应用极值理论计算VaR的一种方法
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极值分布研究极值的分布情况, 比如最大风险损失等, 在总体分布未知的情况下, 依靠样本数据, 得到 总体中有关极值量估计的变化性质。关于极值理论估计 VaR 的研究, 可见 L ongin( 1996, 2000) 和周开国 ( 2002) 等。这些方法的一个缺点是假定所采用的样本数据是独立同分布的, 因为各组数据间没有相交部 分。实际上, 如果采用较长的历史样本, 由于包含了太多的旧信息, 可能违反 独立同分布的 假定( Hendricks1996) 。我们针对上述问题, 提出了一种利用极值分布估计 VaR 的方法; 此外, 对每组数据长度 n 应 该取多少进行了研究, 结果发现了可以用幂律来得到适当的 n 值。
大。( 2) 无论是长期头寸还是短期头寸, 20 天的子区间长度所得的 VaR 都要大于 10 天对应的 VaR, 因
此, VaR 的值与每组数据长度的大小有关, 那么到底子区间的长度取多大为比较合适的? 下面我们就利 用 R/ S 分析来估计合适 n 的值。
1. 2 R/ S 分析
而对于子区间长度值 的选择, Christ off ersen 等 ( 1998) 建 议子 区间选 为 10 至 15 个 交易日; L ongin ( 2000) 用的是一个月的长度( 21 个交易日) ; 周开国选用 10 和 20 个交易日来考虑, 但都只是根据需要来
0 引言
金融机构面临着多种风险, 例如市场风险、信贷风险、流动性风险、操作风险等等。金融机构特别关注 不利的市场因素变化对资产价值所造成的影响, 即需要估计经过已知时间间隔, 资产组合价值可能减少的 幅度及发生的可能性, 这样就产生了在险价值的概念。在险价值( value at risk, 简称 VaR) 的含义是 处于 风险中的价值 , 是指市场正常波动下, 某一金融资产或证券组合的最大可能损失。可表示为:
作了具体分析, 由此得出计算 VaR 的合理的数据分组大小 。
关键词: 在险价值( VaR) ; 极值理论; 幂律; R/ S 统计量
中图分类号: F832 59
文章标识码: A
文章编号: 1007-3221( 2005) 01- 0052- 05
One Method of Application of Extreme Value Theory to Computing Value-a-t Risk
摘 要: 在险价值( value at risk, 简称 VaR) 是度量市场风险的一种普遍使用的工具, 也是金融风险管理 中的基础
工具。计算 VaR 有许多不同的方 法, 本文考虑了数据 间的相 关性, 通过 部分重叠 数据分 组的方 法来计 算 V aR,
发现 所得到的 VaR 更符合实际; 另外, 我们对分组大小作了研究, 发现分组 数据大小 的幂律存在, 并对 恒生指数
根据上节理论部分的概述, 应用提到的 EVT 方法, 对 3913 个每日对数回报进行分析, 分别取 n= 10, 20, 估计出了极大值极小值序列的极限分布的参数值, 计算出极大值极小值序列对应的 VaR 值, 结果列在 表 1 中。
表 1 恒生指数的广义极值分布的参数估计和由此得到的 VaR 值
极大值序列
位置参数
刻度参数
尾指数
95% V aR
99% V aR
n = 10
2. 458
0. 97111
- 0. 16231
6. 16
9. 09
n = 20
2. 5513
1. 03593
- 0. 26118
ຫໍສະໝຸດ Baidu
7. 20
11. 77
极小值序列
位置参数
刻度参数
尾指数
95% VaR
99% VaR
n = 10
相邻两组重叠数据的个数可以有多种选择, 本文为了方便和周开国( 2002) 所得的结果作比较, 所以只考虑
54
运筹 与管 理
2005 年第 14 卷
重叠 n 个数据的情况。这样就找到了极小值序列和极大值序列{ X ni , i = 1, , N } 和 Y 。
然后, 估计 3 个参数 , , 的值, 最后是用广义极值分布来计算 VaR 值。用极大值序列得到的 VaR 对应于短期头寸( short posit ion) , 记为 V aRshort ; 用极小值得到的 V aR 对应于长期头寸( long posit ion) , 记 为 VaRlong 。根据极值序列的广义极值分布, 我们能得到短期头寸和长期头寸:
1 数值分析方法
1. 1 极值理论
极值理论( ex treme value theory, EVT ) 是研究次序统计量的极值分布特性的理论。 设 X i , i = 1, , n , 是取自总体分布 F 的总体的一个样本, 将其按大小排序:
X ( 1) X (2)
X ( n) ,
则称 X (1) , X (2) , , X ( n) , 为次序统计量, ( X (1) = min( X 1, X 2, , X n) , X ( n) = max ( X 1, X 2, , X n ) 分别称为样本极小值、样本极大值, 统称样本极值统计量。它们的分布称为极值分布。
大样本性质, 具有无偏性、相合性和有效性, 对 GEV 而言, 在具体计算上, 矩估计和极大似然估计一样没
有显式解, 都得解一个非线性方程组, 所以我们采用极大似然法来估计以上 3 个参数。其中利用 New ton-
Raphson 算法对方程组进行求解。 Long in( 2000) 提出的用极值理论估计 VaR 值的一种方法, 是将样本覆盖的整个区间划分成若干个不
收稿日期: 2004-06-25 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 10071082); 博士点基金和科学院特别支持费资助项目 作者简介: 肖敬红( 1979- ) , 研究生, 研究方向: 金融工程与风险管理; 缪柏其, 博士生导师。
第1期
肖敬红, 等: 应用极值理论计算 VaR 的一种方法
叠 n 个数据, 具体的划分方法如下: 假定 R 为指数对数收益率, R 1, R 2, n: 所选择的子区间长度,
, RT 共 T 天的观测值。
定义第 i 组数据为( R ( i - 1) n+ 1, , R ( i + 1) n) , i = 1, 数据重叠, 记第 i 组数据的最小值为 X ni :
53
范围, 有许多优点, 同时也存在不少缺点, 其中一个较明显的缺点就是不能处理金融市场处于极端价格波 动的情形, 如股市崩盘( 一个典型的例子就是 97 年亚洲金融风暴对股市的冲击) 等。因而, 要计算资产组 合的实际 VaR 值, 就不能忽视极端价格波动情形, 必须考虑分布的尾部形态。L ongin 于 1996 年考察了美 国股票市场的极端变动, 用统计上的极值理论给极端变动建模, 开辟了将极值理论应用于风险管理的先 河。
P rob( > V aR ) = 1- p 其中, P 为证券组合的损失; VaR 为置信水平 p 下处于风险中的价值; 根据不同金融机构的要求, p 可以选择不同值, 一般选 95% 和 99% 。 迄今为止, 形成了很多种计算 V aR 的模型, 但是没有一个大家一致公认的最好的方法。现在有三种 普遍使用的方法: RiskM et rics, 历史模拟方法和蒙特卡罗模拟方法。三种方法各有特定的假设条件和适用
第 14 卷 第 1 期 2005 年 2 月
运 筹与 管 理
OPERAT IO NS RESEARCH AN D M ANA GEM EN T SCI EN CE
Vol. 14, No. 1 Feb. 2005
应用极值理论计算 VaR 的一种方法
肖敬红, 缪柏其, 吴振翔
( 中国科学技术大学 统计与金融系, 安徽 合肥 230026)
这里, 、 ( > 0) 分别称为位置参数、刻度参数, 称为尾指数( tail index) , 它的倒数的相反数 k = -
1/ 称为形状参数, k 的绝对值越大, 说明分布的尾越重。 = 0 时, 对应于 Gumbel 分布; < 0, 对应于
F rechet 分布; > 0, 对应于 Weibull 分布。注意此处的 x 值指的是极值。 在 GEV 中有 3 个参数, 通常的参数估计方法是极大似然法和矩估计法。因为极大似然估计有很好的
XIAO Jing- hong, M IAO Ba-i qi, WU Zhen- x iang ( Dep ar t ment of Stat istics and Finance, UST C , H ef ei 230026, Chi na)
Abstract: Value- at- Risk( VaR) is a com monly used t ool t o measure market risk, and also t he basic tool of risk management. T here are many met hods for com put ing VaR. In t his paper we consider t he correlat ion of data, throug h overlapping data t o group all t he dat a t o compute VaR. T he calculat ed VaR is more approx im at e to the fact. In addition, t he size of group is st udied and it follow s power- law . T he H ang Seng Index is analy zed to f ind the reasonable size of data grouping . Key words: Value- at- Risk( VaR) ; ex treme value theory; pow er- law ; R/ S st at ist ic
众所周知, 极值分布有三种形式, Gumbel 分布, Frechet 分布, Weibull 分布, 它们可以用一个统一的形
式来表达, 即广义极值分布( GEV) , 其分布函数为:
G ( x ) = 1- ex p{ - [ 1+ ( x - ) ] 1/ }
x < - / if < 0 x > - / if > 0
重叠的子区间, 每个子区间有 n 个数据。周开国( 2002) 将这种方法直接用于恒生指数的 VaR 估计。由于
研究的恒生指数样本的时间长度较长( 从 1985 年 1 月 1 日到 1999 年 12 月 31 日) , 包含了大量的历史信
息, 可能违反独立同分布的假设, 因此, 我们重新划分区间 T 为若干个子区间, 但每两个相邻的子区间重
- 1. 5046
0. 96495
- 0. 11324
- 4. 91
- 7. 32
n = 20
- 1. 3978
1. 1077
- 0. 21114
- 5. 97
- 10. 00
通过和文献[ 5] 所得结果的比较, 我们可以观察到下列现象: ( 1) 不管是短期头寸还是长期头寸, 本文 计算的 VaR 的绝对值都相对较大, 主要的原因是本文考虑到了数据间的相关性, 所用数据包含的信息量
V aRshort = + [ 1- ( lnp ) ]
( 1)
和
V aRlong= - [ 1- ( lnp ) ]
( 2)
其中, 3 个参数 , , 是由极值序列中求得; p 是置信水平, 可以取 95% 、99% 等等, 这样, 不同置信 水平下的 VaR 值可以算出来。
本文研究恒生指数, 采用的数据覆盖的时间段从 1985 年 1 月 1 日到 1999 年 12 月 31 日, 共 3914 个 交易日, 3913 个每日对数回报。
, N , 其中 N =
T n
, 这时相邻两组数据有 n 个
X ni = min( R ( i - 1) n+ 1, , R ( i+ 1) n) , i = 1, , N
记第 i 组数据的最大值为 Y ni :
Y ni = max( R ( i - 1) n+ 1. , R ( i+ 1) n) , i = 1, , N
大。( 2) 无论是长期头寸还是短期头寸, 20 天的子区间长度所得的 VaR 都要大于 10 天对应的 VaR, 因
此, VaR 的值与每组数据长度的大小有关, 那么到底子区间的长度取多大为比较合适的? 下面我们就利 用 R/ S 分析来估计合适 n 的值。
1. 2 R/ S 分析
而对于子区间长度值 的选择, Christ off ersen 等 ( 1998) 建 议子 区间选 为 10 至 15 个 交易日; L ongin ( 2000) 用的是一个月的长度( 21 个交易日) ; 周开国选用 10 和 20 个交易日来考虑, 但都只是根据需要来
0 引言
金融机构面临着多种风险, 例如市场风险、信贷风险、流动性风险、操作风险等等。金融机构特别关注 不利的市场因素变化对资产价值所造成的影响, 即需要估计经过已知时间间隔, 资产组合价值可能减少的 幅度及发生的可能性, 这样就产生了在险价值的概念。在险价值( value at risk, 简称 VaR) 的含义是 处于 风险中的价值 , 是指市场正常波动下, 某一金融资产或证券组合的最大可能损失。可表示为:
作了具体分析, 由此得出计算 VaR 的合理的数据分组大小 。
关键词: 在险价值( VaR) ; 极值理论; 幂律; R/ S 统计量
中图分类号: F832 59
文章标识码: A
文章编号: 1007-3221( 2005) 01- 0052- 05
One Method of Application of Extreme Value Theory to Computing Value-a-t Risk
摘 要: 在险价值( value at risk, 简称 VaR) 是度量市场风险的一种普遍使用的工具, 也是金融风险管理 中的基础
工具。计算 VaR 有许多不同的方 法, 本文考虑了数据 间的相 关性, 通过 部分重叠 数据分 组的方 法来计 算 V aR,
发现 所得到的 VaR 更符合实际; 另外, 我们对分组大小作了研究, 发现分组 数据大小 的幂律存在, 并对 恒生指数
根据上节理论部分的概述, 应用提到的 EVT 方法, 对 3913 个每日对数回报进行分析, 分别取 n= 10, 20, 估计出了极大值极小值序列的极限分布的参数值, 计算出极大值极小值序列对应的 VaR 值, 结果列在 表 1 中。
表 1 恒生指数的广义极值分布的参数估计和由此得到的 VaR 值
极大值序列
位置参数
刻度参数
尾指数
95% V aR
99% V aR
n = 10
2. 458
0. 97111
- 0. 16231
6. 16
9. 09
n = 20
2. 5513
1. 03593
- 0. 26118
ຫໍສະໝຸດ Baidu
7. 20
11. 77
极小值序列
位置参数
刻度参数
尾指数
95% VaR
99% VaR
n = 10
相邻两组重叠数据的个数可以有多种选择, 本文为了方便和周开国( 2002) 所得的结果作比较, 所以只考虑
54
运筹 与管 理
2005 年第 14 卷
重叠 n 个数据的情况。这样就找到了极小值序列和极大值序列{ X ni , i = 1, , N } 和 Y 。
然后, 估计 3 个参数 , , 的值, 最后是用广义极值分布来计算 VaR 值。用极大值序列得到的 VaR 对应于短期头寸( short posit ion) , 记为 V aRshort ; 用极小值得到的 V aR 对应于长期头寸( long posit ion) , 记 为 VaRlong 。根据极值序列的广义极值分布, 我们能得到短期头寸和长期头寸:
1 数值分析方法
1. 1 极值理论
极值理论( ex treme value theory, EVT ) 是研究次序统计量的极值分布特性的理论。 设 X i , i = 1, , n , 是取自总体分布 F 的总体的一个样本, 将其按大小排序:
X ( 1) X (2)
X ( n) ,
则称 X (1) , X (2) , , X ( n) , 为次序统计量, ( X (1) = min( X 1, X 2, , X n) , X ( n) = max ( X 1, X 2, , X n ) 分别称为样本极小值、样本极大值, 统称样本极值统计量。它们的分布称为极值分布。
大样本性质, 具有无偏性、相合性和有效性, 对 GEV 而言, 在具体计算上, 矩估计和极大似然估计一样没
有显式解, 都得解一个非线性方程组, 所以我们采用极大似然法来估计以上 3 个参数。其中利用 New ton-
Raphson 算法对方程组进行求解。 Long in( 2000) 提出的用极值理论估计 VaR 值的一种方法, 是将样本覆盖的整个区间划分成若干个不
收稿日期: 2004-06-25 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 10071082); 博士点基金和科学院特别支持费资助项目 作者简介: 肖敬红( 1979- ) , 研究生, 研究方向: 金融工程与风险管理; 缪柏其, 博士生导师。
第1期
肖敬红, 等: 应用极值理论计算 VaR 的一种方法
叠 n 个数据, 具体的划分方法如下: 假定 R 为指数对数收益率, R 1, R 2, n: 所选择的子区间长度,
, RT 共 T 天的观测值。
定义第 i 组数据为( R ( i - 1) n+ 1, , R ( i + 1) n) , i = 1, 数据重叠, 记第 i 组数据的最小值为 X ni :
53
范围, 有许多优点, 同时也存在不少缺点, 其中一个较明显的缺点就是不能处理金融市场处于极端价格波 动的情形, 如股市崩盘( 一个典型的例子就是 97 年亚洲金融风暴对股市的冲击) 等。因而, 要计算资产组 合的实际 VaR 值, 就不能忽视极端价格波动情形, 必须考虑分布的尾部形态。L ongin 于 1996 年考察了美 国股票市场的极端变动, 用统计上的极值理论给极端变动建模, 开辟了将极值理论应用于风险管理的先 河。
P rob( > V aR ) = 1- p 其中, P 为证券组合的损失; VaR 为置信水平 p 下处于风险中的价值; 根据不同金融机构的要求, p 可以选择不同值, 一般选 95% 和 99% 。 迄今为止, 形成了很多种计算 V aR 的模型, 但是没有一个大家一致公认的最好的方法。现在有三种 普遍使用的方法: RiskM et rics, 历史模拟方法和蒙特卡罗模拟方法。三种方法各有特定的假设条件和适用
第 14 卷 第 1 期 2005 年 2 月
运 筹与 管 理
OPERAT IO NS RESEARCH AN D M ANA GEM EN T SCI EN CE
Vol. 14, No. 1 Feb. 2005
应用极值理论计算 VaR 的一种方法
肖敬红, 缪柏其, 吴振翔
( 中国科学技术大学 统计与金融系, 安徽 合肥 230026)
这里, 、 ( > 0) 分别称为位置参数、刻度参数, 称为尾指数( tail index) , 它的倒数的相反数 k = -
1/ 称为形状参数, k 的绝对值越大, 说明分布的尾越重。 = 0 时, 对应于 Gumbel 分布; < 0, 对应于
F rechet 分布; > 0, 对应于 Weibull 分布。注意此处的 x 值指的是极值。 在 GEV 中有 3 个参数, 通常的参数估计方法是极大似然法和矩估计法。因为极大似然估计有很好的
XIAO Jing- hong, M IAO Ba-i qi, WU Zhen- x iang ( Dep ar t ment of Stat istics and Finance, UST C , H ef ei 230026, Chi na)
Abstract: Value- at- Risk( VaR) is a com monly used t ool t o measure market risk, and also t he basic tool of risk management. T here are many met hods for com put ing VaR. In t his paper we consider t he correlat ion of data, throug h overlapping data t o group all t he dat a t o compute VaR. T he calculat ed VaR is more approx im at e to the fact. In addition, t he size of group is st udied and it follow s power- law . T he H ang Seng Index is analy zed to f ind the reasonable size of data grouping . Key words: Value- at- Risk( VaR) ; ex treme value theory; pow er- law ; R/ S st at ist ic
众所周知, 极值分布有三种形式, Gumbel 分布, Frechet 分布, Weibull 分布, 它们可以用一个统一的形
式来表达, 即广义极值分布( GEV) , 其分布函数为:
G ( x ) = 1- ex p{ - [ 1+ ( x - ) ] 1/ }
x < - / if < 0 x > - / if > 0
重叠的子区间, 每个子区间有 n 个数据。周开国( 2002) 将这种方法直接用于恒生指数的 VaR 估计。由于
研究的恒生指数样本的时间长度较长( 从 1985 年 1 月 1 日到 1999 年 12 月 31 日) , 包含了大量的历史信
息, 可能违反独立同分布的假设, 因此, 我们重新划分区间 T 为若干个子区间, 但每两个相邻的子区间重
- 1. 5046
0. 96495
- 0. 11324
- 4. 91
- 7. 32
n = 20
- 1. 3978
1. 1077
- 0. 21114
- 5. 97
- 10. 00
通过和文献[ 5] 所得结果的比较, 我们可以观察到下列现象: ( 1) 不管是短期头寸还是长期头寸, 本文 计算的 VaR 的绝对值都相对较大, 主要的原因是本文考虑到了数据间的相关性, 所用数据包含的信息量
V aRshort = + [ 1- ( lnp ) ]
( 1)
和
V aRlong= - [ 1- ( lnp ) ]
( 2)
其中, 3 个参数 , , 是由极值序列中求得; p 是置信水平, 可以取 95% 、99% 等等, 这样, 不同置信 水平下的 VaR 值可以算出来。
本文研究恒生指数, 采用的数据覆盖的时间段从 1985 年 1 月 1 日到 1999 年 12 月 31 日, 共 3914 个 交易日, 3913 个每日对数回报。
, N , 其中 N =
T n
, 这时相邻两组数据有 n 个
X ni = min( R ( i - 1) n+ 1, , R ( i+ 1) n) , i = 1, , N
记第 i 组数据的最大值为 Y ni :
Y ni = max( R ( i - 1) n+ 1. , R ( i+ 1) n) , i = 1, , N