第8章 相关与回归分析
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果关系。
8.1.1 相关关系
（3）相关分析：对于现象间是否存在相关关系、相
关关系的表现形式以及相关密切程度的分析，称为
相关分析。 2.相关关系的种类
完全相关时 是函数关系
（1）按相关关系的形式不同分：线性相关与非线性 相关
（2）按相关关系的方向不同分：正相关与负相关
（3）按相关关系涉及变量（因素）的多少分：单相 关与复相关
下图中，钢产量与吨钢利润之间存在明显的正相 关，相关形式基本呈直线形式。
相关表和相关图，只适合用来考察两个现象之间 的相关关系，不能用于考察多个变量间的相关关系。
作业1：要求手写截图，包含题目、名字、学号
1. 相关分析是研究现象(事物）间是否存在______ ， 相关 关系的______以及相关___ ___的分析。 2.变量间的关系一般分为几种？分别描述这几种关系。 3.相关关系的分类： 按相关关系的形式分为： ______与_____ ； 按相关关系的方向分为： ______与_____ ； 按相关关系的密切程度分： _____ 、 _____与_____。 4.可通过______与______方法来描述与直观判断相关关系
• 概念
因素（因子），指所要检验的对象。
水平：因子在实验中的不同状态或因素的具体表现称为水平。不同 水平可看作不同组（类）。 单因素方差分析：在实验中变化的因素只有一个。 多因素方差分析：在实验中变化的因素有两个或以上。
双因素方差分析，两个变化的因素即两个分类自变量A、B对某个
数值型因变量的影响。
• 单因素方差分 无交互作用的方差分析和有交互作用的方差分析。
8.1.2直线相关系数
1.直线相关系数的计算
直线相关系数通常采用积差法公式计算，由英国统计学
家卡尔•皮尔逊（K.Pearson）最先提出，故又称为皮尔
逊相关系数，用r表示直线相关系数，则变量x与y的直线
相关系数为：
r
Covx, y
Var ( x) Var ( y)
r
1 n
x
xy
y
1 n
(x
2
x)
1 n
（1）函数关系：确定性的数量关系。 两个变量中，当一个变量值（自变量）确定后，另一
个变量值（因变量）也就完全确定了，这两个变量之 间的关系就是确定性值关系。 比如圆的面积与半径之间，自由落体运动的时间与下 降的高度之间，等等。 反映现象之间存在着严格的依存关系，也就是具有确 定性的对应关系，这种关系可用一个数学表达式反映 出来。
(y
2
y)
n xy x y
n x2 ( x)2 n y2 ( y)2
8.1.2直线相关系数
2.直线相关系数的取值与相关密切程度 P179 直线相关系数性质：
直线相关系数|r|≤1； r>0 两者线性正相关关系； r<0 两者线性负相关关系； r的绝对值越大，表明现象间的直线相关程度越高： |r|=1时，完全相关，即为函数关系； |r|= 0时，完全不相关，即不存在直线相关关系。 皮尔逊相关系数的经验解释： |r|<0.3时，两变量微弱相关，可视为不相关； 0.3≤|r|<0.5，两变量弱相关，可视为低度相关； 0.5≤|r|<0.8，两变量显著相关，可视为中度相关； |r|≥0.8，两变量高度相关。
y2
9025 10816 19044 24336 22500 29584 39204 41209 195718
8.1.2直线相关系数
解： 用Excel 的相关分析方法 （1）利用Excel排序、散点图观察
读入（输入）数据 勾选要分析的数据→插入→图表→散点图（第一个）
8.1.2直线相关系数
（2）计算相关系数，利用Excel直接依据简化公式 手工计算相关系数，计算过程见上表。
8.1.1 相关关系
（2）相关关系：非确定性的依存关系。 两个变量中，当一个变量值（自变量）确定后，另一
个变量值（因变量）可以在一定范围内变化，称这种 不确定性的关系为相关关系。 比如农作物的收获量与浇水量、施肥量之间，居民的 消费支出与收入之间，等等。
现象之间确实存在数量上的依存关系，即某一社会经济现象变 化要引起另一社会经济现象的变化；
回顾总结
• 方差分析
ANOVA
• 条件
特殊的假设检验：多个总体均值是否相等提出假设,然后利用 样本的信息验证先前提出的假设是否成立。 方差分析是检验多个总体均值是否相等的统计推断方法； 本质上，方差分析是研究分类型自变量（因素）对数值型因 变量（水平）是否有显著影响。
总体服从正态分布/总体方差相同/观察值独立
1057
156
1146
150
1324
172
1557
198
1730
203
8797
1216
xy
x2
45790 232324 62712 363609 123924 806404 164892 1117249 171900 1313316 227728 1752976 308286 2424249 351190 2992900 1456422 11003027
析步骤
1)提出假设 H0: 1 = 2 = 3 2)构建检验统计量及分布。
=…，H1:
F
Mi S(iA=1，S2S，A3/ …(k不1全) 相等。
3) F与F进行比较，
MSE SSE / (n k)
若F >F ,拒绝原假设，因素对观察值有显著影响；
若F≤F ,不能拒绝原假设，因素对观察值没有显著影响；
现象之间的这种依存关系是不严格的，还受其他偶然因素影响。
8.1.1 相关关系
函数关系的特点： 是一一对应的确定关系：变量间表现为函数形式，给
定自变量值，有唯一的因变量的值对应； 当把自变量和因变量投射到坐标轴上，各观测点在一
条直线或曲线上 。
相关关系的特点： 一个变量的取值不能由另一变量唯一确定； 对大量数据进行观察，可以发现许多变量间存在着一
研究现象(事物）间是否存在相关关系、相关 关系的表现形式以及相关密切程度的分析，称 为相关分析。
8.1 相关分析
• 8.1.1 相关关系 • 8.1.2 直线相关系数 • 8.1.3 等级相关系数 • 8.1.4 相关系数的显著性检验 • 8.1.5 相关分析的步骤
8.1.1 相关关系
1、变量间的关系一般分为两类： 确定性关系(函数关系)和非确定性关系(相关关系)
（3）利用Excel中直线相关系数函数CORREL计算。
8.1.2直线相关系数
3、Excel 的相关分析法 （4）利用Excel数据分析中的相关系数计算。 工具→数据分析→相关系数→确定
8.1.2直线相关系数
输入区域选择B1：C9→ 勾选“逐列”→ 勾选“标志位于第一行”→ 输出区域选择C15→确定
（4）按相关关系的密切程度分：完全相关、不完全 相关、完全不相关
8.1.1 相关关系
3.相关关系的描述与直观判断
（1）相关表
相关表是根据得到的数据，将一个变量的观测 值按从小到大（或从大到小）的顺序排列在表的一 栏，将另一变量的观测值对应排列在表的另一栏， 由此形成的统计表，通过相关表可以判断变量之间 相关的方向及大致形态。
P值决策：若P<α,拒绝原假设，各分类总体的均值不同
第八章 数据的相关与回归分析
• 8.1 相关分析 • 8.2 一元线性回归分析 • 8.3 多元线性回归分析 • 8.4 非线性回归模型
对数据分析
回顾
找特征、推断、预测
数据分类 数据分组 频率分布
集中趋势 离散程度
点估计
假设检验
区间估计 方差分析
的特征。
8.1.2直线相关系数
变量间的相关关系：由相关表和相关图直观展现， 适合考察两个变量之间的相关关系。
通过相关分析，对变量间存在数量关系的密切程度进 行测度，是对客观事物之间关系的定量分析方法。 密切程度：用相关系数反映变量间的密切程度；它是 一个样本统计量。
•直线相关系数：度量两个数值型变量线性相关的密 切程度； •等级直线相关系数：度量两个数值型表示顺序变量 的相关密切程度；
r
n xy x y
n x2 ( x)2 n y2 ( y)2
8 1456422 8797 1216
0.991
8 11003027 87982 8 195718 12162
计算结果表明，钢产量与吨钢利润之间的直线相 关系数为0.991，两者存在相当高的正相关关系。
8.1.2直线相关系数
相关系数r的意义
r=1
r=0.9
r=-1
r=-0.8
r=0.1
r=0
8.1.2直线相关系数
例5-2：研究表中钢产量与吨钢利润之间有无关联，通过 调查得到8个厂的生产情况。
钢厂 编号
1 2 3 4 5 6 7 8 合计
钢产量 吨钢利润 xy
482
95
603
104
898
138
相关图又叫散点图，是将观测到的两个现象的 成对数据，绘制在直角坐标中得到的一系列的散点， 称为相关图。相关图比相关表可以更直观地描述现 象间有无相关关系、相关的表现形式以及相关的近 似密切程度。
8.1.1 相关关系
如图所示，a和b中两个变量存在较明显的相关 关系，c则不存在明显的相关关系。
8.1.1 相关关系
输出结果
8.1.2直线相关系数
钢产量 x 吨钢利润 y
钢产量 x
1
吨钢利润 y 0.991429
1
直线相关系数=0.991429
钢产量与吨钢利润有相当高的正相关关系
8.1.2直线相关系数
SPSS 中相关分析(介绍)
如果单纯从数学对物理的影响来考虑,就是考虑这两者之 间的相关关系
我们在生活中,碰到很多相关关系的问题:
商品销售收入 粮食产量
? K×广告支出经费
? K×施肥量
?
付出
K×收入
人体脂肪含量
? K×年龄
生活中数学题
吃披萨，点了个9寸（直径）的，没有了。 如果服务员端来两份5寸（直径）的说多送您一寸。 你接受吗？为什么？ 披萨圆的，假设厚度一样，量取决于？ 圆的面积 圆面积公式是S=π r² ，计算如下， 9寸的面积=3.14*4.5*4.5= 63.585平方寸 5寸的面积= 3.14*2.5*2.5= 19.625平方寸 用数学思维描述世界
8.1.1 相关关系
钢厂 编号
1
钢产量 吨钢利润
xy
482
95
xy 45790
x2 232324
y2 9025
2
603
104 62712 363609 10816
3
898
138 123924 806404 19044
4
1057
156 164892 1117249 24336
5
1146
150 171900 1313316 22500
（3）利用Excel中直线相关系数函数CORREL计算。 鼠标选定C11 ， 点公式→统计 → CORREL →
8.1.2直线相关系数
（3）利用Excel中直线相关系数函数CORREL计算。 鼠标选定C11→ 在数列1输入钢产量数据B2:B9 在数列2输入吨钢利润数据C2:C9 →确定
8.1.2直线相关系数
8.1 相关分析
哲学原理：
世界是一个普遍联系的整体
数据的描述性分析 抽样数据的推断分析
针对某个单独对象 的内在规律数据
现实中的现象并非完全独立； 现象与现象之间存在一定的相互联系； 可能表现为相互依赖、相互制约、相互影响。
6
1324
172 227728 1752976 29584
7
1557
198 308286 2424249 39204
8
1730
203 351190 2992900 41209
合计
8797
1216 1456422 11003027 195718
8.1.1 相关关系
3.相关关系的描述与直观判断
（2）相关图
定的客观规律。
8.1.1 相关关系
•函数关系与相关关系的区别： 函数关系反映的是一种确定性关系，即自变量与因 变量在数量上一一对应，而相关关系所反映的现象 之间的数量关系值不固定，自变量的一个取值对应 因变量在数量上有若干值。 •函数关系与相关关系的联系： 函数中变量之间的关系往往通过高度相关的形式表 现出来；而对于存在相关关系的现象，通常采用函 数关系式来近似描述现象之间的数量关系。 • 因果关系通常是相关关系，相关关系不一定是因
分类型变量对数值型变量的影响
变量间的关系的度量
小明,你数学成绩不太 好,物理怎么样?
学不好数学,物 理也是学不好的
也不太好啊. ?????...
你认为老师的说法对吗?
事实上,我们在考察数学成绩对物理成绩影响的同时, 还必须考虑到其他的因素:爱好,努力程度
数学 成绩
物理成绩
学习 兴趣
花费 时间
其他 因素
8.1.1 相关关系
（3）相关分析：对于现象间是否存在相关关系、相
关关系的表现形式以及相关密切程度的分析，称为
相关分析。 2.相关关系的种类
完全相关时 是函数关系
（1）按相关关系的形式不同分：线性相关与非线性 相关
（2）按相关关系的方向不同分：正相关与负相关
（3）按相关关系涉及变量（因素）的多少分：单相 关与复相关
下图中，钢产量与吨钢利润之间存在明显的正相 关，相关形式基本呈直线形式。
相关表和相关图，只适合用来考察两个现象之间 的相关关系，不能用于考察多个变量间的相关关系。
作业1：要求手写截图，包含题目、名字、学号
1. 相关分析是研究现象(事物）间是否存在______ ， 相关 关系的______以及相关___ ___的分析。 2.变量间的关系一般分为几种？分别描述这几种关系。 3.相关关系的分类： 按相关关系的形式分为： ______与_____ ； 按相关关系的方向分为： ______与_____ ； 按相关关系的密切程度分： _____ 、 _____与_____。 4.可通过______与______方法来描述与直观判断相关关系
• 概念
因素（因子），指所要检验的对象。
水平：因子在实验中的不同状态或因素的具体表现称为水平。不同 水平可看作不同组（类）。 单因素方差分析：在实验中变化的因素只有一个。 多因素方差分析：在实验中变化的因素有两个或以上。
双因素方差分析，两个变化的因素即两个分类自变量A、B对某个
数值型因变量的影响。
• 单因素方差分 无交互作用的方差分析和有交互作用的方差分析。
8.1.2直线相关系数
1.直线相关系数的计算
直线相关系数通常采用积差法公式计算，由英国统计学
家卡尔•皮尔逊（K.Pearson）最先提出，故又称为皮尔
逊相关系数，用r表示直线相关系数，则变量x与y的直线
相关系数为：
r
Covx, y
Var ( x) Var ( y)
r
1 n
x
xy
y
1 n
(x
2
x)
1 n
（1）函数关系：确定性的数量关系。 两个变量中，当一个变量值（自变量）确定后，另一
个变量值（因变量）也就完全确定了，这两个变量之 间的关系就是确定性值关系。 比如圆的面积与半径之间，自由落体运动的时间与下 降的高度之间，等等。 反映现象之间存在着严格的依存关系，也就是具有确 定性的对应关系，这种关系可用一个数学表达式反映 出来。
(y
2
y)
n xy x y
n x2 ( x)2 n y2 ( y)2
8.1.2直线相关系数
2.直线相关系数的取值与相关密切程度 P179 直线相关系数性质：
直线相关系数|r|≤1； r>0 两者线性正相关关系； r<0 两者线性负相关关系； r的绝对值越大，表明现象间的直线相关程度越高： |r|=1时，完全相关，即为函数关系； |r|= 0时，完全不相关，即不存在直线相关关系。 皮尔逊相关系数的经验解释： |r|<0.3时，两变量微弱相关，可视为不相关； 0.3≤|r|<0.5，两变量弱相关，可视为低度相关； 0.5≤|r|<0.8，两变量显著相关，可视为中度相关； |r|≥0.8，两变量高度相关。
y2
9025 10816 19044 24336 22500 29584 39204 41209 195718
8.1.2直线相关系数
解： 用Excel 的相关分析方法 （1）利用Excel排序、散点图观察
读入（输入）数据 勾选要分析的数据→插入→图表→散点图（第一个）
8.1.2直线相关系数
（2）计算相关系数，利用Excel直接依据简化公式 手工计算相关系数，计算过程见上表。
8.1.1 相关关系
（2）相关关系：非确定性的依存关系。 两个变量中，当一个变量值（自变量）确定后，另一
个变量值（因变量）可以在一定范围内变化，称这种 不确定性的关系为相关关系。 比如农作物的收获量与浇水量、施肥量之间，居民的 消费支出与收入之间，等等。
现象之间确实存在数量上的依存关系，即某一社会经济现象变 化要引起另一社会经济现象的变化；
回顾总结
• 方差分析
ANOVA
• 条件
特殊的假设检验：多个总体均值是否相等提出假设,然后利用 样本的信息验证先前提出的假设是否成立。 方差分析是检验多个总体均值是否相等的统计推断方法； 本质上，方差分析是研究分类型自变量（因素）对数值型因 变量（水平）是否有显著影响。
总体服从正态分布/总体方差相同/观察值独立
1057
156
1146
150
1324
172
1557
198
1730
203
8797
1216
xy
x2
45790 232324 62712 363609 123924 806404 164892 1117249 171900 1313316 227728 1752976 308286 2424249 351190 2992900 1456422 11003027
析步骤
1)提出假设 H0: 1 = 2 = 3 2)构建检验统计量及分布。
=…，H1:
F
Mi S(iA=1，S2S，A3/ …(k不1全) 相等。
3) F与F进行比较，
MSE SSE / (n k)
若F >F ,拒绝原假设，因素对观察值有显著影响；
若F≤F ,不能拒绝原假设，因素对观察值没有显著影响；
现象之间的这种依存关系是不严格的，还受其他偶然因素影响。
8.1.1 相关关系
函数关系的特点： 是一一对应的确定关系：变量间表现为函数形式，给
定自变量值，有唯一的因变量的值对应； 当把自变量和因变量投射到坐标轴上，各观测点在一
条直线或曲线上 。
相关关系的特点： 一个变量的取值不能由另一变量唯一确定； 对大量数据进行观察，可以发现许多变量间存在着一
研究现象(事物）间是否存在相关关系、相关 关系的表现形式以及相关密切程度的分析，称 为相关分析。
8.1 相关分析
• 8.1.1 相关关系 • 8.1.2 直线相关系数 • 8.1.3 等级相关系数 • 8.1.4 相关系数的显著性检验 • 8.1.5 相关分析的步骤
8.1.1 相关关系
1、变量间的关系一般分为两类： 确定性关系(函数关系)和非确定性关系(相关关系)
（3）利用Excel中直线相关系数函数CORREL计算。
8.1.2直线相关系数
3、Excel 的相关分析法 （4）利用Excel数据分析中的相关系数计算。 工具→数据分析→相关系数→确定
8.1.2直线相关系数
输入区域选择B1：C9→ 勾选“逐列”→ 勾选“标志位于第一行”→ 输出区域选择C15→确定
（4）按相关关系的密切程度分：完全相关、不完全 相关、完全不相关
8.1.1 相关关系
3.相关关系的描述与直观判断
（1）相关表
相关表是根据得到的数据，将一个变量的观测 值按从小到大（或从大到小）的顺序排列在表的一 栏，将另一变量的观测值对应排列在表的另一栏， 由此形成的统计表，通过相关表可以判断变量之间 相关的方向及大致形态。
P值决策：若P<α,拒绝原假设，各分类总体的均值不同
第八章 数据的相关与回归分析
• 8.1 相关分析 • 8.2 一元线性回归分析 • 8.3 多元线性回归分析 • 8.4 非线性回归模型
对数据分析
回顾
找特征、推断、预测
数据分类 数据分组 频率分布
集中趋势 离散程度
点估计
假设检验
区间估计 方差分析
的特征。
8.1.2直线相关系数
变量间的相关关系：由相关表和相关图直观展现， 适合考察两个变量之间的相关关系。
通过相关分析，对变量间存在数量关系的密切程度进 行测度，是对客观事物之间关系的定量分析方法。 密切程度：用相关系数反映变量间的密切程度；它是 一个样本统计量。
•直线相关系数：度量两个数值型变量线性相关的密 切程度； •等级直线相关系数：度量两个数值型表示顺序变量 的相关密切程度；
r
n xy x y
n x2 ( x)2 n y2 ( y)2
8 1456422 8797 1216
0.991
8 11003027 87982 8 195718 12162
计算结果表明，钢产量与吨钢利润之间的直线相 关系数为0.991，两者存在相当高的正相关关系。
8.1.2直线相关系数
相关系数r的意义
r=1
r=0.9
r=-1
r=-0.8
r=0.1
r=0
8.1.2直线相关系数
例5-2：研究表中钢产量与吨钢利润之间有无关联，通过 调查得到8个厂的生产情况。
钢厂 编号
1 2 3 4 5 6 7 8 合计
钢产量 吨钢利润 xy
482
95
603
104
898
138
相关图又叫散点图，是将观测到的两个现象的 成对数据，绘制在直角坐标中得到的一系列的散点， 称为相关图。相关图比相关表可以更直观地描述现 象间有无相关关系、相关的表现形式以及相关的近 似密切程度。
8.1.1 相关关系
如图所示，a和b中两个变量存在较明显的相关 关系，c则不存在明显的相关关系。
8.1.1 相关关系
输出结果
8.1.2直线相关系数
钢产量 x 吨钢利润 y
钢产量 x
1
吨钢利润 y 0.991429
1
直线相关系数=0.991429
钢产量与吨钢利润有相当高的正相关关系
8.1.2直线相关系数
SPSS 中相关分析(介绍)
如果单纯从数学对物理的影响来考虑,就是考虑这两者之 间的相关关系
我们在生活中,碰到很多相关关系的问题:
商品销售收入 粮食产量
? K×广告支出经费
? K×施肥量
?
付出
K×收入
人体脂肪含量
? K×年龄
生活中数学题
吃披萨，点了个9寸（直径）的，没有了。 如果服务员端来两份5寸（直径）的说多送您一寸。 你接受吗？为什么？ 披萨圆的，假设厚度一样，量取决于？ 圆的面积 圆面积公式是S=π r² ，计算如下， 9寸的面积=3.14*4.5*4.5= 63.585平方寸 5寸的面积= 3.14*2.5*2.5= 19.625平方寸 用数学思维描述世界
8.1.1 相关关系
钢厂 编号
1
钢产量 吨钢利润
xy
482
95
xy 45790
x2 232324
y2 9025
2
603
104 62712 363609 10816
3
898
138 123924 806404 19044
4
1057
156 164892 1117249 24336
5
1146
150 171900 1313316 22500
（3）利用Excel中直线相关系数函数CORREL计算。 鼠标选定C11 ， 点公式→统计 → CORREL →
8.1.2直线相关系数
（3）利用Excel中直线相关系数函数CORREL计算。 鼠标选定C11→ 在数列1输入钢产量数据B2:B9 在数列2输入吨钢利润数据C2:C9 →确定
8.1.2直线相关系数
8.1 相关分析
哲学原理：
世界是一个普遍联系的整体
数据的描述性分析 抽样数据的推断分析
针对某个单独对象 的内在规律数据
现实中的现象并非完全独立； 现象与现象之间存在一定的相互联系； 可能表现为相互依赖、相互制约、相互影响。
6
1324
172 227728 1752976 29584
7
1557
198 308286 2424249 39204
8
1730
203 351190 2992900 41209
合计
8797
1216 1456422 11003027 195718
8.1.1 相关关系
3.相关关系的描述与直观判断
（2）相关图
定的客观规律。
8.1.1 相关关系
•函数关系与相关关系的区别： 函数关系反映的是一种确定性关系，即自变量与因 变量在数量上一一对应，而相关关系所反映的现象 之间的数量关系值不固定，自变量的一个取值对应 因变量在数量上有若干值。 •函数关系与相关关系的联系： 函数中变量之间的关系往往通过高度相关的形式表 现出来；而对于存在相关关系的现象，通常采用函 数关系式来近似描述现象之间的数量关系。 • 因果关系通常是相关关系，相关关系不一定是因
分类型变量对数值型变量的影响
变量间的关系的度量
小明,你数学成绩不太 好,物理怎么样?
学不好数学,物 理也是学不好的
也不太好啊. ?????...
你认为老师的说法对吗?
事实上,我们在考察数学成绩对物理成绩影响的同时, 还必须考虑到其他的因素:爱好,努力程度
数学 成绩
物理成绩
学习 兴趣
花费 时间
其他 因素