信号空间分析

m
∑ kiαi = 0 。
i =1
若仅当 k1= k2=…= km=0 时上式才成立，则称此向量组是 线性无关的。
[推论 1.1] 当 m≥2 时，向量组{α1, α2,…, αm}线性相关的 充分必要条件是，其中至少有一个向量 αi (1≤i≤m)可由组中其 余向量线性表出。
[定义 1.5] 如果在线性空间 V 中能够找到无线多个线性 无关的向量，则称 V 为无限维的；而若在 V 中只能找到有限 多个线性无关的向量，则称 V 是有限维的，并且把最大线性 无关向量的个数称为 V 的维数，记为 dimV。dimV=n 的线性 空间称为 n 维线性空间，记为 Vn。
[定义 1.6] Vn 中给定顺序的 n 个线性无关向量 α1, α2,…,
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αn 所组成的向量组称为 Vn 的一个基，记为 β＝{α1, α2,…, αn}。 Vn 中的向量 αi (1≤i≤n)称为第 i 个基向量。
[定理 1.1] 设 β 是 Vn 的一个基，则 Vn 中的任一向量 ξ 都 可由 β 唯一地线性表出。
|2
dt
。由该范
a
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数的定义可知，||x||2 表示该信号的能量。
[定义 1.12] 定义在区间[a,b]上的实信号的全体构成的线
性空间 S 中，两信号 x(t)和 y(t)之间的距离定义为
∫ d[x(t), y(t)] = x − y =
b
|
x(t)
−
y(t)
|2
dt
a
1.8 标准正交基
[定义 1.13] 欧氏空间 V 中的两个向量 α，β 称为是正交 的，如果有〈α，β〉＝0，并记为 α⊥β。
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①对任意 α、β∈V，有 α+β＝β+α； ②对任意 α、β、γ∈V，有(α+β)+γ＝α+(β+γ)； ③存在０∈V，使得对任意 α∈V，都有 α+０＝α，这个 元“０”称为 V 的零元； ④对任意 α∈V，存在－α∈V，使得 α+(－α)＝０，这个 元“－α”称为 V 的负元； ⑤对任意的 k∈F 和任意 α、β∈V，有 k(α+β)＝kα+kβ； ⑥对任意 α∈V 和任意的 k,l∈F，有(k+l)α=kα+lα； ⑦对任意 α∈V 和任意的 k,l∈F，有 k(lα)=(kl)α； ⑧F 中存在数 1,使得对任意 α∈V，有 1α＝α； 那么称 V 为 F 上的线性空间（或向量空间），记为 V(F)； V 中的元称为向量。定义的加法运算和数乘运算称为 V 的线 性运算。
信号空间分析基础知识
一、线性空间的基础知识
线性空间是由具体的几何平面和空间的特征经过抽象提 炼出来的一个数学概念。通俗地说，在一个集合上定义了线 性运算，并且这种运算满足一定的规则，那么这个非空集就 成为一个线性空间。
1.1 数域的定义
[定义 1.1] 设 F 是一个包含 0 和 1 的一个数集，如果 F 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为 0）仍是 F 中的 数，那么称 F 为数域。
证明：设{α1, α2,…, αn}是 Vn 的一个基，用下述的方法可
以得到一个标准正交基：
第一步：取
β1
=
α1,
ε1
=
|β1 β1|Fra bibliotek第二步：在子空间 span{α1, α2}中找一个向量 β2，使 β2⊥
ε1。为此可令 β2＝α2+ b21ε1，其中 b21 由 β2⊥ε1 定出。
由于 α1, α2 线性无关，从而 ε1, α2 线性无关，故 β2≠0。
这样定义的向量长度具有通常的长度性质： ①|kα|＝|k|·|α|； ②|α|＝0 当且仅当 α＝０； ③对于任一 α≠０，有
α = 1 • α =1 αα
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即 α 是单位向量。这种对一非零向量除以这个向量的长
α
度成为单位向量的方法称为向量的单位化。
1.7 向量范数
向量范数是描述向量“大小”的一种度量，具有比向量 长度更广泛的概念。
k −1
∑ βk = αk + bkjε j j =1
由于{ε1, ε2,…, εk-1, αk}线性无关，故 βk≠0。而由 βk⊥εi，
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有
k −1
∑ 0 = 〈βk ,εi 〉 = 〈αk + bkjε j ,εi 〉 = 〈αk ,εi 〉 + bkj j =1
故 bkj = −〈αk ,εi 〉 (1 ≤ i ≤ k −1)
[例 1.1] 全体实数集 R、全体复数集 C、全体有理数集 Q 等都是数域。而全体正实数集 R+，全体整体集 Z 等都不是 数域。
1.2 线性空间的定义
[定义 1.2] 设 V 是一非空集，F 是数域。对 V 中任意两 个元 α、β，定义一个加法运算，记为“+”：α+β∈V；定义一 个数乘运算：kα∈V，k∈F。如果这两种运算满足以下规则：
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m
∑ β = k1α1 + k2α2 + ... + kmαm = kiαi i =1
是 V(F)的元，称 β 为 α1, α2,…, αm 的一个线性组合，或称 β 可由 α1, α2,…, αm 线性表出。
[定义 1.4] V 中的向量组{α1, α2,…, αm} (m≥1) 称为线 性相关的，如果存在为一组不全为零的数 k1, k2,…, km，使
xi (1≤i≤n)称为 ξ 在下 β 的第 i 个坐标。
[例 1.6] 在 p2(t)中取基 β＝{1,t,t2}，则多项式 p(t)=2t2-t+2 在 β 下的坐标向量是[1 -1 2]T，因为
⎡1⎤ 2t2 − t +1 = 1 1+ (−1) • t + 2 • t2 = ⎡⎣1 t t2 ⎤⎦ ⎢⎢−1⎥⎥
1.3 线性空间的性质
①零元是唯一的。 ②对任意 α∈V，它的负元是唯一的，从而可以定义 V 中两个元 α、β 的减法为 α－β＝α+(－β)。 ③对任意 α∈V，有 0α＝０，(－1)α＝－α；对任意的 k∈F， 有 k０＝０。
1.4 线性空间的维数和基
[定义 1.3] 若 α1, α2,…, αm∈V(F)，k1, k2,…, km∈F，则
[推论 1.2] 设{ε1, ε2,…, εn}是欧氏空间 Vn 的一个标准正交 基，则有
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〈εi ,ε
j〉
= δij
=
⎧1 ⎨⎩0
i = j i, j = 1, 2,..., n i≠ j
反之，若向量组{ε1, ε2,…, εn}满足上式，则它是一个标准 正交基。
[定理 1.3] 欧氏空间中必有标准正交基。
r
∑ span{α1,α2 ,...,αr} = {α | α = kiαi} i =1
是 V 的一个子空间，称为由 α1, α2,…, αr 张成的子空间。
1.6 内积
[定义 1.10] 设 V 是 R 上的实线性空间，如果对任意的 α、 β∈V，都有一个实数〈α，β〉与之对应，并具有下列性质：
①对称性：〈α，β〉＝〈β，α〉； ②可加性：〈α+β，γ〉＝〈α，γ〉+〈β，γ〉； ③齐次性：〈kα，β〉＝k〈α，β〉，k∈R； ④正定性：〈α，α〉≥0，当且仅当 α＝０时才有； 则称〈α，β〉为 α 与 β 的内积。定义了内积的实线性空间 V 称为 Euclid 空间，简称欧氏空间。
注：不管 V 中的元具体是什么，当 F 为实数域 R 时称 V 为实线性空间，当 F 为复数域 C 时称它为复线性空间。
[例 1.2] 全体实 n 维向量组成的集，对于通常意义的向量 加法和数乘向量运算，构成一个实线性空间，记为 Rn。
[例 1.3] 由 F 中的数形成的 m×n 矩阵全体，对于通常定 义的矩阵加法和数乘矩阵，构成 F 上的线性空间，记为 Fm×n。
[例 1.7] 在 Rn 中，定义
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n
∑ 〈 x, y〉 = xT y = xi yi i =1
容易验证它满足内积定义中的四条性质，所以是内积。 这样，Rn 就成为欧氏空间，仍记为 Rn。
[例 1.8] 在 Pn(t)中定义
1
〈 p(t), q(t)〉 = ∫0 tp(t)q(t)dt
容易验证它是内积。在定义了这个内积之后，Pn(t)成为 一个欧氏空间。
[定义 1.12] 设 V 是数域 F 上的线性空间，对 V 中任一向 量 α，都有一个实数||α||与这对应，且满足下列三个条件：
①正定性：||α||≥0，当且仅当时才有||α||＝0； ②齐次性：||kα||＝||k||•||α||，k∈F； ③三角不等式：||α+β||≤||α||+||β||； 则称||α||为 α 的范数，定义了范数的线性空间称为赋范线性空 间。
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[例 1.4] 区间[a,b]上的连续函数的全体，对于通常意义的 函数加法和数乘函数，构成线性空间，记之为 C[a,b]。
[例 1.5] 实数域 R 上的多项式全体，按通常意义上的多 项式加法及数与多项式乘法，构成实线性空间，记为 P(t)。
注：（多项式定义）设 ai∈F，0≤i≤m，t 为变量，则 p(t)=a0tm+ a1tm-1 + …… +am-1t+am 称为 F 上的一个多项式。当 a0≠0 时， p(t)称为 m 次多项式，a0tm 称为 p(t)的首项。系数全为 0 的多 项式称为零多项式，记为 0。零多项式是唯一不定义次数的 多项式，它与零次多项式是不同的。
因此有
∑ βk
= αk
−
k −1
〈αk ,ε j 〉ε j , εk
j =1
=
βk | βk
|
根据归纳法原理，按此方法可以作出两两正交的单位向
量组，它即是 Vn 的一个标准正交基。
这种把一个基化为标准正交基的方法称为 Schmidt 标准
化方法。
[例 1.12] 已知 R3 中的一个基是
⎧ ⎡1⎤ ⎡2⎤ ⎡2⎤⎫
这个定理表明，在 Vn 中取定一个基，那么对任意 ξ∈Vn，
存在唯一的一组数 x1, x2,…, xn，使，
n
∑ ξ = xiαi i =1
用矩阵记号，可表示成：
⎡ x1 ⎤
ξ = [α1
α2
...
α
n
]
⎢ ⎢ ⎢
x2 ...
⎥ ⎥ ⎥
⎢ ⎣
xn
⎥ ⎦
x＝[x1 x2 … xn]T 称为 ξ 在基 β 下的坐标向量（或称坐标），
[定理 1.2] 设{α1, α2,…, αm} (m≥2)是欧氏空间 V 中一组两 两正交的非零向量，则它们必是线性无关的。
这个定理表明，在 n 维欧氏空间 Vn 中，两两正交的非零 向量个数不会多于 n 个，而 n 个两两正交的非零向量就成为 Vn 的一个基。
[定义 1.14] 在欧氏空间 Vn 中，有顺序的 n 个向量所组成 的正交向量组称为一个正交基。由单位向量组成的正交基称 为标准正交基。
⎪ ⎨
x1
⎪
⎩
=
⎢⎢1⎥⎥ ⎢⎣0⎥⎦
,
x2
=
⎢⎢0⎥⎥ , ⎢⎣1⎥⎦
x3
=
⎢⎢⎢⎣12⎥⎥⎥⎦ ⎪⎬⎪⎭
用这个基求 R3 的一个标准正交基。
[例 1.9] 在 C[a,b]中，对任意两个函数 f(x)，g(x)，规定
b
〈 f (x), g(x)〉 = ∫a f (x)g(x)dx
它是内积，从而 C[a,b]成为欧氏空间，仍记为 C[a,b]。
[定义 1.11] 设 α∈V，称非负实数 〈α,α〉 为 α 的长度，记 为|α|。长度为 1 的向量称为单位向量。
故有 0 = 〈β2 ,ε1〉 = 〈α2 + b21ε1,ε1〉 = 〈α2 ,ε1〉 + b21
所以 b21 = −〈α2 ,ε1〉 ，因而有
β2
= α2
− 〈α2 ,ε1〉ε1, ε 2
=
|
β2 β2
|
第三步：现假设已经求出了 ε1, ε2,…, εk-1，它们是两两正
交的单位向量，接下来要找 εk。在子空间中 span{α1, α2,…, αk}= span{ε1, ε2,…, εk-1, αk}找一个向量 βk，使 βk⊥εi (1≤i≤k-1)。 为此令
⎢⎣ 2 ⎥⎦
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1.5 线性空间的子空间
[定义 1.8] 设 W 是线性空间 V 的一个非空子集，如果 W 关于 V 中的线性运算也构成线性空间，则称 W 为 V 的子空 间，记为W ⊂ V 。
[定义 1.9] 设 α1, α2,…, αr (r≥1)是 V 的 r 个向量，它们所 有可能的线性组合所组成的集合
[例 1.10] 在 Cn 上，对于任一向量 x＝[x1 x2 … xn]T，x 的
n
∑ 长度 x =
| xi |2 就是的一种范数，称为欧氏范数，常称
i =1
为 2-范数。
[例 1.11] 定义在区间[a,b]上的实信号的全体构成的线性
∫ 空间 S 中，任一信号 x(t)的范数为 x =
b
|
x(t)