等差数列求和PPT优秀课件1

an

Sn
S1(n 1) Sn1(n 2)
“小故事”:
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁 时，有一次老师出了一道题目，老师说: “现在 给大家出道题目:
1+2+…100=?”
过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6； 4+6=10… 算 得 不 亦 乐 乎 时 ， 高 斯 站 起 来 回 答 说 ：
解得
a4d
从而这三边的长是
3d, 4d, 5d,
因此，这三条边的长的比是3：4：5
S 练习 1.根据下列条件，求相应的等差数列 a n 的 n
( ( (1 S 2 3 ) 5 ) )a a a S 0 1 1 1 15 0 5 1 0 1 3 2 ,1 a ,0 n a 0 ,(0 d n 5 25 0 9 （ 9 5 0 0 ,2 )5 n 2 5 2 3 0 ,1 ,n 5 )n 1 0 ( .;5 1 2 0 0 ); ;40 2S5 nSSnnn5 1ann0 （ （ n（ aan211221)aadnn))
a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ，
为回避个数问题，做一个改写
S n a 1 a 2 a 3 a n 2 a n 1 a n ，
S n a n a n 1 a n 2 a 3 a 2 a 1 ，
(则3)在a等m+差a数n=列{aapn+}中a，q 若m+n=p+q（m，n，p，q是正整数），
(4)如果a, A, b 成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.
A ab 2
S n a 1 a 2 a 3 a n 1 a n 叫做数列 an 的前n项和。
两式左右分别相加，得
2Sn(a1an)(a2an1)(a3an2) (an2a3)(an1a2)(ana1)
2Snn(a1an)
于是有：Sn

n(a1 an) 2
.这就是倒序相加法.
等差数列的前n项和公式
Sn
n（a1an) 2

n(am
anm1) 2
“1+2+3+…+100=5050。
老师问：“你是如何算出答案的？
高斯的算法： 首项与末项的和：1+100=101, 第2项与倒数第2项的和：2+99=101, 第3项与倒数第3项的和：3+98=101, ……
第50项与倒数第50项的和：50+51=101. 于是所求的和为：(110)01005050 上述求解过程带给我们什么启2示？
解之得： n19,n23（舍去）
∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54
例 3 、 以 知 等 差 数 列 a n 的 前 四 项 和 为 2 5 ， 最 后
四 项 和 为 6 3 ， 前 n 项 和 为 2 8 6 ， 求 项 数 n 。
解： a1 a2 a3 a4 25 (1)
S199(119291) 99 =19900
猜想 设Sn是等差数列{an}的前n项的和,
即 S n a 1 a 2 a n 1 a n
n(a1 an) 2
问题：设等差数列a n 的首项为 a 1 ，公差为d，
S n a 1 a 2 a 3 a n ?
Sn
n（a1an) 2
答：集合M共有14个元素，它们的和等于735.
例5 已知一个直角三角形的三条边的长成等 差数列，求证它们的比是3：4：5.
证明： 将成等差数列的三条边的长从小到大排列，
它们可以表示为 a-d, a, a+d (这里a-d>0,d>0)
由勾股定理，得到
(ad)2a2(ad)2
前n项和(1)
复习：
(1)什么叫等差数列?
如果一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等差数列.其表示为:
anan1d(d为常 ,n2 数 )
(2)a等n=差a数1+列(n的-1通)d项公a n 式 是a 什m 么( ?n m ) d(其 中 n ,m N )
的元素个数，并求这些元素的和.
解： 7n10 0n100142
7
7
所以集合M中的元素共有14个. 将它们从小到大列出，得

7 , 27, 37, 47, , 147,
即 7，14，21，28，…，98
这个数列是成等差数列，记为 a n
a 1 7 ,a 1 49,n 8 14 S1414(729)873.5
a na 1(n 1 )dSn n1an（n21)d
a 1a n(n 1 )dSn nann（n21)d
例1. 求等差数列5，7，9 … ， 2n+7的各项之和.
解： 此题中的等差数列共有n+2项
所以各项之和为：
S(52n7)(n2) 2
(n6)n (2)
n28n12
例2. 等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？
解：设题中的等差数列为{ a n } ，前n项和为 S n
则 a 1 1 ,d 0 ( 6 ) ( 1 ) 0 4 ,S n 54
由公式可得 10nn(n1)454 2
an an1 an2 an3 63 (2)
2 1得 4(a1 an ) 88
a1 an 22
sn

n(a1 2
an )

286
n 26
例4 求集合 M m |m 7 n ,n N * ,且 m 1 0 0
(1)任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与 末项的和; (2)所求的和可以用首项、末项及项数来表示.
计算: 1+2+…3++199=? … 解：设 s199= 1+ 2+ 3+ +197+198+199
… s199=199+198+197+ + 3+ 2 + 1
2s199=(1+199)+(2+198)+(3+197)+ … +(197+3)+(198+2)+(199+1)