过程控制技术-第二章 过程控制系统的数学模型

2 过程控制系统的数学模型
③比例环节 微分方程式： y（ｔ）＝Ｋx（ｔ） 传递函数： Ｇ（ｓ）＝Ｋ 比例环节又称无惯性环节或放大环节。 ④ 积分环节 微分方程式： T dy(t ) Kx(t )
i
dt
传递函数：
K G (s) Ti s
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⑤微分环节（理想微分）
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可见，环节并联后总的传递函数等于各环节传递 函数的代数和。
Y ( s) Y1 ( s) Y2 ( s) Y3 ( s ) G(S ) G1 ( s) G2 ( s) G3 ( s) X ( s) X ( s)
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（3）反馈连接 如图２-5所示，输出Ｙ（ｓ）经过一个反馈环节 Ｈ（ｓ）后，反馈信号Ｚ（ｓ）与输入Ｘ（ｓ） 相加减，再作用到传递函数为Ｇ（ｓ）的环节。
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（1） 建立原始方程式：
dL1 A1 F1 F2 dt
dL2 A2 F2 F3 dt
L1 F2 R1
L2 F3 R2
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（2）若输入变量Ｆ1 ，输出变量Ｌ2 。 （3）消去中间变量得数学模型：联立式（２14）、式（２-15）、式（２-16）和式（２-17） 四个方程式并整理得：
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一阶被控对象的数学模型
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图２-１所示的蒸汽直接加热器是一个简单传热 对象，（a）图是由蒸汽直接加热器构成的温 度控制系统，（b）图是控制系统中的被控对 象方块图。工艺要求热流体温度（即容器内温 度）保持恒定值，温度控制器根据被测温度信 号与设定值的偏差，经计算后去控制控制阀， 以控制加热蒸汽的流量，使被控温度达到工艺 要求。蒸汽是通过喷嘴与冷流体直接接触的热 交换过程，故必符合热量平衡关系。
输出变量的拉氏变换 G(s) 输入变量的拉氏变换
Y (s) 初始条件为零 X ( s)
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（2） 典型环节及其传递函数 过程控制系统是由基本环节所组成的，所谓基 本环节就是典型环节。只要数学模型一样，它 们就是同一种环节，因此典型环节为数不会太 多。一阶环节又称惯性环节。 微分方程式： T dy(t ) y (t ) Kx(t ) dt
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（5） 分支点的前移或后移,则需乘以或除以越过 的环节传递函数，如图２-10所示。
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在进行方块图的等效变换时，还需注意几点。 ① 方块图的等效变换其目的是化简方块图，考虑问题 时应从如何把一个复杂的方块图通过等效变换，化简 成基本的串联、并联、反馈三种组合方式。采用的方 法一般是移动比较点或分支点来减少内反馈回路。 ② 反馈连接与并联连接要区分清，特别是在复杂方块 图中易搞错。反馈是信号从环节的输出端取出引回到 环节的输入端；并联是信号从环节的输入端取出引向 到环节的输出端。 ③ 在基本变换规则中指出，比较点可互换，分支点可 互换。但比较点与分支点不能互换次序。
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2. 过程控制系统的方块图简化 方块图等效变换的规则 所谓等效变换，即经过对方块图变换或简化后， 没有改变其传递函数的表达形式，没有改变输 入和输出的动态关系，这种变换称为等效变换。
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（1） 各支路信号相加或相减时，与加减的次序 无关，即连续的比较点（相加减点）可以任意 交换次序。如图２-6所示。
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（2） 在总线路上引出分支点时，与引出次序无 关，即连续分支点可以任意交换次序。如图２7所示。
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（3） 线路上的负号可以在线路前后自由移动,并 可越过某环节方块，但它不能越过比较点和分 支点，如图２-8所示。
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（4） 比较点的前移或后移，则需乘以或除以所 越过的环节传递函数，如图２-9所示。
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（3）消去中间变量得微分方程式 所谓中间变量就是原始动态方程式中出现的一 些既不是输入变量又不是输出变量的变量。
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（4）通道数学模型 所谓通道是指对象输入变量至输出变量的信号 联系。控制作用至被控变量的信号联系称之为 对象的控制通道。扰动作用至被控变量的信号 联系称之为对象的扰动通道。
U Mc Tout
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二阶被控对象的数学模型
• 二阶被控对象数学模型的建立与一阶类似。由于二 阶被控对象实际是复杂的，下面仅以简单的实例作 一介绍。 • 【例2-2】 两个串联的液体储罐如图2-2所示。为便 于分析，假设液体储罐１和储罐２近似为线性对象， 阻力系数Ｒ1、Ｒ2近似为常数。
【例２-3】 图２-11(a)所示方块图是互交反馈，等 效变换的具体方法是移动比较点a或移动分支点b， 正确方法是(b)、(c)图，(d)图为错误方法。
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（1）列写原始动态方程式 依据热量平衡关系式：
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（2）确定输入变量和输出变量 由图２-１（ｂ）所示可知，被控对象的输出变 量就是被控变量热流体出口温度Ｔout；输入变 量是表征控制作用和扰动作用的变量，控制作 用是蒸汽热量q s的变化，扰动作用则是冷流体 的流量F in或冷流体的温度Ｔin的变化。
d2y dy a 2 b cy Kx dt dt
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上述介绍的是理论推导被控对象的数学模型方 法，对于简单的被控对象（或进行理想化）是 容易的，实际生产过程中的被控对象十分复杂， 工程中需要依靠实验方法获取被控对象的数学 模型，详见本章第三节专门介绍。
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2.2过程控制系统的传递函数
描述系统或环节特性的数学模型可以是微 分方程式，而传递函数是描述过程控制系统或 环节动态特性的另一种数学模型表达式。 传递函数可以更直观、形象地表示出一个 系统的结构和系统各变量间的相互关系，并使 运算大为简化。经典控制理论就是在传递函数 的基础上建立起来的。
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今后在习惯上为书写的便利，可以将一阶微分 方程式中的增量“Δ”省略，但要理解为是相应 变量的增量。因此，一阶被控对象的数学模型 便可写成：
dy T y Kx dt
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于是上述所讨论的温度对象的阻力系数是：
T 1 热阻Ｒ＝温差/热量流量＝ q FinC
＝
容量系数是： 热容Ｃ＝被储存的热量的变化/温度的变化＝
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关于建立被控对象数学模型（微分方程式）的一般步 骤可归纳为： （1）根据被控对象的内在机理，列写基本的物理学定律 作为原始动态方程式； （2）根据被控对象的结构及工艺生产要求进行基本分析， 确定被控对象的输入变量和输出变量； （3）消去中间变量，得到只含有输入变量和输出变量的 微分方程式； （4）若微分方程式是非线性的，则需要进行线性化。
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可见，环节串联后总的传递函数等于各环节传 递函数的乘积。
Y ( s) Y ( s) Y2 ( s ) Y1 ( s ) G( s) X ( s ) Y2 ( s ) Y1 ( S ) X ( s )
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（2）并联 对于并联的各个环节输入都相同，而它们的输出的代 数和就是环节总的输出,如图２-4所示。
传递函数： G(s)
K Ts 1
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②二阶环节 二阶环节微分方程式的一般形式为：
d 2 y (t ) dy(t ) T1T2 (T1 T2 ) y(t ) Kx( t) 2 dt dt
传递函数：
K G( s) T1T2 s 2 (T1 T2 ) s 1
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式（２-７）中q s0是常数项，因此式（２-７） 成为只有输出变量（被控变量）Ｔout与输入变 量Ｔin的微分方程式，该式称为蒸汽直接加热器 扰动通道的微分方程式。
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（5）建立增量方程式 输出变量和输入变量用增量形式表示的方程式 称为增量方程式。变量进行增量化处理后，使 方程不必考虑初始条件；能使非线性特性化成 线性特性；而且符合线性自动控制系统的情况。 因为在过程控制系统中，主要是考虑被控变量 偏离设定值的过渡过程，而不考虑在t＝０时刻 的被控变量。现以蒸汽直接加热器为例，说明 增量方程式的列写方法。
dL1 L1 A1 F1 dt R1
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式（２-21）就是图２-2所示两个串联液体储罐 当输入变量为Ｆ1、输出变量为Ｌ2时的数学模 型。同时可知是两个独立的储罐构成的二阶对 象， 其特性是两个独立的一阶特性的串联。 二阶被控对象的数学模型一般形式（线性常系 数）为：
bm s bm1s b1s b0 Y (s) X (s ) n n 1 an s an 1s a1s a0
m
m 1
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过程控制系统或环节的传递函数，就是在零初始 条件下，系统或环节输出变量y（ｔ）的拉氏变 换Ｙ（ｓ）与输入变量x（ｔ）的拉氏变换X （ｓ）之比， 记作：
微分方程式：
dx(t ) y (t ) Td dt
传递函数：Ｇ（ｓ）＝Ｔｄs
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⑥纯滞后环节 纯滞后环节又称延迟环节。 微分方程式： y（t）＝x（ｔ-τ） 传递函数： Ｇ（ｓ）＝ｅ-τs
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过程控制系统的方块图及其简化
• 环节基本组合方式及其传递函数 （1）串联 环节串联是最常见的一种组合方式，如图２-3所示。 串联组合方式中，前一环节的输出即为后一环节的 输入（后一环节对前一环节的输出没有影响即没有 负载效应）。由图2-3可得

数学模型 描述被控对象（或环节）特性的数学表达式 称为被控对象（或环节）的数学模型； 描述过程控制系统特性的数学表达式称为系 统的数学模型。
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数学模型可以有不同的表示形式: (1) 如微分方程式、传递函数和频率特性表示式， 它们常用于经典控制理论； (2)而状态空间表达式这种数学模型又常用于现 代控制理论。 各种数学模型表示形式可以互相转换，微 分方程式是最基本的表示形式。
过程控制技术
第二讲 被控对象的数学模型
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所谓被控对象（或环节）的特性，就是被控 对象（或环节）的输出变量与输入变量之间的 关系。 其特性可以用关系曲线表示，具有直观、简 单、明了的特点； 若用数学表达式来描述更具有普遍意义。
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2.1被控对象的数学模型
传递函数 一般过程控制系统或环节的动态方程式可写成：

dny d n 1 y dy d mx d m 1 x dx an an 1 n 1 a1 a0 y bm m bm 1 m 1 b1 b0 x dtn dt dt dt dt dt
整理后得出：
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通过上述示例及多个示例分析，可以发现虽然 被控对象的物理过程不一样，只要它们具有相 同的数学模型，即都是一阶微分方程式，故称 为一阶被控对象。现在将它们表示为一般形式：
d y T y K x dt
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由图２-5可推导： Ｙ（ｓ）＝Ｇ（s）［Ｘ（s）-Ｚ（s）］＝Ｇ（s） ［Ｘ（s）-Ｈ（s）Ｙ（s）］ 所以，反馈连接后其总的传递函数为：
Y (s) G (s ) W ( s) X ( s) 1 G( s) H ( s)
正反馈
Y (s) G (s ) W ( s) X ( s) 1 G( s) H ( s)