﹤0时，直线与x 轴负半轴相交．
③当b ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；
当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b=0时，图象经过第二、四象限；
当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限．
（2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0)
当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ． （3）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2⇔y 1与y 2相交；
②⎩⎨⎧=≠2
121b b k k ⇔y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）
； ③⎩⎨
⎧≠=2
121,
b b k k ⇔y 1与y 2平行；
④⎩⎨⎧==21
21,b b k k ⇔y 1与y 2重合
典 型 例 题
例1 已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7.
（1）写出y 与x 之间的函数关系式； （2）当x=4时，求y 的值； （3）当y=4时，求x 的值．
[分析] 由y-3与x 成正比例，则可设y-3=kx ，由x=2，y=7，可求出k ，则可以写出关系式． 解：（1）由于y-3与x 成正比例，所以设y-3=kx ． 把x=2，y=7代入y-3=kx 中，得 7-3＝2k ， ∴k ＝2．
∴y 与x 之间的函数关系式为y-3=2x ，即y=2x+3． （2）当x=4时，y=2×4+3=11． （3）当y ＝4时，4=2x+3，∴x=
2
1. 学生做一做 已知y 与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y 关于x 的函数关系式是 . 老师评一评 由y 与x+1成正比例，可设y 与x 的函数关系式为x=k （x+1）. 再把x=5，y=12代入，求出k 的值，即可得出y 关于x 的函数关系式． 设y 关于x 的函数关系式为y=k （x+1）.
∵当x=5时，y=12， ∴12=（5+1）k ，∴k=2． ∴y 关于x 的函数关系式为y=2x+2．
【注意】 y 与x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要误认为y=kx+1.
例2 （2003·哈尔滨）若正比例函数y=（1-2m ）x 的图象经过点A （x 1，y 1）和点B （x 2，y 2），当x 1﹤x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ﹤O
B ．m ＞0
C ．m ﹤
2
1 D ．m ＞
2
1 [分析] 本题考查正比例函数的图象和性质，因为当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，说明y 随x 的增大而减小，所以1-2m ﹤O,∴m ＞
2
1
，故正确答案为D 项． 例3（2003·陕西）已知直线y=2x+1． （1）求已知直线与y 轴交点M 的坐标；
（2）若直线y=kx+b 与已知直线关于y 轴对称，求k ，b 的值． 老师评一评 （1）令x=0，则y=2×0+1=1，∴M （0，1）． ∴直线y=2x+1与y 轴交点M 的坐标为(0，1) （2）∵直线y=kx+b 与y=2x+l 关于y 轴对称， ∴两直线上的点关于y 轴对称．
又∵直线y ＝2x+1与x 轴、y 轴的交点分别为A （-
2
1
，0），B （0，1）,
∴A （-
21，0），B （0，1）关于y 轴的对称点为A ′（-2
1，0），B ′（0，1）． ∴直线y=kx+b 必经过点A ′（-2
1
，0），B ′（0，1）．
把 A ′（-2
1
，0），B ′（0，1）代入y=kx+b 中得
⎪⎩⎪⎨
⎧
+=+=,
01,210b b k ∴⎩⎨⎧=-=.1,
2b k ∴k ＝-2，b ＝1． 小结 当两条直线关于x 轴（或y 轴）对称时，则它们图象上的点也必关于x 轴（或y 轴）对称．例如：对
于两个一次函数，若它们关于x 轴对称，求出已知一个一次函数和x 轴、y 轴的交点，再分别求出这两个点关于x 轴的对称点，利用求出的两个对称点，就可以求出另一个函数的解析式．
例4 已知y+2与x 成正比例，且x=-2时，y=0． （1）求y 与x 之间的函数关系式； （2）画出函数的图象；
（3）观察图象，当x 取何值时，y ≥0
（4）若点（m ，6）在该函数的图象上，求m 的值； （5）设点P 在y 轴负半轴上，（2）中的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，且S △ABP =4，求P 点的坐标． ［分析］ 由已知y+2与x 成正比例，可设y+2=kx ，把x=-2，y=0代入，可求出k ，这样即可得到y 与x 之间的函数关系式，再根据函数图象及其性质进行分析，点（m ，6）在该函数的图象上，把x=m ，y=6代入即可求出m 的值．
解：（1）∵y+2与x 成正比例， ∴设y+2=kx （k 是常数，且k ≠0） ∵当x=-2时，y=0． ∴0+2＝k ·（-2），∴k ＝-1． ∴函数关系式为x+2=-x ， 即y=-x-2． （2）列表；
x 0 -2 y
-2
（3）由函数图象可知，当x ≤-2时，y ≥0． ∴当x ≤-2时，y ≥0．
(4)∵点（m ，6）在该函数的图象上， ∴6=-m-2, ∴m ＝-8．
（5）函数y=-x-2分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点， ∴A （-2，0），B （0，-2）． ∵S △ABP =
2
1
·|AP|·|OA|=4， ∴|BP|=
42
8
||8==OA . ∴点P 与点B 的距离为4． 又∵B 点坐标为(0，-2),且P 在y 轴负半轴上， ∴P 点坐标为(0，-6).
例5 已知一次函数y=（3-k ）x-2k 2
+18.
（1）k 为何值时，它的图象经过原点（2）k 为何值时，它的图象经过点（0，-2）
（3）k 为何值时，它的图象与y 轴的交点在x 轴的上方
（4）k 为何值时，它的图象平行于直线y=-x （5）k 为何值时，y 随x 的增大而减小
[分析] 函数图象经过某点，说明该点坐标适合方程；图象与y 轴的交点在y 轴上方，说明常数项b ＞O ；两函数图象平行，说明一次项系数相等；y 随x 的增大而减小，说明一次项系数小于0．
解：（1）图象经过原点，则它是正比例函数．
∴⎩⎨⎧≠-=+-,
03,01822k k ∴k ＝-2． ∴当k=-3时，它的图象经过原点． （2）该一次函数的图象经过点（0，-2）. ∴-2=-2k 2
+18，且3-k ≠0， ∴k=±10
∴当k=±10时，它的图象经过点(0，-2)
（3）∵图象与y 轴的交点在x 轴上方，即b ＞0．
∴-2k 2
+18＞0， ∴-3＜k ＜3，
∴当-3﹤k ﹤3时，它的图象与y 轴的交点在x 轴的上方． （4）函数图象平行于直线y=-x ， ∴3-k=-1， ∴k ＝4．
∴当k ＝4时，它的图象平行于直线x=-x ． （5）∵随x 的增大而减小，
∴3-k ﹤O ． ∴k ＞3． ∴当k ＞3时，y 随x 的增大而减小．
例6 已知直线y=kx+b 经过点（25，0），且与坐标轴围成的三角形的面积为4
25，求此直线的解析式. 错解：∵直线经过点（25，0），∴0=2
5
k+b,①
设直线y=kx+b 与x 轴、y 轴的交点坐标分别为A （-k
b
，0），B （0，b ），
又S △ABO =425,∴S △ABO =21|OA|·|OB|=21·（-k b ）·b=425
.
即4
25)(21=⋅-⋅b k b ，② 由①得b=-2
5
k ，代入②中得k=-2，∴b=5.
∴所求直线的解析式为y=-2x+5．
[分析] 上述解法出现了漏解的情况，由于解题时忽略了|OA|=|-k
b
|，|OB|=|b|中的绝对值符号，因此，也就漏掉了一个解析式．
正解：∵直线经过点（
25，0），∴0=2
5k+b ，① 设直线y=kx+b 与x 轴、y 轴的交点坐标分别为A （-k
b
，0），B （0，b ）， ∴|OA|=|-
k b |=|k b
|，|OB|=|b|. 又∵S △AOB =425，∴S △AOB =21|OA|·|OB|=21·|k b |·|b|=4
25
，
即
42521=⋅⋅b k b ，② 由①得b=-2
5k ，代入②中得|k|=2， ∴k 1＝2，k 2＝-2，∴b 1＝-5，b 2＝5．
∴所求直线的解析式为y=2x-5或y=-2x+5．
例7 （2004·沈阳）某市的A 县和B 县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C 县和D 县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A 县和B 县．已知C ，D 两县运化肥到A ，B 两县的运费（元／吨）如下表所示．
（1）设C 县运到A 县的化肥为x 吨，求总运费W （元）与x （吨）的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案．
［分析］ 利用表格来分析C ，D 两县运到A ，B 两县的化肥情况如下表．则总运费W （元）与x （吨）的函数关系式为：
W=35x+40（90-x ）+30（100-x ）+45[60-（100-x ）]=10x+4800．
自变量x 的取值范围是40≤x ≤90． 解：（1）由C 县运往A 县的化肥为x 吨，则C 县运往B 县的化肥为（100-x ）吨．
D 县运往A 县的化肥为（90-x ）吨，D 县运往B 县的化肥为（x-40）吨．
由题意可知
W ＝35x+40（90-x ）+30（100-x ）+45（x-40）＝10x+4800． 自变量x 的取值范围为40≤x ≤90．
∴总运费W （元）与x （吨）之间的函数关系式为 w ＝1Ox+480O （40≤x ≤9O ）．
（2）∵10＞0， ∴W 随x 的增大而增大． ∴当x=40时， W 最小值=10×40+4800=5200（元）． 运费最低时，x=40，90-x=50（吨），x-40=0（吨）．
∴当总运费最低时，运送方案是：C 县的100吨化肥40吨运往A 县，60吨运往B 县，D 县的50吨化肥全部运往A 县．
例8 （2004·黑龙江）图11－30表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y （千米）随时间x （分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题．
（1）当比赛开始多少分时，两人第一次相遇 （2）这次比赛全程是多少千米
（3）当比赛开始多少分时，两人第二次相遇
［分析］ 本题主要考查读图能力和运用函数图象解决实际问题的能力．解决本题的关键是写出甲、乙两人在行驶中，路程y （千米）随时间x （分）变化的函数关系式，其中：乙的函数图象为正比例函数，而甲的函数图象则是三段线段，第一段是正比例函数，第二段和第三段是一次函数，需分别求出．
解：（1）当15≤x ＜33时，设y AB =k 1x+b 1，把（15，5）和（33，7）代入， 解得k 1=
91,b 1=310, ∴y AB =91x+3
10. 当y=6时，有6=91x+3
10
， ∴x=24。

∴比赛开始24分时，两人第一次相遇． （2）设y OD =mx,把（4，6）代入，得m=4
1， 当X=48时，y OD =
4
1
×48=12（千米） ∴这次比赛全程是12千米． （3）当33≤x ≤43时，设y BC =k 2x+b 2，把（33，7）和（43，12）代入， 解得k 2=
21，b 2=-219.∴y BC =21x-2
19.
解方程组得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=-=.41,2
1921x y x y 得⎪⎩⎪⎨⎧==.219,38y x ∴x=38.
∴当比赛开始38分时，两人第二次相遇．
例9 （2004·济南）如图11－31所示，已知直线y=x+3的图象与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1的两部分，求直线l 的解析式．
[分析] 设直线l 的解析式为y=kx(k ≠0),因为l 分△AOB 面积比为2：1，故分两种情况：①S △AOC ：S △BOC =2：1；②S △AOC ：S △BOC =1：2．求出C 点坐标，就可以求出直
线l 的解析式．
解：∵直线y=x+3的图象与x,y 轴交于A ，B 两点． ∴A 点坐标为（-3，0）,B 点坐标为(0,3).
∴|OA|＝3，|OB|=3． ∴S △AOB =
21|OA|·|OB|=21×3×3=2
9. 设直线l 的解析式为y=kx （k ≠0）.
∵直线l 把△AOB 的面积分为2：1，直线l 与线段AB 交于点C ∴分两种情况来讨论：
①当S △AOC :S △BOC =2:1时，设C 点坐标为（x 1，y 1）.
又∵S △AOB =S △AOC +S △BOC =
29， ∴S △AOB =3
229⨯=3. 即S △AOC =21·|OA|·|y 1|=2
1
×3×|y 1|=3.
∴y 1=±2，由图示可知取y 1=2．
又∵点C 在直线AB 上， ∴2=x 1+3，∴x 1=-1. ∴C 点坐标为（-1，2）．
把C 点坐标（-1，2）代人y=kx 中，得：2=-1·k ，∴k ＝-2． ∴直线l 的解析式为y=-2x ．
②当S △AOC :S △BOC =1:2时，设C 点坐标为(x 2,y 2)．
又∵S △AOC =S △AOC +S △BOC =
29, ∴S △AOB =,2
33129=⨯ 即S △AOC =21·|OA|·|y 2|=21·3·|y 2|=2
3
. ∴y 2=±1，由图示可知取y 2=1.
又∵点C 在直线AB 上， ∴1=x 2+3，∴x 2=-2.
把C 点坐标（-2，1）代入y=kx 中，得：1=-2k ，∴k=-y 2. ∴直线l 的解析式为y=-
2
1x.
∴直线l 的解析式为y=-2x 或y=-
2
1x. 小结 本题是一道综合一次函数与三角形相关知识的综合题，特别注意求正比例函数的解析式时，点C 的坐标至关重要，要利用分类讨论的数学思想，全面的考虑问题，避免漏掉解的情况．。