《通信原理》第3章 随机过程(3.5-7)

f n ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , , tn ) f ( x1 , t1 ) f ( x2 , t2 ) f n ( xn , tn )
（4）高斯平稳经过线性变换后仍是高斯过程。
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第3章 随机过程
3.3.3 高斯随机变量分布函数
P( x) 1 xa 1 erf ( ) 2 2 1 xa 1 erf ( ) 2 2
令 c (t ) a (t ) cos[ (t )] ， s (t ) a (t )sin[ (t )]
(t ) c (t ) cos c t s (t )sin c t
c (t ) 称为窄带的同相分量， s (t )
称为窄带的正交分量。
它们都是频率很低的信号（基带信号）。
a
这里：a (t ) 0 ， (t ) 在（0，2*pi）内均匀分布。
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第3章 随机过程
对 (t ) 积分：
2 a f (a )＝ 2 exp 2 2
a
（
）分布
而对 a (t ) 积分
f ( )＝ 1 2
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第3章 随机过程
回顾：
3.3.1 高斯分布的定义
如果一个随机过程的任意n维分布服从正态分布，则称 为正态分布或高斯分布。
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第3章 随机过程
3.3.2 重要性质
（1）高斯过程的n维分布仅依赖各随机变量的均值 ak 、 2 、和归一化协方差矩阵 方差 k B ，描述最简单。 （2）高斯平稳若是广义平稳的，必是严平稳。 （3）高斯过程若在不同时刻的取值不相关，也是统计 独立的。
P( x)
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第3章 随机过程
3.4 平稳随机过程通过线性系统
vo (t ) vi (t )* h(t ) vi ( )h(t )d
Vo ( f ) Vi ( f ) H ( f )

1、输出均值
E o (t ) a H (0)
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第3章 随机过程
窄带过程的谱密度：
注意：实信号的幅度谱是偶对称的 窄带过程的时域波形？？
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第3章 随机过程
正弦信号（单频信号）的波形：
1 0.5 0 -0.5 -1 0 20 40 60 80 100
频率和包络都不变
窄带过程的波形： 频率或包络缓慢变化
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通信原理
第3章 随机过程（3.5-7）
主 讲：江金龙 E-mail：jljiang@126.com 九江学院电子工程学院
第3章 随机过程
概要：
3.5 窄带随机过程
3.5.1 其同相分量和正交分量的统计特性 3.5.2 其随机包络和随机相位的统计特性 3.6 正弦波加窄带高斯噪声 3.7 高斯白噪wenku.baidu.com和带限白噪声
可以看出 (t ) 的统计特性由其（ 分量决定 从：
(t ) a (t )cos c t (t )
）分量和（
）
可以看出 (t ) 的统计特性由其（
）和（
）
决定
两者之间是等价的，反之亦然。
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第3章 随机过程
本节研究同相分量和正交分量的统计特性。
2 窄带高斯平稳过程。 我们重点研究均值为0， 方差为
（1）期望
对 (t ) c (t ) cos c t s (t )sin c t 两边取期望：
E (t ) E c (t ) cos ct E s (t ) sin ct =? E c (t ) ?? E s (t ) ??
r (t ) A cos ct n(t )
已调信号 宽带噪声 BPF
r (t )
这里： A cos c t 为正弦波，
A
和 c 为常数； ？？？
c
为随机相位，在 (0, 2 ) 上均匀分布。
n (t ) 为窄带高斯噪声： n(t )
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（
）分布
由于两者在统计上（
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），所以
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f (a , )＝f (a ) f ( )
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一个瑞利分布示例：
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第3章 随机过程
3.6 正弦波加窄带高斯噪声
在通信接收端，通常加一带通滤波器，以过滤带外噪 声，输出为正弦波已调信号与窄带高斯噪声的混合波形。
c (t )
(t )
分解
统计规律相同，能否说明
c (t ) s (t ) (t ) ？？？
s (t )
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第3章 随机过程
3.5.2 其随机包络和随机相位的统计特性
设 a 、 的联合概率密度函数为 f (a , ) ，可以推出：
2 a f (a , )＝ exp 2 2 2 2
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第3章 随机过程
3.5 窄带随机过程
3.5.1 同相分量和正交分量的统计特性
窄带随机过程：随机过程的谱密度集中在中心频率 f c f 附近相对较窄的频带范围 内，即
f fc
大多数通信系统的调制信号都是窄带带通型，其过程 也为窄带随机过程。 高斯白噪声通过窄带滤波器的输出也是窄带随机过程。
令 t 2c
(t2 ) s (t2 )
从这两个特殊点可以看出：若 (t ) 是高斯分布，则其 同相分量和正交分量都是高斯分布，且统计独立。
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第3章 随机过程
若 (t ) 是均值为0，方差为 2 的窄带平稳高斯过程，它 的同相分量和正交分量也是平稳高斯过程，均值为0，方 差也相同，且在同一时刻得到的同相分量和正交分量是不 相关的或统计独立的。
第3章 随机过程
现在分析它的统计特性，方法与3.5节类似. 展开：r (t ) A cos ct n(t )
A cos ct A cos cos ct A sin sin ct
令 t 0
R (t , t ) Rc (t , t ) cos c ( ) Rcs (t , t )sin c ( )
且对任意时刻t都成立，上式应当不含有t
Rc (t , t ) Rc ( )
Rcs (t , t ) Rcs ( )
Rsc ( ) Rsc ( )
正交分量与同相分量的互相关函数是（ 同理：同相分量与正交分量的互相关函数是（
Rsc (0) Rcs (0) 0
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）函数。 ）函数。
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第3章 随机过程
（3）分布类型
根据 令 t 0
(t1 ) c (t1 )
(t ) c (t ) cos c t s (t )sin c t
cos c t 和 sin c t 是正交函数，它们的乘积在一个 注： 周期内积分为0。 cos ct sin ct 0
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第3章 随机过程
从 (t ) c (t ) cos c t s (t )sin c t ，可得到一个通用的调 制框图如下： (t )
上式4项相关分别称为：？？
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第3章 随机过程
由于 (t ) 是平稳的，有
R (t , t ) R ( )
从而有：
R (t , t ) Rc (t , t ) cos c t cos c (t ) Rcs (t , t ) cos c t sin c (t ) Rsc (t , t )sin c t cos c (t ) Rs (t , t )sin c t cos c (t )
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第3章 随机过程
窄带随机过程类似一个包络和相位随机缓变的正弦波：
(t ) a (t )cos c t (t )
a (t ) 0
c 2 f c
其中 a (t ) 和 (t )称为窄带随机过程 (t ) 的随机包络和随 机相位。 利用 cos(a b) cos a cos b sin a sin b 公式：
(t ) a (t ) cos[ (t )]cos c t a (t )sin[ (t )]sin ct
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第3章 随机过程
(t ) a (t ) cos[ (t )]cos c t a (t )sin[ (t )]sin ct
c
m(t )
cos c t 振荡器
变换 移相-90°
sin c t
(t )
-
s (t )
窄带调制归结于两个问题： （1）调制信号 m(t ) 如何变为同相分量和正交分量。 （2）同相分量和正交分量的特性怎样？
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第3章 随机过程
从：
(t ) c (t ) cos c t s (t )sin c t
输入平稳， 输出平稳。 前提：？
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2、输出的自相关函数
Ro (t1 , t1 ) Ro ( )
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第3章 随机过程
3、输出过程的功率谱密度
P o ( f ) H( f ) P i( f )
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一般是先求输出功率谱密度，作傅立叶反变换求输出自相关函数。 4、输出过程的概率分布 高斯过程经线性变换后仍是高斯过程。
上式对任意时刻t都成立。
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第3章 随机过程
R (t , t ) Rc (t , t ) cos c t cos c (t ) Rcs (t , t ) cos c t sin c (t ) Rsc (t , t )sin c t cos c (t ) Rs (t , t )sin c t cos c (t )
分量也必然是（
）的。
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第3章 随机过程
自然，这两个公式必须相等：
R ( ) Rc ( ) cos c ( ) Rcs ( )sin c ( ) R ( ) Rs ( ) cos c ( ) Rsc ( )sin c ( )
所以：
Rc ( ) Rs ( ) Rcs ( ) Rsc ( )
R ( ) Rc ( ) cos c ( ) Rcs ( )sin c ( )
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第3章 随机过程
类似地：
令 t 2c
R ( ) Rs ( ) cos c ( ) Rsc ( )sin c ( )
所以：若窄带过程是平稳的，则其同相分量和正交
结论：同相分量和正交分量具有相同的（
）。 ）功率。
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令： 0
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Rc ( ) Rs ( ) R ( ) =??，具有相同的（
第3章 随机过程
现在研究：
Rcs ( ) Rsc ( ) Rcs ( ) Rsc ( )
根据相关函数的性质： 去掉 Rcs ( ) ：
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第3章 随机过程
（2）自相关
R (t , t ) E (t ) (t )
代入并展开： (t ) c (t ) cos c t s (t )sin c t
R (t , t ) Rc (t , t ) cos c t cos c (t ) Rcs (t , t ) cos c t sin c (t ) Rsc (t , t )sin c t cos c (t ) Rs (t , t )sin c t cos c (t )