【备战2021】(上海版)高考数学一轮试题分项汇编 专题02 函数(含解析)理

专题02 函数

一．基础题组

1. 【2014上海,理4】设???+∞∈-∞∈=],

,[,),

,(,)(2a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为_____________.

【答案】(,2]-∞

【考点】分段函数.

2. 【2014上海,理9】若2

13

2)(x x x f -=，则满足0)(

【考点】幂函数的性质. 3. 【2013上海,理6】方程31313

x

+-＝3x －1

的实数解为______． 【答案】log 34

4. 【2013上海,理12】设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝9x ＋2

a x

＋7.

若f (x )≥a ＋1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围为______．

【答案】(－∞，8

7

-

]

5. 【2013上海,理14】对区间I上有定义的函数g(x)，记g(I)＝{y|y＝g(x)，x∈I}．已知定义域为[0,3]的函数y＝f(x)有反函数y＝f－1(x)，且f－1([0,1))＝[1,2)，f－1((2,4])＝[0,1)．若方程f(x)－x＝0有解x0，则x0＝______.

【答案】2

6. 【2012上海,理7】已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________．

【答案】(－∞，1]

7. 【2012上海,理9】已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝__________. 【答案】－1

8. 【2011上海,理1】函数

1

()

2

f x

x

=

-

的反函数为f－1(x)＝______.

【答案】1

+2 x

9. 【2011上海,理13】设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数．若函数f(x)＝x＋g(x)在区间[3,4]上的值域[－2,5]，则f(x)在区间[－10,10]上的值域为______．

【答案】[－15,11]

10. 【2011上海,理16】下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )

A ．1

ln ||

y x = B ．y ＝x 3 C ．y ＝2|x | D ．y ＝cos x 【答案】A

11. 【2010上海,理8】对任意不等于1的正数a ，函数)3(log )(+=x x f a 的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是 ； 【答案】)2,0(-

【点评】反函数是高考常考的知识点，一般难度都不大.当与反函数图像有关时，要注意反函数与原函数的图象关于直线y x =对称.

12. 【2010上海,理17】若0x 是方程31

)2

1(x x

=的解，则0x 属于区间

[答]（ ）

（A ）（

1,32）. （B ）

（32,21）. （C ）（21,31） （D ）（3

1

,0） 【答案】C

【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，隐含着对指数函数的性质、分数指数幂、连续函数的性质等知识的考查，把对方程的根的研究转化为对函数零点的考察是解题的关键. 13. (2009上海,理20)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.

有时可用函数

?

??????

>--≤-+=6,4

44,6,ln 151.0)(x x x x x

a a x f ∶

描述学习某学科知识的掌握程度.其中x 表示某学科知识的学习次数(x∈N *

),f(x)表示对该学科知识的掌握程度,正实数a 与学科知识有关.

(1)证明:当x≥7时,掌握程度的增长量f(x+1)-f(x)总是下降;

(2)根据经验,学科甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121］,(121,127］,(127,133］.当学习某学科知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科. 【答案】(1) 参考解析;(2) 乙学科

14. 【2018上海,理4】若函数f (x )的反函数为f －1

(x )＝x 2

（x ＞0），则f (4)＝ .

15. 【2018上海,理8】设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是 .

16. 【2018上海,理11】方程x 2

+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x

的图像交点的横

坐标，若x 4

+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i

)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y

＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 .

17. 【2017上海,理1】函数()()lg 43

x f x x -=

-的定义域为_____

18. 【2017上海,理3】函数()1

x f x x =

-的反函数()1

_____f x -=

19．【2017上海,理4】方程96370x x

-?-=的解是_____

20. 【2016上海,理3】若函数)(x f ＝x

a （a ＞0，且a ≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则a ＝ ． 【答案】

2

1

21. 【2016上海,理11】若曲线2

y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 ．

【答案】k =0、b ∈(－1，1)

22. 【2015上海,理1】函数)1(log )(4+=x x f 的反函数)(1

x f -=__________.

【答案】14-x

23. 【2015上海,理2】方程0224=-+x

x

的解是__________ 【答案】x=0

24. 【2015上海,理10】函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________ 【答案】31<

25. 【2015上海,理13】若函数1

21

)(+=

x

x f ，则该函数在()+∞∞-,上是（ ） A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值 D ．单调递增有最大值 【答案】A

26. 【2015上海,理16】设定义域为R 的函数?

?

?=≠-=1,01

||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程

0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（ ）

A ．0c

B ．0>b 且0

C ．0

D ．0≥b 且0=c 【答案】C

二．能力题组

1. 【2014上海,理12】设常数a 使方程sin 3x x a +=在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x ，则

123x x x ++= .

【答案】

73

π

【考点】解三角方程，方程的解与函数图象的交点．

2. 【2014上海,理18】??

?

??>++≤-=,

0,1

,0,)()(2x a x x x a x x f 若)0(f 是)(x f 的最小值，则a 的取值范围为（ ）. (A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D) [0,2] 【答案】D

【考点】分段函数的单调性与最值问题．

3. 【2013上海,理20】甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每一小时可获得的利润是3

100(51)x x

+-元．

(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润． 【答案】(1) 3≤x ≤10 ;(2) 6千克/小时, 最大利润为457 500元

4. 【2012上海,理20】已知函数f(x)＝lg(x＋1)．

(1)若0＜f(1－2x)－f(x)＜1，求x的取值范围；

(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g(x)＝f(x)，求函数y＝g(x)(x∈[1,2])的反函数．

【答案】(1)

21

33

x

-<<; (2) y＝3－10x，x∈[0，lg 2]

5. 【2012上海,理21】海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线2

1249

y x

；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .

(1)当t ＝0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；

(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？ 【答案】(1) 949海里,北偏东7

arctan

30

弧度 (2) 时速至少是25海里才能追上失事船

因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．

6. 【2011上海,理20】已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x

，其中常数a ，b 满足ab ≠0.

(1)若ab ＞0，判断函数f (x )的单调性；

(2)若ab ＜0，求f (x ＋1)＞f (x )时的x 的取值范围． 【答案】(1) 单调递减;(2) 32

log ()2a x b

<-

7. (2009上海,理22)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分. 已知函数y=f -1

(x)是y=f(x)的反函数.定义:若对给定的实数a(a≠0),函数y=f(x+a)与y=f -1

(x+a)互为反函数,则称y=f(x)满足“a 和性质”;若函数y=f(ax)与y=f -1

(ax)互为反函数,则称y=f(x)满足“a 积性质”. (1)判断函数g(x)=x 2

+1(x ＞0)是否满足“1和性质”,并说明理由; (2)求所有满足“2和性质”的一次函数;

(3)设函数y=f(x )(x ＞0)对任何a ＞0,满足“a 积性质”.求y=f(x)的表达式. 【答案】(1)不满足; (2) k=-1,f(x)=-x+b(b∈R) ;(3) 参考解析

三．拔高题组

1. 【2014上海,理20】（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分.

设常数0≥a ，函数a

a x f x x -+=22)(

（1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1

x f

y -=；

（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由.

【答案】（1）1

21()2log 1x f

x x -+??

=+ ?-??

，(,1)(1,)x ∈-∞-+∞；

（2）1a =时()y f x =为奇函数，当0a =时()y f x =为偶函数，当0a ≠且1a ≠时()y f x =为非奇非偶函数．

【考点】反函数，函数奇偶性．

2. 【2018上海,理19】(8’+8’)已知函数f(x)＝2x－

1 2|x|

⑴若f(x)＝2，求x的值

⑵若2t f(2t)+m f(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围

3. 【2017上海,理18】近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，已知2002年全球太阳能年生产量为670兆瓦，年增长率为34%。在此后的四年里，增长率以每年2%的速度增长（例如2003年的年生产量增长率为36%）

（1）求2016年的太阳能年生产量（精确到0.1兆瓦）

（2）已知2016年太阳能年安装量为1420兆瓦，在此后的4年里年生产量保持42%的增长率，若2010年的年安装量不少于年生产量的95%，求4年内年安装量的增长率的最小值（精确到0.1%）

4. 【2017上海,理19】已知函数()2

(0,)a

f x x x a R x

=+

≠∈ （1）判断()f x 的奇偶性 （2）若()f x 在[)2,+∞是增函数，求实数a 的范围

5. 【2016上海,理22】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）

已知函数y ＝x ＋x

a

有如下性质：如果常数a ＞0，那么该函数在(0，a ]上是减函数，在[a ，

＋∞)上是增函数．

（1）如果函数y ＝x ＋x

b

2（x ＞0）的值域为[6，＋∞)，求b 的值；

（2）研究函数y ＝2

x ＋

2x c

（常数c ＞0）在定义域内的单调性，并说明理由； （3）对函数y ＝x ＋x a 和y ＝2

x ＋2x

a （常数a ＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研

究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数)(x F ＝n x x )1(2+＋n

x x

)1(2+（n 是

正整数）在区间[2

1

，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

【答案】（1）b=log29;（2）参考解析;（3）参考解析