模糊概率论
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月 日
未镀帮穗
勿垒奠丞茗Ｍ“融
—１Ｌ—ｊＬ．
月【『
舌
１９６５年，美国计算机与控制论专家Ｌ．Ａ．Ｚａｄｅｈ教授提出了Ｆｕｚｚｙ 集的概念［１】，创立了研究模糊性或不确定性问题的理论方法，经过４０ 年的研究和发展，成为一个充满活力的数学分支。 国内外学者在模糊理论与技术领域作了大量卓有成效的工作，使 其得到了迅猛的发展。这其中的许多探索是具有突破性的。模糊理论 与技术的一个突出的优点是能较好的描述与仿效人的思维方式，总结 和反映人的体会与经验，对复杂事物和系统进行模糊度量、模糊识别、 模糊推理、模糊控制与模糊决策等。尤其是模糊理论与人工智能在神 经网络的专家系统等方面进行相互结合的研究已涉及到计算机、多媒 体、自动控制以及信息采集与处理［２’等一系列高新技术的开发与利 用，并有力地推动了应用科学、决策科学、管理科学与社会科学的进 步。随着学术理论体系的不断完善，新成果正在迅速的转变成生产力， 同时促进了社会物质文明水平的不断提高。 在模糊理论和模糊技术迅速崛起的今天，对于像概率论这样一个 有着广泛应用的经典学科，在与模糊数学的结合方面虽然已有大量的 研究，取得了喜人成果，但仍有许多的工作等待深入，比如在模糊数 学中建立起随机理论的严格的数学体系。事实上，概率论与模糊理论 的结合也是复杂的科技活动所需要的。 在现实世界中，有些事件往往既包含随机不确定性，又包含模糊 不确定性。例如“今天会下雨的可能性很大”，就既包含随机不确定
Ｅｔ
指导教师签名： 年
月 日
西北大学学位论文独创性声明
本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 年
ｆｏｒｗａｒｄ
ｂｙ Ｚａｄｅｈ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｔｈｅ ｂｒｉｄｇｅ ｆｏｒ ｔｈｅ
ｔｏ
ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ
ｔｈｅｏｒｅｍｓ
ｆｒｏｍ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｓｐａｃｅ
ｆｕｚｚｙ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｓｐａｃｅ ａｎｄ ｓｅｖｅｒａｌ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ
ｃｈａｎｇｅａｂｌｅ
西北大学数学系硕士研究生论文
本文的研究内容
本文的研究目的是建立随机现象中特定模糊事件的概率空间，其 内容安排如下： ・第一章介绍Ｚａｄｅｈ所提出的模糊事件的概率，并在此基础上提出 了本文的研究目的。 ●第二章明确本文的研究对象。从现实背景和直观含义出发，给出 特定模糊事件的数学定义。 ・第三章从直观含义和数学定义两个层面上研究模糊事件之间的 运算关系。 ・第四章从直观含义和数学定义两个层面上定义模糊事件域和模 糊样本空问。 ●第五章基于模糊测度，对模糊事件的概率进行讨论，进一步建立 模糊事件的概率空间。 ・第六章研究从经典概率空间到模糊概率空间的转换。 ・第七章对全文的总结，指出遗留问题以及对今后研究工作的展
ｕｓ
ｒｅａｌｉｚｅ ｔｈａｔ ｄｕｅ ｔｏ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｐｕｒｐｏｓｅｓ ａｎｄ ｒｅａｌｉｚｉｎｇ
ａｎｇｌｅｓ ｒａｎｄｏｍ
ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｒｓ，ｅｖｅｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓａｍｅ
ｒａｎｄｏｍ
ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ，ｔｈｅｒｅ ａｒｅ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ
ｒａｎｄｏｍ
ａ
ｍｅｍｂｅｒｓｈｉｐ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ ｂａｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｂｙ Ｚａｄｅｈ ｉｓ
ａ
ｉｎａｃｃｕｒａｔｅ ｂｅｃａｕｓｅ
ｆｕｚｚｙ ｓｔａｔｉｓｔｉｃ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ
ｉｓ ａｆｆｅｃｔｅｄ ｂｙ ｍｅ ｐｓｙｃｈｏｌｏｇｉｃａｌ ｎｅｅｄｓ ｍｏｒｅ ｅｍｅｎｄａｔｉｏｎ ｔｈａｎ
望。
西北大学数学系硕士研究生论文
第一章模糊事件概率空间的提出
第一节Ｚａｄｅｈ提出的模糊事件的概率
模糊事件的概率早在１９６８年就被Ｚａｄｅｈ提出ｐ】。 定义１．１．１（Ｚａｄｅｈ，１９６８）设（ｎ，ｓ，Ｐ）是概率测度空间，如果
ｊ∈善（３）＝｛ｊ ｅ，∞１ｊａ∈ｓ，ａ∈［ｏ，ｔ廿
则称Ａ是Ｑ上的Ｆｕｚｚｙ事件（ｆｕｚＺｙ ｅｖｅｎｔ）。 定义１．１．２（Ｚａｄｅｈ，１９６８）设ｊ是概率测度空间∞，３，Ｐ）上的一个 Ｆｕｚｚｙ事件，
馨．７９６５５Ｓ
分类号：—— 密级：——
单位代码： 学 号：
！Ｑ鲤２一
２ＱＱ２２３ＱＱ
西北大学
硕士学位论文
指导教师
学科（专业） 答辩日期
垂簦基
专业技术职务
整撞
廛用熬堂
二零零五年六月
麓鼢蠢
勿奎支公布“
摘要
模糊数学产生以来，模糊的思想和方法越来越受到重视，模糊数学与概率论
的结合——模糊事件的概率——成为人们关注的热点之一。本文在对Ｚａｄｅｈ所提
模糊样本空间；
模糊事件域
西北大学数学系硕士研究生论文
Ａｂ ｓｔｒａｃｔ
Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｅｖｅｎｔ ｈａｓ ａｌｗａｙｓ ｂｅｅｎ
ａ
ｈｏｔｓｐｏｔ ｉｎ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｆｉｅｌｄｓ．Ｉｎ ｔｈｉｓ
ｔｈｅｍｅ ａｆｔｅｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｐｕｔ ｆｏｒｗａｒｄ ｂｙ Ｚａｄｅｈ，ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒ ａｒｇｕｅｓ ｔｈｅ ｎｅｃｅｓｓｉｔｙ ｔｏ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｉｎｖｏｌｖｅｄ ｆｕｚｚｙ ｅｖｅｎｔｓ：ｔｈｅ ｃｏｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ
Ｏｃｃｕｒ
ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｅｖｅｎｔｓ；ｆｕｚｚｙ ｓａｍｐｌｅ ｓｐａｃｅ；ｆｉｅｌｄ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｅｖｅｎｔｓ ｆｕｚｚｙ
ｓｅｔ
ｃｕｔ ｓｅｔ ｏｆａ
西北大学数学系硕士研究生论文
西北大学学位论文知识产权声明书
本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名： 年 月
ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｔｈｅｍｅ ｉｓ ｔｏ ｅｓｔａｂｌｉｓｈ
ａ
ｂｅｔｗｅｅｎ ｉｎｖｏｌｖｅｄ
ｆｕｚｚｙ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｓｐａｃｅ．
Ａｔ ｆｉｒｓｔ，ｔｈｅ ｍｏｓｔ
ｉｍｐｏｒｔａｎｔ
ｔａｓｋ ｉｓ ｔｏ ａｓｃｅｒｔａｉｎ ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ
ｏｂｊｅｃｔ
ｅｖｅｎｔｓ．Ａｓ
ａ
ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｈｕｍａｎ’ｓ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ，ａ ｌａｒｇｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ
ｅｖｅｎｔｓ ｉｎｖｏｌｖｅｓ ｉｎ ｆｕｚｚｙ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ．
Ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｔａｓｋ ｉｓ ｔｏ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｉｎｖｏｌｖｅｄ ｆｕｚｚｙ ｅｖｅｎｔｓ Ｉｎ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｗａｙ，ｔｏ ｓｔｕｄｙ ｆｒｏｍ
ａ
ｔｗｏ
ｎｏｔｉｏｎｓ：ｆｕｚｚｙ
ｓａｍｐｌｅ
ｉｎ ｔｈｅ
ｎｏｒｍａｌ
ｍｅａｓｕｒｅ，ｉｓ ｐｕｔ
ｆｏｒｗａｒｄ
ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｓｔｕｄｙ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ａ ｆｕｚｚｙ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｓｐａｃｅ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ． Ａ ｎａｔｕｒａｌ ｔｈｉｎｇ ｃｏｍｅｓ ｉｎｔｏ
出的模糊事件的概率进行介绍之后，分析并说明了对相关模糊事件概率研究的必
要性；进一步提出了本文的写作目的——建立模糊事件的清晰概率测度空间。 在本文进行其他研究之前，最为首要且必要的工作就是彻底明确本文的研究
对象。对于模糊事件的定义介绍，本文从三个层面进行：现实背景、直观涵义、 严格的数学定义。在给出模糊事件定义之后，一项最重要的工作就是研究模糊事
ｐｒｏｃｅｓｓ ｉｎ ｈｕｍａｎ’ｓ ｂｒａｉｎ．Ａ ｍｅｍｂｅｒｓｈｉｐ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ．Ａｎｄ ｔｈｅ
ｅｓｓｅｎｃｅ
ｏｆ ｒａｎｄｏｍ ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓ ｔｈｅ ｎｅｃｅｓｓｉｔｙ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｅｖｅｎｔｓ．Ｔｈｅ ｍａｉｎ ｐｕｒｐｏｓｅ ｏｆ ｔｈｉｓ
ｏｎｅ’ｓ
ｔｈｏｕｇｈｔ ｉｓ ｔｈｅ
ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ
ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｓｐａｃｅｓ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｔｈｅｍｅ ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒ ａｃｈｉｅｖｅｓ ｔｈｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｅｖｅｎｔｓ ｐｕｔ
西北大学数学系硕士研究生论文
Hale Waihona Puke 性，又包含模糊不确定性：事件“今天会下雨”是清晰的，即这一事 件发生与否只有“是”和“否”两种情况，但概率“可能性很大”却 是模糊的：又例如“张三明天买到高质量遥感影像的概率是０．８”：显 然在这个例子中，事件“明天买到高质量的遥感影像”是模糊的，但 概率是确定的；再如“张三明天买到高质量遥感影像的可能性很大”： 事件和概率都是模糊的。 一般的，可从三个不同方面来研究模糊概率： １．事件是模糊的，概率是清晰的，即“模糊事件的概率”问题。 ２．事件是清晰的，概率是模糊的，即“事件的模糊概率”问题ｍ】。 ３．事件是模糊的，概率也是模糊的，即“模糊事件的模糊概率”问 题。 本文仅就“模糊事件的概率”问题进行讨论，在空间信息处理中 主要用到的也是第一个方面的模糊概率。
研究模糊事件间关系直接导致模糊样本空间与模糊事件域的研究。基于要对
模糊事件运算封闭的目的，本文从数学角度研究了集合的模糊划分和模糊集合的 Ｏ－．可加类，并在此基础上给出了模糊样本空间与模糊事件域的定义。由于概率
是满足具有性质厂（Ｑ）＝ｌ的测度，于是本文先进行了模糊集测度的介绍，在此基
础上给出了模糊事件概率的定义及性质。进而完成了本文研究目的——模糊概率
ａ
ａｎｄ ｉｔ ｏｆｆｕｚｚｙ
Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｆｉｎｄ
ｆｉｅｌｄ ｏｆ ｅｖｅｎｔｓ ｔｈａｔ ｉｓ ｃｌｏｓｅｄ ｔｏ ｔｌｌｅ ａｂｏｖｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ．ｂａｓｅｄ
ｏｎ
ｔｈｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｍｅａｓｕｒｅ，ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒ ｐｒｏｐｏｓｅ ｓｐａｃｅ，ｆｉｅｌｄ ｏｆ ｅｖｅｎｔｓ．Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ，ａｓ
ｔｗｏ
ｓｉｄｅｓ：ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ
ａ
ｂｅｔｗｅｅｎ ｆｕｚｚｙ
ｏｎｅ
ｅｖｅｎｔｓ，ｏｐｅｒａｔｉｏｎ
ｂｅｔｗｅｅｎ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ．Ａｎｄ ａｔ ｌａｓｔ，ｔｈｅｒｅ ｉｓ
ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｔｈｅ
ｓｅｔｓ．
ｔｏ ｏｎｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ
ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ
ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｏｆｆｕｚｚｙ ｅｖｅｎｔｓ
ｏｆ ｔｈｉｓ ｔｈｅｍｅ．
Ｄｕｒｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｓｔｕｄｙ ｉｎ ｆｕｚｚｙ ｅｖｅｎｔｓ，ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｄｅｆｍｉｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｔｈｒｅｅ
ａｎｇｌｅｓ：ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｉｎ ｒｅａｌ ｌｉｆｅ，ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｍｅａｎｉｎｓ ａｎｄ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｉｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ． Ｅｘａｍｐｌｅｓ ｉｎ ｒｅａｌ ｌｉｆｅ ｍａｋｅ
空间的建立。 一个自然的问题就是它和经典概率空间的联系，于是有了按下来的研究：经
典概率空间到模糊概率空间的转换，本文证明了Ｚａｄｅｈ对模糊事件概率的定义事
实上就构成了从经典概率空间到模糊事件的概率空间的转换，在这个证明过程中
引出了一个重要的概念——Ｆｕｚｚｙ集合的可变截集，并得出了几个重要的性质。
关键词模糊事件的发生程度； 模糊集合的可变截集
件间的关系，也就是模糊集合间的运算。本文从直观含义——事件的运算，和数 学角度——集合的运算两方面进行研究，基于概念——模糊事件的出现程度，从
直观上共给出了五种运算形式：并、交、和、联、差；以及三种关系：两个模糊 事件互补，模糊事件类没有公共点，模糊事件类不交。最后在证明了模糊事件的 运算与模糊集合的运算之间的一一对应关系之后，给出了相应的数学表示。
未镀帮穗
勿垒奠丞茗Ｍ“融
—１Ｌ—ｊＬ．
月【『
舌
１９６５年，美国计算机与控制论专家Ｌ．Ａ．Ｚａｄｅｈ教授提出了Ｆｕｚｚｙ 集的概念［１】，创立了研究模糊性或不确定性问题的理论方法，经过４０ 年的研究和发展，成为一个充满活力的数学分支。 国内外学者在模糊理论与技术领域作了大量卓有成效的工作，使 其得到了迅猛的发展。这其中的许多探索是具有突破性的。模糊理论 与技术的一个突出的优点是能较好的描述与仿效人的思维方式，总结 和反映人的体会与经验，对复杂事物和系统进行模糊度量、模糊识别、 模糊推理、模糊控制与模糊决策等。尤其是模糊理论与人工智能在神 经网络的专家系统等方面进行相互结合的研究已涉及到计算机、多媒 体、自动控制以及信息采集与处理［２’等一系列高新技术的开发与利 用，并有力地推动了应用科学、决策科学、管理科学与社会科学的进 步。随着学术理论体系的不断完善，新成果正在迅速的转变成生产力， 同时促进了社会物质文明水平的不断提高。 在模糊理论和模糊技术迅速崛起的今天，对于像概率论这样一个 有着广泛应用的经典学科，在与模糊数学的结合方面虽然已有大量的 研究，取得了喜人成果，但仍有许多的工作等待深入，比如在模糊数 学中建立起随机理论的严格的数学体系。事实上，概率论与模糊理论 的结合也是复杂的科技活动所需要的。 在现实世界中，有些事件往往既包含随机不确定性，又包含模糊 不确定性。例如“今天会下雨的可能性很大”，就既包含随机不确定
Ｅｔ
指导教师签名： 年
月 日
西北大学学位论文独创性声明
本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 年
ｆｏｒｗａｒｄ
ｂｙ Ｚａｄｅｈ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｔｈｅ ｂｒｉｄｇｅ ｆｏｒ ｔｈｅ
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ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ
ｔｈｅｏｒｅｍｓ
ｆｒｏｍ ｃｌａｓｓｉｃａｌ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｓｐａｃｅ
ｆｕｚｚｙ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｓｐａｃｅ ａｎｄ ｓｅｖｅｒａｌ
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ
ｃｈａｎｇｅａｂｌｅ
西北大学数学系硕士研究生论文
本文的研究内容
本文的研究目的是建立随机现象中特定模糊事件的概率空间，其 内容安排如下： ・第一章介绍Ｚａｄｅｈ所提出的模糊事件的概率，并在此基础上提出 了本文的研究目的。 ●第二章明确本文的研究对象。从现实背景和直观含义出发，给出 特定模糊事件的数学定义。 ・第三章从直观含义和数学定义两个层面上研究模糊事件之间的 运算关系。 ・第四章从直观含义和数学定义两个层面上定义模糊事件域和模 糊样本空问。 ●第五章基于模糊测度，对模糊事件的概率进行讨论，进一步建立 模糊事件的概率空间。 ・第六章研究从经典概率空间到模糊概率空间的转换。 ・第七章对全文的总结，指出遗留问题以及对今后研究工作的展
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ｒｅａｌｉｚｅ ｔｈａｔ ｄｕｅ ｔｏ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｐｕｒｐｏｓｅｓ ａｎｄ ｒｅａｌｉｚｉｎｇ
ａｎｇｌｅｓ ｒａｎｄｏｍ
ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｒｅｓｅａｒｃｈｅｒｓ，ｅｖｅｎ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓａｍｅ
ｒａｎｄｏｍ
ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ，ｔｈｅｒｅ ａｒｅ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ
ｒａｎｄｏｍ
ａ
ｍｅｍｂｅｒｓｈｉｐ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｗｈｉｃｈ ｉｓ ｔｈｅ ｂａｓｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｂｙ Ｚａｄｅｈ ｉｓ
ａ
ｉｎａｃｃｕｒａｔｅ ｂｅｃａｕｓｅ
ｆｕｚｚｙ ｓｔａｔｉｓｔｉｃ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ
ｉｓ ａｆｆｅｃｔｅｄ ｂｙ ｍｅ ｐｓｙｃｈｏｌｏｇｉｃａｌ ｎｅｅｄｓ ｍｏｒｅ ｅｍｅｎｄａｔｉｏｎ ｔｈａｎ
望。
西北大学数学系硕士研究生论文
第一章模糊事件概率空间的提出
第一节Ｚａｄｅｈ提出的模糊事件的概率
模糊事件的概率早在１９６８年就被Ｚａｄｅｈ提出ｐ】。 定义１．１．１（Ｚａｄｅｈ，１９６８）设（ｎ，ｓ，Ｐ）是概率测度空间，如果
ｊ∈善（３）＝｛ｊ ｅ，∞１ｊａ∈ｓ，ａ∈［ｏ，ｔ廿
则称Ａ是Ｑ上的Ｆｕｚｚｙ事件（ｆｕｚＺｙ ｅｖｅｎｔ）。 定义１．１．２（Ｚａｄｅｈ，１９６８）设ｊ是概率测度空间∞，３，Ｐ）上的一个 Ｆｕｚｚｙ事件，
馨．７９６５５Ｓ
分类号：—— 密级：——
单位代码： 学 号：
！Ｑ鲤２一
２ＱＱ２２３ＱＱ
西北大学
硕士学位论文
指导教师
学科（专业） 答辩日期
垂簦基
专业技术职务
整撞
廛用熬堂
二零零五年六月
麓鼢蠢
勿奎支公布“
摘要
模糊数学产生以来，模糊的思想和方法越来越受到重视，模糊数学与概率论
的结合——模糊事件的概率——成为人们关注的热点之一。本文在对Ｚａｄｅｈ所提
模糊样本空间；
模糊事件域
西北大学数学系硕士研究生论文
Ａｂ ｓｔｒａｃｔ
Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｅｖｅｎｔ ｈａｓ ａｌｗａｙｓ ｂｅｅｎ
ａ
ｈｏｔｓｐｏｔ ｉｎ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｆｉｅｌｄｓ．Ｉｎ ｔｈｉｓ
ｔｈｅｍｅ ａｆｔｅｒ ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｐｕｔ ｆｏｒｗａｒｄ ｂｙ Ｚａｄｅｈ，ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒ ａｒｇｕｅｓ ｔｈｅ ｎｅｃｅｓｓｉｔｙ ｔｏ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｉｎｖｏｌｖｅｄ ｆｕｚｚｙ ｅｖｅｎｔｓ：ｔｈｅ ｃｏｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆ
Ｏｃｃｕｒ
ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｅｖｅｎｔｓ；ｆｕｚｚｙ ｓａｍｐｌｅ ｓｐａｃｅ；ｆｉｅｌｄ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｅｖｅｎｔｓ ｆｕｚｚｙ
ｓｅｔ
ｃｕｔ ｓｅｔ ｏｆａ
西北大学数学系硕士研究生论文
西北大学学位论文知识产权声明书
本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名： 年 月
ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ ｔｈｅｍｅ ｉｓ ｔｏ ｅｓｔａｂｌｉｓｈ
ａ
ｂｅｔｗｅｅｎ ｉｎｖｏｌｖｅｄ
ｆｕｚｚｙ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｓｐａｃｅ．
Ａｔ ｆｉｒｓｔ，ｔｈｅ ｍｏｓｔ
ｉｍｐｏｒｔａｎｔ
ｔａｓｋ ｉｓ ｔｏ ａｓｃｅｒｔａｉｎ ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ
ｏｂｊｅｃｔ
ｅｖｅｎｔｓ．Ａｓ
ａ
ｒｅｓｕｌｔ ｏｆ ｈｕｍａｎ’ｓ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃ，ａ ｌａｒｇｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ
ｅｖｅｎｔｓ ｉｎｖｏｌｖｅｓ ｉｎ ｆｕｚｚｙ ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ．
Ｔｈｅ ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｔａｓｋ ｉｓ ｔｏ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｉｎｖｏｌｖｅｄ ｆｕｚｚｙ ｅｖｅｎｔｓ Ｉｎ ｔｈｅ ｓａｍｅ ｗａｙ，ｔｏ ｓｔｕｄｙ ｆｒｏｍ
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ｎｏｔｉｏｎｓ：ｆｕｚｚｙ
ｓａｍｐｌｅ
ｉｎ ｔｈｅ
ｎｏｒｍａｌ
ｍｅａｓｕｒｅ，ｉｓ ｐｕｔ
ｆｏｒｗａｒｄ
ｆｏｌｌｏｗｉｎｇ ｓｔｕｄｙ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ａ ｆｕｚｚｙ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｓｐａｃｅ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ． Ａ ｎａｔｕｒａｌ ｔｈｉｎｇ ｃｏｍｅｓ ｉｎｔｏ
出的模糊事件的概率进行介绍之后，分析并说明了对相关模糊事件概率研究的必
要性；进一步提出了本文的写作目的——建立模糊事件的清晰概率测度空间。 在本文进行其他研究之前，最为首要且必要的工作就是彻底明确本文的研究
对象。对于模糊事件的定义介绍，本文从三个层面进行：现实背景、直观涵义、 严格的数学定义。在给出模糊事件定义之后，一项最重要的工作就是研究模糊事
ｐｒｏｃｅｓｓ ｉｎ ｈｕｍａｎ’ｓ ｂｒａｉｎ．Ａ ｍｅｍｂｅｒｓｈｉｐ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｄｅｐｅｎｄｅｎｃｅ．Ａｎｄ ｔｈｅ
ｅｓｓｅｎｃｅ
ｏｆ ｒａｎｄｏｍ ｐｈｅｎｏｍｅｎｏｎ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅｓ ｔｈｅ ｎｅｃｅｓｓｉｔｙ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｅｖｅｎｔｓ．Ｔｈｅ ｍａｉｎ ｐｕｒｐｏｓｅ ｏｆ ｔｈｉｓ
ｏｎｅ’ｓ
ｔｈｏｕｇｈｔ ｉｓ ｔｈｅ
ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｂｅｔｗｅｅｎ
ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ
ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｓｐａｃｅｓ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｔｈｅｍｅ ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒ ａｃｈｉｅｖｅｓ ｔｈｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｏｆ ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｅｖｅｎｔｓ ｐｕｔ
西北大学数学系硕士研究生论文
Hale Waihona Puke 性，又包含模糊不确定性：事件“今天会下雨”是清晰的，即这一事 件发生与否只有“是”和“否”两种情况，但概率“可能性很大”却 是模糊的：又例如“张三明天买到高质量遥感影像的概率是０．８”：显 然在这个例子中，事件“明天买到高质量的遥感影像”是模糊的，但 概率是确定的；再如“张三明天买到高质量遥感影像的可能性很大”： 事件和概率都是模糊的。 一般的，可从三个不同方面来研究模糊概率： １．事件是模糊的，概率是清晰的，即“模糊事件的概率”问题。 ２．事件是清晰的，概率是模糊的，即“事件的模糊概率”问题ｍ】。 ３．事件是模糊的，概率也是模糊的，即“模糊事件的模糊概率”问 题。 本文仅就“模糊事件的概率”问题进行讨论，在空间信息处理中 主要用到的也是第一个方面的模糊概率。
研究模糊事件间关系直接导致模糊样本空间与模糊事件域的研究。基于要对
模糊事件运算封闭的目的，本文从数学角度研究了集合的模糊划分和模糊集合的 Ｏ－．可加类，并在此基础上给出了模糊样本空间与模糊事件域的定义。由于概率
是满足具有性质厂（Ｑ）＝ｌ的测度，于是本文先进行了模糊集测度的介绍，在此基
础上给出了模糊事件概率的定义及性质。进而完成了本文研究目的——模糊概率
ａ
ａｎｄ ｉｔ ｏｆｆｕｚｚｙ
Ｉｎ ｏｒｄｅｒ ｔｏ ｆｉｎｄ
ｆｉｅｌｄ ｏｆ ｅｖｅｎｔｓ ｔｈａｔ ｉｓ ｃｌｏｓｅｄ ｔｏ ｔｌｌｅ ａｂｏｖｅ ｏｐｅｒａｔｉｏｎｓ．ｂａｓｅｄ
ｏｎ
ｔｈｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｍｅａｓｕｒｅ，ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒ ｐｒｏｐｏｓｅ ｓｐａｃｅ，ｆｉｅｌｄ ｏｆ ｅｖｅｎｔｓ．Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ，ａｓ
ｔｗｏ
ｓｉｄｅｓ：ｃｏｒｒｅｌａｔｉｏｎ
ａ
ｂｅｔｗｅｅｎ ｆｕｚｚｙ
ｏｎｅ
ｅｖｅｎｔｓ，ｏｐｅｒａｔｉｏｎ
ｂｅｔｗｅｅｎ ｆｕｚｚｙ ｓｅｔｓ．Ａｎｄ ａｔ ｌａｓｔ，ｔｈｅｒｅ ｉｓ
ｐｒｏｏｆ ｏｆ ｔｈｅ
ｓｅｔｓ．
ｔｏ ｏｎｅ ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｅｎｃｅ
ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ
ｏｐｅｒａｔｉｏｎ ｏｆｆｕｚｚｙ ｅｖｅｎｔｓ
ｏｆ ｔｈｉｓ ｔｈｅｍｅ．
Ｄｕｒｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｃｅｓｓ ｏｆ ｓｔｕｄｙ ｉｎ ｆｕｚｚｙ ｅｖｅｎｔｓ，ｔｈｅ ａｕｔｈｏｒ ｇｉｖｅｓ ｔｈｅ ｄｅｆｍｉｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｔｈｒｅｅ
ａｎｇｌｅｓ：ｂａｃｋｇｒｏｕｎｄ ｉｎ ｒｅａｌ ｌｉｆｅ，ｉｎｔｕｉｔｉｏｎｉｓｔｉｃ ｍｅａｎｉｎｓ ａｎｄ ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ｉｎ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ． Ｅｘａｍｐｌｅｓ ｉｎ ｒｅａｌ ｌｉｆｅ ｍａｋｅ
空间的建立。 一个自然的问题就是它和经典概率空间的联系，于是有了按下来的研究：经
典概率空间到模糊概率空间的转换，本文证明了Ｚａｄｅｈ对模糊事件概率的定义事
实上就构成了从经典概率空间到模糊事件的概率空间的转换，在这个证明过程中
引出了一个重要的概念——Ｆｕｚｚｙ集合的可变截集，并得出了几个重要的性质。
关键词模糊事件的发生程度； 模糊集合的可变截集
件间的关系，也就是模糊集合间的运算。本文从直观含义——事件的运算，和数 学角度——集合的运算两方面进行研究，基于概念——模糊事件的出现程度，从
直观上共给出了五种运算形式：并、交、和、联、差；以及三种关系：两个模糊 事件互补，模糊事件类没有公共点，模糊事件类不交。最后在证明了模糊事件的 运算与模糊集合的运算之间的一一对应关系之后，给出了相应的数学表示。