时间测量中随机误差的分布规律

实验报告

实验名称 时间测量中随机误差的分布规律

实验目的 用常规仪器（如电子秒表、频率计等）测量时间间隔，通过对时间和频率测量

的随机误差分布，学习用统计方法研究物理现象的过程和研究随机误差分布的规律。

实验仪器 机械节拍器，电子秒表。 实验原理 1.常用时间测量仪表的简要原理

（1）机械节拍器

（2）电子节拍器 （3）电子秒表

（4）VAFN 多用数字测试仪

用电子秒表测量机械节拍器发声的时间间隔,机械节拍器按一定的频率发出有规律的声响，电子秒表用石英晶体振荡器作时标,一般用六位液晶数字显示,其连续积累时间为,分辨率为,平均日差。 2.统计分布规律的研究

假设在近似消除了系统误差（或系统误差很小，可忽略不计，或系统误差为

一恒定值）的条件下，对某物理量x 进行N 次等精度测量，当测量次数N 趋向无穷时，各测量值出现的概率密度分布可用正态分布（有成高斯分布）的概率密度函数表示，

]2)x -(x ex p[-21

)(2

2

σπ

σ=x f （1） 其中 n

x

x n

1

i i

∑==

（2）

1

-n )x -(x

n

1

i 2

i

∑==

σ （3）

⎰

=a

a

-f(x)dx P(a) （4）

式中a=σ，2σ，3σ分别对应不同的置信概率。

（1）统计直方图方法

用统计直方图表示被研究对象的规律简便易行，直观清晰。

在一组等精度测量所得的N 个结果x 1，x 2，…，x N 中，找出它的最大值x max 与最小值x min ，并求出级差R=x max - x min ，由级差分为K 个小区间，每个小

区域的间隔（△x ）的大小就等于

K

x -x K R min

max =

。统计测量结果出现在某个小区域内的次数n i 称为频数，N

n

i 为频率，

N

n

i

∑为累计频率，称为

频率密度。以测量值x 值为横坐标，以

x

N n i

∆⋅为纵坐标，便可得到统计直

方图。

（2）概率密度分布曲线

利用式（1）求出各小区域中点的正态分布的概率密度值f （x ），以f （x ）为纵坐标，x 为横坐标，可得概率密度分布曲线。若概率密度分布曲线与统计直方图上端相吻合，则可以认为测量值是基本符合正态分布的。实际测量中，受测试者的心理因素，外界环境，仪器系统误差，测量次数不可能无穷多等影响，二者不完全重合是很常见的，因此测量值仅是基本符合正态分布。

实验内容 1.时间间隔测量

用电子秒表测量机械节拍器的摆动周期，测量次数要在200次以上。

2.统计规律研究 (时间测量要求在相同的条件下，重复测量200次以上)。

（1）利用式（2）和式（3）计算x 和σ。

（2）利用式（1）计算各区中点的f （x ）值。

（3）根据测量结果的离散程度，极限差R 的大小，合理划分小区间数K ，确定其间隔，计算各区间的频率、相对频率、相对频率密度和累计频率，以频率密度为纵坐标，测量值x 为横坐标，作统计直方图，并将f （x ）—x 中曲线绘在统计直方图中，检验测量值分布是否符合正态分布。

（4）利用式（4）计算测量列误差出现在±σ，±2σ，±3σ范围内的概率。 （5）计算测量平均值的标准差，并正确写出测量结果完整的表达式。

测量记录 原始数据记录如下表：

数据处理

对原始数据进行处理，最大值x max =，最小值x min =，平均值x =，标准差σ=，

R=，取K=10，则△x=，得下表：

利用作图如下：

x

N n i

∆⋅time x/s

P(σ)=，P(2σ)=，P(3σ)=

（理论值 P(σ)=，P(2σ)=，P(3σ)=）

由上述计算和图表，在一定误差范围内，该测量列基本符合正态分布。

算术平均值的标准差u A =

n

σ

=，即为A 类不确定度。 考虑置信概率P=的情况, 电子秒表误差分布为正态分布，可取

95.0t =1

仪∆= c=3

B 类不确定度在的置信概率下置信因子为k=

由不确定度合成公式得

2

2

95095.0()）

（仪。c

k

u t U At ∆+== P= 误差分析 1.测量次数为有限次，不可能为无穷大，结果会偏离正态分布。

2.测量仪器本身存在系统误差，结果不能十分精确。

3.受外部因素的干扰较多，很多人围在一起测量，会彼此受到影响。

4.测量200多次，一个人要按400多次秒表，手指会产生疲倦感，按钮超前或

延后，导致测量结果偏离。

思考题 1.测量次数为有限次，不可能为无穷大，测量仪器本身存在系统误差，测量

200多次，一个人要按400多次秒表，手指会产生疲倦感，受外部因素的干扰较多，很多人围在一起测量，会彼此受到影响等很多因素，都会产生偏离。

2.若不考虑系统误差

的条件下，对某一物理量进行多次等精度测量时随机误差的分布规律理论上呈正态分布，得到一条连续光滑的曲线，并且P(σ)=，P(2σ)=，P(3σ)=。具有对称性，单峰性，有界性和抵偿性（即误差的算术平均值随着n 趋向无穷而趋于零）。