非线性规划和多目标规划模型-数学建模
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
cij ( xi x j ) ( yi y j ) 64
0 0 2 0 0 2
这样不碰撞约束条件就变为：
fij (t ) 0, t min(Ti , T j ), i j
i 1 6
s.t.
dij (i i , j j , t ) 8
i j
6 目标函数也可以定义为 min max i
1i 6
i
10/43
第5讲 非线性规划和多目标模型
我们来简单看一下其复杂程度 （1）区域内飞行时间：假设飞行角度为θi ’= θi + Δ θi
2 0 i 0 j 2
（2）计算任意飞机在t时刻两者的距离：
dij (i i , j j , t ) ( x vt cos(i i ) x vt cos( j j )) ( yi vt sin(i i ) y j vt sin( j j ))
数学建模 —从自然走向理性之路
第5讲 非线性规划和多目标模型
【主要内容】 介绍非线性规划模型和多目标规划模型的 主要特点和求解。 【主要目的】 了解非线性规划问题和多目标规划问题的 建模与求解，重点在模型的建立与结果的分析
2/43
非线性规划模型 (Nonlinear Programming)
建立模型 非线性规划问题：目标函数或约束条件组中有一个 或一个以上是变量的非线性函数。 非线性规划问题的一般描述为：
min f ( X ), X Rn gi ( X ) 0, i 1, 2, L , m s.t. h j ( X ) 0, j 1, 2, L , l
`
第5讲 非线性规划和多目标模型
3/43
第5讲 非线性规划和多目标模型
非线性规划问题求解
非线性规划问题的最优值不一定在可行域的边界达到；
在建模过程中，应该尽量建立线性规划模型而避免
非线性规划模型。
如对于问题
min x1
i 1
n
s.t. Ax b
作变换
xi xi xi xi ui , vi 2 2
ui 0, vi 0
5/43
显然
第5讲 非线性规划和多目标模型
且
xi ui vi xi ui vi
飞行管理视频1.wmv
9/43
第5讲 非线性规划和多目标模型
模型建立与求解 模型一：设第 i 架飞机在调整时的 方向角为θi ,调 整角度为Δ θi （ i ＝1，2，…，6）。任意两架飞机在区 域内的t时刻最短距离为dij(θi , θj , t)，那么问题的非线性 规划模型为
min i
相应的原非线性规划问题变换为：
min (ui vi )
i 1
n
A(ui vi ) b s.t. ui 0, vi 0, i 1, 2, L , n
6/43
第5讲 非线性规划和多目标模型 例1 飞行管理问题（CUMCM95A) 在高空中一个边长为160公里的正方形区域内，经 常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和 速度均由计算机记录其数据。当一架欲进入该区域的飞 机到达区域边缘时，要立即计算并判断其是否会与区域 内的飞机碰撞。如果会碰撞，则要计算如何调整各架 （包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。现 假定条件如下： 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里； 每架飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度； 所有飞机飞行速度均为800公里/小时；
0 0 2
11/43
第5讲 非线性规划和多目标模型
整理后，距离可写成： 2 2 fij (t ) dij (t ) 64 zij bij zij cij .
其中：
i i j j zij 2vt sin 2 i i j j i i j j 0 0 0 0 bij 2 ( x j xi )sin ( yi y j ) cos 2 2
一般求的是局部最优解，但局部最优解并不一定是全局
最优解
迭ห้องสมุดไป่ตู้法是主要求解方法: 通常从一个初始解出发，在可
行域中沿着使得目标函数降低的方向前进到下一个解。
一般求解方法：罚函数法，拉格朗日乘子法，近似规划
法等,或者采用智能算法，如：遗传算法，模拟退火算
法，蚁群算法等。
4/43
第5讲 非线性规划和多目标模型
7/43
第5讲 非线性规划和多目标模型
欲进入飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应 在60公里以上； 最多需考虑6架飞机； 不必考虑飞机离开此区域后 的状况。
请你建立数学模型，对以下数据进 行计算（方向角误差不超过0.01度），要求飞机飞行方向 角调整的幅度尽量小。
8/43
第5讲 非线性规划和多目标模型
D xi0 D yi0 yi0 3 ' ' ' ' , if 0 i , tan i or i 2 , tan i , ' 0 0 2 2 D xi D xi v cos i D x0 D yi0 D yi0 ' ' ' ' i , if 0 i , tan i or i , tan i , ' 0 0 2 2 D xi xi v sin i Ti 0 0 0 x D y y 3 i i , if i' , tan i' or i' , tan i' i0 , ' 0 v cos 2 2 xi xi i yi0 yi0 yi0 3 3 ' ' ' ' , if i , tan i 0 or i 2 , tan i ' 0 2 2 v sin x D x i i i
0 0 2 0 0 2
这样不碰撞约束条件就变为：
fij (t ) 0, t min(Ti , T j ), i j
i 1 6
s.t.
dij (i i , j j , t ) 8
i j
6 目标函数也可以定义为 min max i
1i 6
i
10/43
第5讲 非线性规划和多目标模型
我们来简单看一下其复杂程度 （1）区域内飞行时间：假设飞行角度为θi ’= θi + Δ θi
2 0 i 0 j 2
（2）计算任意飞机在t时刻两者的距离：
dij (i i , j j , t ) ( x vt cos(i i ) x vt cos( j j )) ( yi vt sin(i i ) y j vt sin( j j ))
数学建模 —从自然走向理性之路
第5讲 非线性规划和多目标模型
【主要内容】 介绍非线性规划模型和多目标规划模型的 主要特点和求解。 【主要目的】 了解非线性规划问题和多目标规划问题的 建模与求解，重点在模型的建立与结果的分析
2/43
非线性规划模型 (Nonlinear Programming)
建立模型 非线性规划问题：目标函数或约束条件组中有一个 或一个以上是变量的非线性函数。 非线性规划问题的一般描述为：
min f ( X ), X Rn gi ( X ) 0, i 1, 2, L , m s.t. h j ( X ) 0, j 1, 2, L , l
`
第5讲 非线性规划和多目标模型
3/43
第5讲 非线性规划和多目标模型
非线性规划问题求解
非线性规划问题的最优值不一定在可行域的边界达到；
在建模过程中，应该尽量建立线性规划模型而避免
非线性规划模型。
如对于问题
min x1
i 1
n
s.t. Ax b
作变换
xi xi xi xi ui , vi 2 2
ui 0, vi 0
5/43
显然
第5讲 非线性规划和多目标模型
且
xi ui vi xi ui vi
飞行管理视频1.wmv
9/43
第5讲 非线性规划和多目标模型
模型建立与求解 模型一：设第 i 架飞机在调整时的 方向角为θi ,调 整角度为Δ θi （ i ＝1，2，…，6）。任意两架飞机在区 域内的t时刻最短距离为dij(θi , θj , t)，那么问题的非线性 规划模型为
min i
相应的原非线性规划问题变换为：
min (ui vi )
i 1
n
A(ui vi ) b s.t. ui 0, vi 0, i 1, 2, L , n
6/43
第5讲 非线性规划和多目标模型 例1 飞行管理问题（CUMCM95A) 在高空中一个边长为160公里的正方形区域内，经 常有若干架飞机作水平飞行。区域内每架飞机的位置和 速度均由计算机记录其数据。当一架欲进入该区域的飞 机到达区域边缘时，要立即计算并判断其是否会与区域 内的飞机碰撞。如果会碰撞，则要计算如何调整各架 （包括新进入的）飞机飞行的方向角，以避免碰撞。现 假定条件如下： 不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里； 每架飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度； 所有飞机飞行速度均为800公里/小时；
0 0 2
11/43
第5讲 非线性规划和多目标模型
整理后，距离可写成： 2 2 fij (t ) dij (t ) 64 zij bij zij cij .
其中：
i i j j zij 2vt sin 2 i i j j i i j j 0 0 0 0 bij 2 ( x j xi )sin ( yi y j ) cos 2 2
一般求的是局部最优解，但局部最优解并不一定是全局
最优解
迭ห้องสมุดไป่ตู้法是主要求解方法: 通常从一个初始解出发，在可
行域中沿着使得目标函数降低的方向前进到下一个解。
一般求解方法：罚函数法，拉格朗日乘子法，近似规划
法等,或者采用智能算法，如：遗传算法，模拟退火算
法，蚁群算法等。
4/43
第5讲 非线性规划和多目标模型
7/43
第5讲 非线性规划和多目标模型
欲进入飞机在到达区域边缘时，与区域内飞机的距离应 在60公里以上； 最多需考虑6架飞机； 不必考虑飞机离开此区域后 的状况。
请你建立数学模型，对以下数据进 行计算（方向角误差不超过0.01度），要求飞机飞行方向 角调整的幅度尽量小。
8/43
第5讲 非线性规划和多目标模型
D xi0 D yi0 yi0 3 ' ' ' ' , if 0 i , tan i or i 2 , tan i , ' 0 0 2 2 D xi D xi v cos i D x0 D yi0 D yi0 ' ' ' ' i , if 0 i , tan i or i , tan i , ' 0 0 2 2 D xi xi v sin i Ti 0 0 0 x D y y 3 i i , if i' , tan i' or i' , tan i' i0 , ' 0 v cos 2 2 xi xi i yi0 yi0 yi0 3 3 ' ' ' ' , if i , tan i 0 or i 2 , tan i ' 0 2 2 v sin x D x i i i