项目反应理论111.pptx
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项目反应理论
概念
项目反应理论（Item Response Theory，简称 IRT），又称潜在特质理论（Latent Trait Theory) 或项目特征曲线理论（Item Characteristic Curse Theory)，是为了克服经典测验理论（CTT）的局 限而提出的现代测验理论。 从测验的内部或微观方面入手，采取数学建模和 统计调整的方法，重点讨论被试的能力水平与测 验项目之间的实质性关系，测验的每一个项目都 有自己的项目特征曲线，描述了每一个特定能力 水平的被试答对或答错该项目的概率。
在项目反应理论中，常用一般的统计依存 性和统计独立性概念来讨论项目间关系。
Pi(+)：表示正确回答第i个项目的概率 Pi(-)：表示答错第个i项目的概率 Pj(+)：表示正确回答第j个项目的概率 Pj(-) ：表示答错第j个项目的概率
P(+,+)表示正确回答第i和第j个项目的概率 同理，其它的见课本。
在IRT中， bi表示一个项目的难度，其取值 范围一般在-3.0到+3.0之间。 bi越大，表示项目的难度越大。
1.00
项目1
Pi(θ)
0.50
项目2
0.00
Leabharlann Baidu
b1
θ
b2
从上图可以看出，项目2比项目1更难些， 因为能力相同的同一组被试对项目1的正确 反应概率要大于对项目2的正确反应概率。 在其他条件不变的情况下，增大项目的难 度会使ICC向右平移。
pi ( )
1 1 e
1.7 a i ( bi )
(3)单参数逻辑斯蒂模型 当ci=0，ai=1时，就得到单参数逻辑斯蒂模型。
pi ( )
1 1 e
1.7 ( bi )
项目反应理论也称项目特征曲线理论 或潜在特质理论，它是依据一定的数学模 型，用项目特征参数估计潜在特质的一种 测量理论。该理论中最重要的两个基本概 念是“潜在特质”和“项目特征曲线”。
潜在特质： 把表现在一个人身上所特有的相对稳定 的行为方式称为心理特质（trait)，由于 这种心理特质是隐含于其行为之中的， 所以也称做潜在特质。 潜在特质空间（Latent Trait Space） 对于某一特殊行为的发展起作用的所有潜 在特质的集合。
1.00
项目1
Pi(θ)
0.50
项目2
0.00
b θ
图 区分度参数ai对正确反应概率的影响
ai越大，曲线在bi附近就会越陡，项目在bi 附近的区分能力就越大，但在远离bi的区 域，曲线就会变得越平坦，项目的区分能 力就越低。 也就是说，区分度参数ai大的项目对能力 水平接近bi的被试有较大的区分能力，而 对能力水平远大于或小于bi的被试区分能 力小。 相反，区分度参数ai小的项目则在能力分 布更广泛范围内对被试都有一定的区分能 力。
如何理解局部独立性假设呢？
由于这种独立性是针对特定的θ值的被试而言 的，所以称为“局部”。
例：假设1000名能力相同的被试参加某一能力 测验，600名被试答对了项目i，400名答错了； 这1000名被试对项目j的正确反应概率与对项目 i的正确反应概率统计上是独立的。 总之，同一特质水平的被试回答某一项目时不 受其他项目的影响。
大量事实证明，对两级记分的项目，被试的 能力水平与他对项目的反应之间呈S型的曲线 关系，而且这一关系具有相当的普遍性。
S型ICC具有一些共同点，即都有一条Y=1的 上渐近线和一条Y=c(c≥0)的下渐进线，且是 严格单调上升的，一条ICC的形状取决于三 个变量：下渐近线的高度，曲线拐点的位置 及拐点处的斜率。 这三个变量恰好相当于三个项目参数：猜测 参数ci，难度参数bi和区分度参数ai。
基本理论假设
1、局部独立性假设 2、潜在特质空间的单维性假设
局部独立性假设(local independence)： 所谓局部独立性是指能力参数θ一定时，被试 对各个项目的应答是统计上的独立。即对一 个问题的回答不影响对另一个问题的回答。 设 x j表示对项目j 应答的二值变量， 即当被试的应答是正确时： x j =1， 若是错误的： x j =0。 这时，局部独立性的假设可由下式所表示
所以，解决测验的单维性问题及建立多维 反应模型是IRT将要研究的任务之一。
项目反应模型
项目反应理论模型是一种数学模型, 它的特点 是以概率来解释被试对项目的反应和其潜在 能力特质之间的关系。
（一）、正态卵形模型(Normal Ogive Model)
正态卵形模型将项目特征曲线视为一条S 形正态累积函数曲线，相应的数学模型即 是正态累积分布函数。 可分为三参数、双参数和单参数模型三种。
(3)猜测参数ci 被试完全凭机遇答对项目i的概率即是该项 目的猜测参数ci。 注意：IRT引入此概念是为了提高对能力估 计的精度。 对包含m个选择项的选择题，其猜测参数ci 一般接近1/m。 ci的取值范围一般在0~0.50之间。
曲线越平直，区别就越小，因为低能力水平 正确回答的概率接近于高能力水平正确回答 的概率。
(1)三参数正态卵形模型 表达式为：
pi ( ) ci (1 ci )
ai ( bi )
1 e 2
y2 2
dy
式中：a为区分度； b 为难度； c 为猜测参数； θ为被试潜在特质水平； P(θ)为被试对某一测验项目的正确反应概率
(2)双参数正态卵形模型 当猜测参数为0时，三参数变成了双参数。
上渐近线
1.00
Pi(θ)
1 c 2
0.50
拐点 切线 下渐近线
c
0.00
b
θ
(1)难度参数bi 在一条ICC中，bi等于曲线在拐点处的θ值。 当猜测参数ci=0（曲线的下渐近线为0） 时，bi等于Pi(θ)=0.50时的θ值，因为对一 条完整的ICC，拐点恰好是曲线的中点和 对称点。 当ci>0时， P(θ)=(1+c)/2
例：如果 Pi(+)=0.8 Pi(-)=0.2 Pj(+)=0.6 Pj(-)=0.4 P(+, -)=0.32 P( -, -)=0.08
那么当且仅当 P(+,+)=0.48 P( -,+)=0.12 时两个项目才独立。
实际就是指，如果两个项目的每种反应模式的概 率，仅仅根据对每个项目正确与不正确反应的概 率就能计算出来，那么项目之间便是独立的。
基本思想及基本思路
IRT认为被试的能力与其对某一特定项目的 反应（以正确或错误反应概率表示）有某种 函数关系存在，确定这种关系就是IRT的基 本思想和出发点。
所以IRT可以被理解为一种探讨被试对项目 的反应与其潜在特质间关系的概率性方法。
项目反应理论的基本思想
假定被试对于测验项目的反应受某种心理特 质的支配，那么首先就要对这种特质进行界 定，然后估计出该被试这种特质的分数，并 根据该分数的高低来预测和揭示被试对于项 目或测验的反应。它主要研究被试在测验项 目上的反应与测验所测特质之间的关系。项 目反应理论的基本原理是通过建立合适的数 学模型来解释被试特质水平与其在项目作答 表现之间的关系。
逻辑斯蒂模型也包括三参数、双参数 和单参数模型三种。
(1)三参数逻辑斯蒂模型的表达式：
pi ( ) ci (1 ci )
1 1 e
1.7 a i ( bi )
ai、bi、ci分别为区分度参数、难度参数、猜测参 数，含义与正态卵形模型相同。
(2)双参数逻辑斯蒂模型 当猜测参数ci=0时，三参数就变成了双参数模 型。
潜在特质空间的单维性假设(unidimensionality)
指测验测量的是单一的特质而非多元特质， 即被试对测验中任一项目的反应是其单一 特质θ的函数。
即测试出来的能力变量是处在单维空间 中, 可在一个量表中表示, 不同的被试之 间可以相互比较。 潜在特质空间维度, 又称能力维度, 是指 被测量的测验成绩是由若干种能力 θ1 , θ2, ……θn所决定的, 这一n 维空间称为 潜在空间。假设潜在空间是一维的, 就 是说被测量的测验结果只取决于一种能 力, 其它能力的影响都可以忽略, 这就是 所谓的能力单维性。
(2)区分度参数ai 在一条ICC中，ai的大小决定曲线在拐点bi 处的陡度。 ai很大时，在bi附近能力θ的增加会导致正 确反应概率Pi(θ)有很快的增长； ai很小时，在bi附近能力θ的等量增加不会 导致正确反应概率Pi(θ)有明显的增长。 ai的取值范围通常在0.30~2之间。
根据以上定义，在下列条件下，两个项目 得分在统计上是独立的。
P(+,+)= Pi(+) Pj(+) P(+, -)= Pi(+) Pj(-) P( -,+)= Pi(-) Pj(+) P( -, -)= Pi(-) Pj(-)
如果四个等式中的任何一个不成立，则这 两个项目在统计上就是依存的。
维度
在潜在特质空间中互相独立的潜在特质的 个数。 一个K维的潜在特质空间可以表示为： H =(θ1， θ2， θ3，...，θk)
总之，潜在特质理论是一切心理测量理论研 究的基础。
项目特征曲线
IRT假定正确反应概率Pi(θ)与θ间存在规律性的 变化关系，这种关系可以用一个数学函数的形 式表示出来，这一函数称为项目反应函数(Item Response Function)，项目特征曲线就是这一 函数的图像。 项目特征曲线, 就是表征被试的能力或特质水平 与其对一个测验项目的正确反应概率之间关系 的二维曲线图。 也称为“项目回答曲线”，或“项目反应函 数”，或ICC。
当测试满足局部独立性假设时，该测试 是一种单维的测试，即测试是一种仅由θ 这种单因子决定的一维测试。反之，测 试在θ一定时，是一种多维性的测试。它 表示在测试过程中，不仅被试的能力参 数影响其应答的结果，还存在着除θ以外 的其他能力和因子影响被试的应答。
但严格的单维性是大多数测量工具都 难以满足的，这也是IRT受到批评的主 要原因。
(3)单参数正态卵形模型 当ci=0，ai=1时，双参数变成了单参数。
（二）、逻辑斯蒂模型(Logistic Models)
由于正态卵形模型中的积分运算不易进行， 伯恩鲍姆(Birnbaum,1957)在洛德正态卵形 模型的基础上提出了逻辑斯蒂模型。
逻辑斯蒂模型避免了复杂的积分运算，在估计 能力和项目参数时要简便得多。 逻辑斯蒂模型是使用最广的模型，其次是正态 卵形模型。
概念
项目反应理论（Item Response Theory，简称 IRT），又称潜在特质理论（Latent Trait Theory) 或项目特征曲线理论（Item Characteristic Curse Theory)，是为了克服经典测验理论（CTT）的局 限而提出的现代测验理论。 从测验的内部或微观方面入手，采取数学建模和 统计调整的方法，重点讨论被试的能力水平与测 验项目之间的实质性关系，测验的每一个项目都 有自己的项目特征曲线，描述了每一个特定能力 水平的被试答对或答错该项目的概率。
在项目反应理论中，常用一般的统计依存 性和统计独立性概念来讨论项目间关系。
Pi(+)：表示正确回答第i个项目的概率 Pi(-)：表示答错第个i项目的概率 Pj(+)：表示正确回答第j个项目的概率 Pj(-) ：表示答错第j个项目的概率
P(+,+)表示正确回答第i和第j个项目的概率 同理，其它的见课本。
在IRT中， bi表示一个项目的难度，其取值 范围一般在-3.0到+3.0之间。 bi越大，表示项目的难度越大。
1.00
项目1
Pi(θ)
0.50
项目2
0.00
Leabharlann Baidu
b1
θ
b2
从上图可以看出，项目2比项目1更难些， 因为能力相同的同一组被试对项目1的正确 反应概率要大于对项目2的正确反应概率。 在其他条件不变的情况下，增大项目的难 度会使ICC向右平移。
pi ( )
1 1 e
1.7 a i ( bi )
(3)单参数逻辑斯蒂模型 当ci=0，ai=1时，就得到单参数逻辑斯蒂模型。
pi ( )
1 1 e
1.7 ( bi )
项目反应理论也称项目特征曲线理论 或潜在特质理论，它是依据一定的数学模 型，用项目特征参数估计潜在特质的一种 测量理论。该理论中最重要的两个基本概 念是“潜在特质”和“项目特征曲线”。
潜在特质： 把表现在一个人身上所特有的相对稳定 的行为方式称为心理特质（trait)，由于 这种心理特质是隐含于其行为之中的， 所以也称做潜在特质。 潜在特质空间（Latent Trait Space） 对于某一特殊行为的发展起作用的所有潜 在特质的集合。
1.00
项目1
Pi(θ)
0.50
项目2
0.00
b θ
图 区分度参数ai对正确反应概率的影响
ai越大，曲线在bi附近就会越陡，项目在bi 附近的区分能力就越大，但在远离bi的区 域，曲线就会变得越平坦，项目的区分能 力就越低。 也就是说，区分度参数ai大的项目对能力 水平接近bi的被试有较大的区分能力，而 对能力水平远大于或小于bi的被试区分能 力小。 相反，区分度参数ai小的项目则在能力分 布更广泛范围内对被试都有一定的区分能 力。
如何理解局部独立性假设呢？
由于这种独立性是针对特定的θ值的被试而言 的，所以称为“局部”。
例：假设1000名能力相同的被试参加某一能力 测验，600名被试答对了项目i，400名答错了； 这1000名被试对项目j的正确反应概率与对项目 i的正确反应概率统计上是独立的。 总之，同一特质水平的被试回答某一项目时不 受其他项目的影响。
大量事实证明，对两级记分的项目，被试的 能力水平与他对项目的反应之间呈S型的曲线 关系，而且这一关系具有相当的普遍性。
S型ICC具有一些共同点，即都有一条Y=1的 上渐近线和一条Y=c(c≥0)的下渐进线，且是 严格单调上升的，一条ICC的形状取决于三 个变量：下渐近线的高度，曲线拐点的位置 及拐点处的斜率。 这三个变量恰好相当于三个项目参数：猜测 参数ci，难度参数bi和区分度参数ai。
基本理论假设
1、局部独立性假设 2、潜在特质空间的单维性假设
局部独立性假设(local independence)： 所谓局部独立性是指能力参数θ一定时，被试 对各个项目的应答是统计上的独立。即对一 个问题的回答不影响对另一个问题的回答。 设 x j表示对项目j 应答的二值变量， 即当被试的应答是正确时： x j =1， 若是错误的： x j =0。 这时，局部独立性的假设可由下式所表示
所以，解决测验的单维性问题及建立多维 反应模型是IRT将要研究的任务之一。
项目反应模型
项目反应理论模型是一种数学模型, 它的特点 是以概率来解释被试对项目的反应和其潜在 能力特质之间的关系。
（一）、正态卵形模型(Normal Ogive Model)
正态卵形模型将项目特征曲线视为一条S 形正态累积函数曲线，相应的数学模型即 是正态累积分布函数。 可分为三参数、双参数和单参数模型三种。
(3)猜测参数ci 被试完全凭机遇答对项目i的概率即是该项 目的猜测参数ci。 注意：IRT引入此概念是为了提高对能力估 计的精度。 对包含m个选择项的选择题，其猜测参数ci 一般接近1/m。 ci的取值范围一般在0~0.50之间。
曲线越平直，区别就越小，因为低能力水平 正确回答的概率接近于高能力水平正确回答 的概率。
(1)三参数正态卵形模型 表达式为：
pi ( ) ci (1 ci )
ai ( bi )
1 e 2
y2 2
dy
式中：a为区分度； b 为难度； c 为猜测参数； θ为被试潜在特质水平； P(θ)为被试对某一测验项目的正确反应概率
(2)双参数正态卵形模型 当猜测参数为0时，三参数变成了双参数。
上渐近线
1.00
Pi(θ)
1 c 2
0.50
拐点 切线 下渐近线
c
0.00
b
θ
(1)难度参数bi 在一条ICC中，bi等于曲线在拐点处的θ值。 当猜测参数ci=0（曲线的下渐近线为0） 时，bi等于Pi(θ)=0.50时的θ值，因为对一 条完整的ICC，拐点恰好是曲线的中点和 对称点。 当ci>0时， P(θ)=(1+c)/2
例：如果 Pi(+)=0.8 Pi(-)=0.2 Pj(+)=0.6 Pj(-)=0.4 P(+, -)=0.32 P( -, -)=0.08
那么当且仅当 P(+,+)=0.48 P( -,+)=0.12 时两个项目才独立。
实际就是指，如果两个项目的每种反应模式的概 率，仅仅根据对每个项目正确与不正确反应的概 率就能计算出来，那么项目之间便是独立的。
基本思想及基本思路
IRT认为被试的能力与其对某一特定项目的 反应（以正确或错误反应概率表示）有某种 函数关系存在，确定这种关系就是IRT的基 本思想和出发点。
所以IRT可以被理解为一种探讨被试对项目 的反应与其潜在特质间关系的概率性方法。
项目反应理论的基本思想
假定被试对于测验项目的反应受某种心理特 质的支配，那么首先就要对这种特质进行界 定，然后估计出该被试这种特质的分数，并 根据该分数的高低来预测和揭示被试对于项 目或测验的反应。它主要研究被试在测验项 目上的反应与测验所测特质之间的关系。项 目反应理论的基本原理是通过建立合适的数 学模型来解释被试特质水平与其在项目作答 表现之间的关系。
逻辑斯蒂模型也包括三参数、双参数 和单参数模型三种。
(1)三参数逻辑斯蒂模型的表达式：
pi ( ) ci (1 ci )
1 1 e
1.7 a i ( bi )
ai、bi、ci分别为区分度参数、难度参数、猜测参 数，含义与正态卵形模型相同。
(2)双参数逻辑斯蒂模型 当猜测参数ci=0时，三参数就变成了双参数模 型。
潜在特质空间的单维性假设(unidimensionality)
指测验测量的是单一的特质而非多元特质， 即被试对测验中任一项目的反应是其单一 特质θ的函数。
即测试出来的能力变量是处在单维空间 中, 可在一个量表中表示, 不同的被试之 间可以相互比较。 潜在特质空间维度, 又称能力维度, 是指 被测量的测验成绩是由若干种能力 θ1 , θ2, ……θn所决定的, 这一n 维空间称为 潜在空间。假设潜在空间是一维的, 就 是说被测量的测验结果只取决于一种能 力, 其它能力的影响都可以忽略, 这就是 所谓的能力单维性。
(2)区分度参数ai 在一条ICC中，ai的大小决定曲线在拐点bi 处的陡度。 ai很大时，在bi附近能力θ的增加会导致正 确反应概率Pi(θ)有很快的增长； ai很小时，在bi附近能力θ的等量增加不会 导致正确反应概率Pi(θ)有明显的增长。 ai的取值范围通常在0.30~2之间。
根据以上定义，在下列条件下，两个项目 得分在统计上是独立的。
P(+,+)= Pi(+) Pj(+) P(+, -)= Pi(+) Pj(-) P( -,+)= Pi(-) Pj(+) P( -, -)= Pi(-) Pj(-)
如果四个等式中的任何一个不成立，则这 两个项目在统计上就是依存的。
维度
在潜在特质空间中互相独立的潜在特质的 个数。 一个K维的潜在特质空间可以表示为： H =(θ1， θ2， θ3，...，θk)
总之，潜在特质理论是一切心理测量理论研 究的基础。
项目特征曲线
IRT假定正确反应概率Pi(θ)与θ间存在规律性的 变化关系，这种关系可以用一个数学函数的形 式表示出来，这一函数称为项目反应函数(Item Response Function)，项目特征曲线就是这一 函数的图像。 项目特征曲线, 就是表征被试的能力或特质水平 与其对一个测验项目的正确反应概率之间关系 的二维曲线图。 也称为“项目回答曲线”，或“项目反应函 数”，或ICC。
当测试满足局部独立性假设时，该测试 是一种单维的测试，即测试是一种仅由θ 这种单因子决定的一维测试。反之，测 试在θ一定时，是一种多维性的测试。它 表示在测试过程中，不仅被试的能力参 数影响其应答的结果，还存在着除θ以外 的其他能力和因子影响被试的应答。
但严格的单维性是大多数测量工具都 难以满足的，这也是IRT受到批评的主 要原因。
(3)单参数正态卵形模型 当ci=0，ai=1时，双参数变成了单参数。
（二）、逻辑斯蒂模型(Logistic Models)
由于正态卵形模型中的积分运算不易进行， 伯恩鲍姆(Birnbaum,1957)在洛德正态卵形 模型的基础上提出了逻辑斯蒂模型。
逻辑斯蒂模型避免了复杂的积分运算，在估计 能力和项目参数时要简便得多。 逻辑斯蒂模型是使用最广的模型，其次是正态 卵形模型。