6习题课(定积分的应用)

一. 基本要求
1. 定积分的几何应用 (1) 因为平面图形都是由曲边梯形或曲边扇形组成，所以定积分能 因为平面图形都是由曲边梯形或曲边扇形组成， 解决任意（边界是已知函数的）平面图形求面积的问题 的问题。 解决任意（边界是已知函数的）平面图形求面积的问题。 (2) 由于定积分是一维的积分，所以只能解决截面面积已知的立体 由于定积分是一维的积分，所以只能解决截面面积已知的立体 问题。 求体积问题 求体积问题。 旋转体是其中一种，所以各种旋转体的体积问题基本可以解决。 旋转体是其中一种，所以各种旋转体的体积问题基本可以解决。 一般立体的求体积问题以后用二重积分或三重积分可以解决。 一般立体的求体积问题以后用二重积分或三重积分可以解决。 以后用二重积分或三重积分可以解决 (3) 利用弧微分（在局部，用切线长 ds 近似曲线长 ∆s），可以解 利用弧微分（在局部， ），可以解 ）， 决任意平面曲线（曲线函数已知）求弧长的问题。 任意平面曲线（曲线函数已知）求弧长的问题。 的问题 一般空间曲线的求弧长问题以后用第一型曲线积分可以解决。 一般空间曲线的求弧长问题以后用第一型曲线积分可以解决。 以后用第一型曲线积分可以解决 (4) 通过弧微分，求旋转体的侧面积问题也可以用定积分解决。 通过弧微分， 旋转体的侧面积问题也可以用定积分解决 问题也可以用定积分解决。 以后用第一型曲面积分可以解决 求一般曲面的面积问题以后用第一型曲面积分可以解决。 求一般曲面的面积问题以后用第一型曲面积分可以解决。
xy = a
S2
1
1 2
V = 2π ∫ xf ( x )d x. .
a
b
.
S1
a 2a
= 2π ∫
x
2a
a
x⋅
0
a 2 d x = 2π a . x
分块儿求, 怎么分？ 方法 2：分块儿求 怎么分？
显然柱壳法简便。 显然柱壳法简便。
1 a 2 1 2 1 2 1 π ∫1 ( ) d y − π a 2 ⋅ = 2π a 2 . V = V1 + V 2 = π ( 2a ) ⋅ − π a ⋅ + 2 2 2 2 y
dt + n ∫ π
d( 1 − sin t ) 1 − sin t
d t = 4n .
2
.
(4) 求旋转体侧面积 A . 轴旋转, 曲线 y= f (x) 绕 x 轴旋转
a≤ x≤b
侧面积 A =
∫
b
a
2 π f ( x ) 1 + [ f ′( x )] 2 dx
x = ϕ (t ) 曲线 绕 x 轴旋转 , y = ψ (t )
例 1. 求曲线 y = x 2 + 1，直线 x + y = 3和 x轴、 y轴所围
的区域的面积。 成 的区域的面积。
先画图. 解： 先画图
y 3 2 1
需分块儿！ 需分块儿！
联立，解交点： 联立，解交点：
y = x2 + 1 x + y = 3
S1 S2
1 3 x
1
⇒
x = 1 y = 2
26 13 − 16 ∴ l = 2OA + AB = + 27
)
)
2π . .. 2 .
例 6 求曲线 y = 解：
∫
x n 0
n sin θ d θ 的全长 .( 0 < x < n π , n 为正整数） 为正整数）
dy = dx
l=∫
b a
x sin n
1 + f ′ ( x )dx =
2
.
S = S ∆ + 3 S弓
1 2π = ⋅ 2 ⋅ 3 + 3( − 3 ) = 2(π − 3 ). 2 3
例 3 求由星形线 x = a cos 3 θ , y = a sin 3 θ 所围成 的平面
图形的面积。 图形的面积。
y a
解： 由对称性
S = 4 ∫ ydx
a 0
x = a cos 3 θ， = a sin 3 θ y 作变量代换 :
x = a, x = b, y = 0
极坐标系
x =ϕ (y)
y = c, y = d, x = 0
ρ = ρ (θ )
θ =α , θ =β
d
图形
a
S
c
b
S
β
α
S
ρ
面积公式
S = ∫ | f ( x) | dx
a
b
S = ∫ | ϕ ( y) | dy
c
d
.
.
1 β 2 S = ∫ ρ (θ )dθ . 2 α
–a 0 a x
S = 4 ∫ π a sin 3 td( acos 3 t )
2
0
–a
= 12a 2 ∫ sin 4 tcos 2 tdt
= 12a 2 ∫ (sin 4 t − sin 6 t )dt
.
1⋅ 3 π 1⋅ 3 ⋅ 5 π 3 2 = 12a ⋅ − ⋅ = π a . 2⋅4 2 2⋅4⋅6 2 8
计算定积分 U =
∫
b
a
f ( x )dx .
(3) 计算中的关键和难点： 计算中的关键和难点： 的表示式与选择的坐标系有关。 找到 f (x) . f (x)的表示式与选择的坐标系有关。 的表示式与选择的坐标系有关
重点、难点与例子. 二. 重点、难点与例子
1. 几何应用方面
(1) 求面积
直 角 坐 标 系 边界 函数 y=f(x)
.
= 4 π 2 ab .
2. ห้องสมุดไป่ตู้理应用方面
.
(1) 求平行力 F ( x ) 作功： 作功：
平行力：指大小变而方向不变的力。 平行力：指大小变而方向不变的力。 一般变力（大小、方向都变） 一般变力（大小、方向都变）的作功问题用第二型 曲线积分解决。 曲线积分解决。
F(x)
∫
nπ
0
x 1 + sin dx n
π
令
x =t n
∫
π
0
n 1 + sin t d t = n ∫0
cos t 1 − sin t d t − n ∫π
π
| cos t | 1 − sin t
dt
= n∫
π 2 0
cos t 1 − sin t
π
dt
2
= −n∫
π 2 0
d( 1 − sin t ) 1 − sin t
(a < b )
(α < β )
(α < β )
.
例 5 求由曲线 y 3 = x 2 及 y =
y C B
y =x
3 2
2 − x 2 所围成的图形的周长 l .
轴对称. 解： 先作图 . 图形关于 y 轴对称
A
) + AB ) l = 2OA
–1
0
1
x
y3 = x2 解交点： 解交点： y = 2 − x2
(3) 求弧长
y = f (x)
y
ψ(t)
x = ϕ (t ) y = ψ (t )
ρ = ρ (θ )
β
0
a
b
x
0 ϕ (α )
ϕ (β )
ϕ(t)
α
ρ
.
l=∫
b
a
1 + f ′ ( x )dx l = ∫α
2
β
φ ′ ( t ) + ψ ′ ( t )dt
2 2
l =∫
β
α
ρ 2 (θ ) + ρ ′ 2 (θ )dθ
2
π 2 0 π 2 0
(2) 求体积 1o 已知平行截面面积为 已知平行截面面积为A(x)的立体体积 的立体体积
V =
∫
b
a
A( x )dx
A(x)
a
x
b
x
2o 绕 x 轴旋转的旋转体体积
曲边梯形： 曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x 轴 ，
a
f(x)
V = π ∫ f ( x )dx
如下例： 如下例：
0
a
b
x
例4：用柱壳法求旋转体体积. 柱壳法求旋转体体积. 求旋转体体积 求曲线 xy = a ( a > 0 )与直线 x = a , x = 2 a 及 y = 0所
的体积。 围成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体 的体积。
y
解： 方法 1：绕 y 轴 . 由柱壳法的公式： 由柱壳法的公式：
2
0
1 ∴ S = S 1 + S 2 = ∫ ( x + 1)dx + ⋅ 2 ⋅ 2 0 2
.
10 x . = + x + 2 = 3 3 0
3
1
例 2 求三条圆曲线 x 2 + y 2 = 4， x − 2 ) 2 + y 2 = 4, ( x − 1) 2 (
面积。 + ( y − 3 ) 2 = 4 所围成 的圆内公共部分图形的 面积。
π 2 π 3
2π − 3. 3
S = S ∆ + 3 S弓
.
1 2π = ⋅ 2 ⋅ 3 + 3( − 3 ) = 2(π − 3 ). 2 3
还有别的方法吗？ 还有别的方法吗？
例 2 求三条圆曲线 x 2 + y 2 = 4， x − 2 ) 2 + y 2 = 4, ( x − 1) 2 (
面积。 + ( y − 3 ) 2 = 4 所围成 的圆内公共部分图形的 面积。
y
解： 方法 II.
S = S ∆ + 3 S弓
3
主要是求 S弓 .
用初等方法求图示部分： 用初等方法求图示部分：
π 3
0
1
2
x
S弓 = S 扇 − S ∆
1 2 π 1 = ⋅ 2 ⋅ − ⋅ 2⋅ 3 2 3 2 2π = − 3. 3
得A(1,1), B(–1,1)
OA =
)
记圆的周长为 l圆 , 1 1 AB = ⋅ l圆 = ⋅ 2π ⋅ 2 = 4 4
)
2π 2
∫
1
0
1 + x ′ ( y )dy = ∫0
2
1
9 4 1 9 9 1 + ydy = ∫ 1 + y d(1 + y ) 4 9 0 4 4
13 13 − 8 . = 27
2 a
b
..x
b
x
3o 绕 y 轴旋转的旋转体体积
y
d
V = π ∫ g ( y )dy
2 c
d
.
c
0
x=g(y)
x
4o 用柱壳法求绕 y 轴旋转的旋转体体积
y
..
f (x)
曲边梯形 y= f (x), x = a, x = b,
y = 0 绕 y 轴.
V = 2π ∫ xf ( x )d x
a
b
2. 元素法
(1) 怎样的量 U 可以用定积分计算？ 可以用定积分计算？ 1o 量 U 与给定区间 b]有关； 与给定区间[a, 有关 有关； 2o 量 U 对区间 b]具有可加性 对区间[a, 具有可加性 具有可加性. (2) 计算步骤： 计算步骤： 1o 根据实际问题，选取坐标系、积分变量和积分区间[a, b] ； 根据实际问题，选取坐标系、积分变量和积分区间 2o ∀ x ∈ [a, b],求小区间 x+dx]上的部分量 dU ; 求小区间[x, 求小区间 上的部分量 称 dU= f (x)dx为元素 . 为元素 3o
α≤t≤β
侧面积 A =
∫α
β
2 π ψ ( t ) ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) dt
轴旋转有类似的结果。 曲线绕 y 轴旋转有类似的结果。
. .
例 7 求曲线 x 2 + ( y − b ) 2 = a 2 ( a < b )绕 x 轴旋转而成的圆环 面的面积 A . 解：
第六部分 定积分的应用
第六部分
基本要求： 一. 基本要求：
定积分的应用
1.深刻理解定积分的基本思想，熟练运用公式计算平面图形的面积、 深刻理解定积分的基本思想，熟练运用公式计算平面图形的面积、 深刻理解定积分的基本思想 平行截面面积已知的立体体积、旋转体体积和侧面积、曲线弧长等。 平行截面面积已知的立体体积、旋转体体积和侧面积、曲线弧长等。 2.初步掌握运用“元素法”解决物理、力学及应用中的某些问题。 初步掌握运用“元素法”解决物理、力学及应用中的某些问题。 初步掌握运用 重点、难点与例子（ 二. 重点、难点与例子（共11例）. 例 1. 几何应用方面： 几何应用方面： (1) 求面积 (2) 求体积 (3) 求弧长 (4) 求侧面积 (2) 求压力 (2) 实际问题 2. 物理应用方面： (1) 求平行力作功 物理应用方面： 3. 定积分其他应用 (1)求函数平均值 定积分其他应用: 求函数平均值 课堂练习(共 题 三. 课堂练习 共7题) 综合题(共 题 四. 综合题 共3题) 综合题解答
y
曲线用极坐标： 曲线用极坐标：
b
x = a cos t y = b + a sin t
x
0 ≤ t ≤ 2π
b–a 0
由已知公式： 由已知公式：
侧面积 A =
∫α
β
2 π ψ ( t ) ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) dt
=
∫
2π
0
2 π (b + a sin t ) a 2 sin 2 t + a 2 cos 2 t dt
y
解： 方法 I.
先画图. 先画图 S = S ∆ + 3 S弓 主要是求 S弓 .
3
π 3
用极坐标： 用极坐标： ( x − 2 ) 2 + y 2 = 4 即 r = 4 cos θ .
1 2 x
0
1 2 S弓 = ∫ π (4 cosθ ) 2 dθ 2 3
π
r = 4 cosθ θ
.
= 4 ∫ (1 + cos2θ )dθ =