习题1_第1章矢量分析8

1.19计算矢量 r 对一个球心在原点、半径为 的球表面的积分，并求 计算矢量 对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分 的球表面的积分，
r
r （2） 方法一： ∇⋅ r = 3 ） 方法一：
z
∫
V
r = 4πa3 ∇⋅ rdV = ∫ 3dV
V
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r dS
O
v en
y
方法二： 方法二：
r r
∫
V
r r r ∇⋅ rdV = ∫ r ⋅ dS = 4πa3
z
r r ∂ r ∂ r ∂ r r r ∇⋅ A = (ex +ey +ez )⋅ (ex Ax +ey Ay +ez Az ) ∂x ∂y ∂z
∂A ∂Ay ∂A + z = x+ ∂x ∂y ∂z
= 2x + 2x2 y +72x2 y2z2
(2)
y x
∫
V
r ∇⋅ AdV =
∫ ∫ ∫
1 1 1 2 2 2 1 1 1 − − − 2 2 2
S
∫∑
i= 1
i
=∫
1 2 1 − 2
∫
1 2 1 − 2 1 2 1 − 2
1 2 1 − 2
1 2 1 − 2
+∫ +∫
r 1 r r1 r A( , y, z)⋅ exdydz + ∫ ∫ A(− 2 , y, z) ⋅ (−ex )dydz 2 1 r r 1 S6 2 S2 A(x, , z) ⋅ (ey )dxdz ∫−1 2 2 z S3 1 r S4 r 1 2 ∫−1 A(x,− 2, z)⋅(−ey )dxdz 2
r ∂Ex r = eykE0 sin( ωt −kz +ϕ0 ) = ey ∂z
r r r ∂B ∇ 若 ×E = − ， B 求 ∂t r r r ∂B = −∇×E = −eykE sin( ωt −kz +ϕ0 ) 0 ∂t r r ∂B r B=∫ dt = −eykE0 ∫ sin( ωt −kz +ϕ0 ) ∂t
1 1 12 2 1 = 6⋅ ⋅ ( + )= ⋅ = 9 8 8 3 16 24
1 ∫ Az (x, y, 2)dxdy 2 1 1 2 1 2 2 ∫−1 (4 x − 4 x 1)dxdz 2 1 + ∫21 ∫21 (3+3)x2 y2dxdy 1
− 2 − 2
1 2 1 − 2
r ∇⋅ r 对球体积的积分。 对球体积的积分。 r r r r ：（1） 解：（ ） r = ex x + ey y + ez z r r r r r ⋅ dS =∫ era ⋅ erdSr = a∫ dSr = 4πa3 ∫S S S
z a
= 2πaB(a) rr r 若 知 B(r)⋅ dl = µ0I 已 ∫
C
r dl
µ0I B(a) = 2πa r r r µ0I B(r ) = eϕ 2πa
r r r 例2 已知 E = exE0 cos(ωt −kz +ϕ0) ，求 ∇×E r r ∂Ez ∂Ey r ∂Ex ∂Ez r ∂Ey ∂Ex ∇×E = ex ( − ) +ey ( − ) +ez ( − ) ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
(2x + 2x2 y +72x2 y2z2 )dxdydz
8 1 13 8 1 = ( + ) = ⋅ 3 8 8 3 64
1 = 24
r 1.18 (3）求 A对此立方体表面的积分，验证散度定理。 对此立方体表面的积分，验证散度定理。 ） r r r r r r 6 A⋅ dS = 6 A⋅ dS = ∑ A⋅ dS ∫ S
r r F穿过面元矢量 dS 的通量 r r r r dψ = F(x, y, z) ⋅ endS = F(x, y, z) ⋅ dS
穿过曲面S 穿过曲面S的通量
r r dS = endS
v en
r F(x, y, z)
ψ =∫
S
r r F ⋅ dS
穿出闭合曲面S 穿出闭合曲面S的通量 r r ψ = ∫ F ⋅ dS
球坐标系下散度的计算公式
r 1 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂ ∇⋅ F = 2 (r F ) + (sin θF ) + (F ) r θ φ r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ
散度定理： 散度定理：
∫
S
r r r F ⋅ dS = ∫ ∇⋅ FdV
V
环流的概念
的环流：矢量场对有向闭合曲线 矢量场对闭合曲线C 的环流：矢量场对有向闭合曲线C 的曲线积分
r r r ex ey ez ∂ ∂ ∂ = ∂x ∂y ∂z F Fy F x z
r = ∇×F
r ∂ r ∂ r ∂ ∇ = ex +ey +ez ∂x ∂y ∂z
立方体表面的积分，验证散度定理。 立方体表面的积分，验证散度定理。
r r 2 r r 2 1.18 求（1）矢量 A = ex x +ey (xy) +ez 24x2 y2z3 的散度；（ ）求 的散度；（ ；（2） ） r r 对中心在原点的一个单位立方体的积分；（ ；（3） ∇⋅ A 对中心在原点的一个单位立方体的积分；（ ）求 A 对此
环流面密度
r r r 1 rot n F = lim ∫C F ⋅ dl ∆S→ ∆ 0 S r 环流面密度与点M 处的方向 en 环流面密度与 有关。 有关。
r rot n F
r en
矢量场的旋度
矢量场在 M 点的旋度为一矢 点的旋度 旋度为一矢 量，其数值为M 点的环流 面密 其数值为 度的最大值， 度的最大值，其方向为取得环量 的法线方向。 密度最大值时面积元 的法线方向。
∆ S
M
C
r rotF
r r en
rot n F
r r r rot n F = en ⋅ rotF
∆ S
M
C
物理意义：矢量场在M点的旋度是该点的旋涡源密度矢量。 物理意义：矢量场在M点的旋度是该点的旋涡源密度矢量。
直角坐标系下旋度的计算公式
r r ∂F ∂Fy r ∂Fy ∂F r ∂Fy ∂F z z rotF = ex ( − ) + ey ( − ) + ez ( − x) ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
r k = ey E0 cos(ωt −kz +ϕ0 ) +C
ω
• 圆柱坐标系下的场矢量 r r r r A = eρ Aρ +eφ A +ez Az φ
r r r r B = eρ Bρ +eφ B +ez Bz φ
r r r r r A+ B = eρ (Aρ + Bρ ) +eφ (A + B ) +ez (Az + Bz ) ϕ φ r r r A⋅ B = Aρ Bρ + A B + Az Bz ϕ φ A
r r r eρ eϕ ez r r A×B = A A Az ρ ϕ Bρ B Bz ϕ
r B
• 1.2.3 圆柱坐标系
坐标变量
z
ρ,φ, z
z
坐标单位矢量
ρ
r r r eρ , eφ , ez
x
r r(ρ,φ, z)
o φ
ρ y
坐标曲面 ρ曲面：ρ =Const圆柱面 曲面： 曲面 圆柱面 φ曲面：φ =Const半平面 曲面： 曲面 半平面 z曲面： z =Const平面 曲面： 曲面 平面
r r er (r3 + Ar2 ) r ≤a E = r 5 4 −2 r >a er (a + Aa )r
rr r ρ(r) =ε0∇⋅ E(r)
r 1 ∂ 2 ∇⋅ E = 2 (r Er ) = r ∂r
1 (5r4 + 4Ar3)= 5r4 + 4Ar r≤a r2
0 r>a
r 1 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂ ∇⋅ F = 2 (r F ) + (sin θF ) + (F ) r θ φ r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ
1 2 1 − 2 1 2 1 − 2
i=1
∫
Si
+∫
∫
1 2 1 − 2
r r 1 A(x, y,− ) ⋅ (−ez )dxdy 2 r 1 r A(x, y, ) ⋅ ezdxdy 2
x
S1
y
+∫
1 2 1 − 2
∫
1 2 1 − 2
S5
r r r 验 了 A⋅ dS = ∫∇⋅ AdV 证 ∫
坐标单位矢量是坐标曲线的单位切向矢量。 坐标单位矢量是坐标曲线的单位切向矢量。 坐标曲线是坐标曲面的交线。 坐标曲线是坐标曲面的交线。 ρ曲线：φ曲面与 曲面的交线 曲线： 曲面与 曲面与z 曲线 φ曲线：ρ曲面与 曲面的交线 曲线： 曲面与 曲面与z曲面的交线 曲线 z曲线：ρ曲面与 曲面的交线 曲线： 曲面与 曲面与φ曲面的交线 曲线 z zρ
S
矢量场穿出闭合面S的通量 的通量 大小反映了场在S内的发散情况 内的发散情况， 大小反映了场在 内的发散情况， 也反映了S内通量源的大小 内通量源的大小。 也反映了 内通量源的大小。 通量的计算步骤： 通量的计算步骤：
r dS
；（2） （1）选取合适的坐标系表示场；（ ）在坐标系下确定面 ）选取合适的坐标系表示场；（ 元的法向矢量；（ ；（3）确定面元的表达式；（ ；（4） 元的法向矢量；（ ）确定面元的表达式；（ ）将曲面积分 转化为多变量积分。（（ 。（（1， ， ）步有时可以省略） 转化为多变量积分。（（ ，2，3）步有时可以省略）
S V
r r 2 r r 2 A = ex x +ey (xy) +ez 24x2 y2z3
r r ∫ A⋅ dS =
S
∫ ∫
∫
1 2 1 − 2
1 2 1 − 2
1 2 1 − 2
1 1 A ( , y, z)dydz − ∫21 x − 2 2
∫
1 2 1 − 2
1 Ax (− , y, z)dydz 2
矢量场的散度
r r div F ( r ) = lim
∫
S
r r F ⋅ dS ∆V
∆V → 0
直角坐标系下散度的计算公式： 直角坐标系下散度的计算公式：
r r ∂Fx ∂Fy ∂Fz r divF (r ) = + + = ∇⋅F ∂x ∂y ∂z r ∂ r ∂ r ∂ ∇ = ex +ey +ez ∂x ∂y ∂z
面上以原点为圆心半径为a的逆时针圆周 例1：求磁感应强度沿 ：求磁感应强度沿xoy面上以原点为圆心半径为 的逆时针圆周 r r 面上以原点为圆心半径为 r 的环流。 的环流。 B(r) = eϕ B(ρ) 解：
∫ =∫
C
C
rr r B(r)⋅ dl r r eϕ B(a)⋅ eϕdl
C
= B(a)∫ dl
= 4πa E(a)
2
r dS
O
v en
y
r r
x
rr r 例4：已知空间电场分布为 E(r) = eρ E(ρ) ，求电场强 ：
度穿过以z轴为轴线半径为 高度为 的闭合圆柱面的通量。 度穿过以 轴为轴线半径为a高度为 的闭合圆柱面的通量。 轴为轴线半径为 高度为h的闭合圆柱面的通量 rr r rr r ∫S E(r)⋅ dS = ∫S +S +S E(r)⋅ dS r r r r + ∫ eρ E(ρ) ⋅ ezdS r r S = ∫ eρ E(ρ) ⋅ (−ez )dS + ∫ eρ E(a) ⋅ eρdS S S
Γ = ∫C
r r F(x, y, z) ⋅ dl
r r F ⋅ dl = F cosθdl
环流描述穿过S面的涡旋源的总量。 环流描述穿过 面的涡旋源的总量。 面的涡旋源的总量 环流的计算步骤： 环流的计算步骤：
(x, y, z) r dl
θ r
F
S
（1）选取合适的坐标系表示场；（2）在坐标系下确 ）选取合适的坐标系表示场； ） ；（4） 定线元矢量； ）确定线元的表达式；（ 定线元矢量；（3）确定线元的表达式；（ ）将曲线分 转化为变量积分。（（ 。（（1， ， ）步有时可以省略） 转化为变量积分。（（ ，2，3）步有时可以省略）
+∫
1 2 1 − 2
1 1 Ay (x, , z)dxdz − 21 ∫−2 2
∫
1 2 1 − 2
1 Ay (x,− , z)dxdz 2
−∫ =∫
1 2 1 − 2
1 2 1 − 2 1 2 1 − 2
∫
1 2 1 − 2
1 1 A (x, y,− )dxdy + 2 z ∫−1 2
∫
1 1 1 ( − )dydz + ∫21 − 4 4 2
S
x
rr r 例1：已知空间电场分布为 E(r ) = er E(r)，求电场强 ：
度穿过以坐标原点为球心半径为a的闭合球面的通量。 度穿过以坐标原点为球心半径为 的闭合球面的通量。 的闭合球面的通量 rr r ∫ E(r)⋅ dS
S
=∫
S
r r er E(a)⋅ erdS
S
z
= E(a)∫ dS
1 2 3
3 1 2
= E(a)∫ dS
S2
S3
z
= 2πahE(a)
r eρ
r dS
S2
r dS
o
r eρ
y
S1 a
x
P54例2.4.1 半径为 的球形区域内充满分布不均匀的体密 例 半径为a的球形区域内充满分布不均匀的体密 r 。若已知电场分布为 度电荷， 度电荷，设其体密度为 ρ(r ) A为常数，求电荷体密度。 为常数，求电荷体密度。 为常数