7.1 复合材料力学性能的复合规律-1

纤维承受的载荷占总载荷的比例为：
f Af Pf E f Vf E f /Em PL m Am f A f E f Vf E m Vm E f /Em (1 - Vf ) / Vf
作业：

请推导复合材料单向板受轴向载荷时， 纤维承受的载荷占总载荷的比例公式， 并计算Vf=0.5的单向板，当Ef/Em分别为 0.1、1、10、50时，纤维承担的载荷所 占的比例分别为多少？


复合材料力学：宏观力学、细观力学和微观 力学 宏观力学研究的对象是叠层复合材料中的单 层板或是复合材料组成的各种构件，尺寸远 大于单个分散相的尺寸 ； 细观力学研究的尺度为纤维或颗粒直径为特 征尺寸； 微观力学研究的尺度可以是晶粒、原纤，甚 至小到分子、晶胞和原子

细观力学把复合材料看成是两种或两种 以上性质不同的单相材料组成的多相非均匀 体系，并且研究各组分的形态、含量、配置、 相互作用以及缺陷等对复合材料力学性能的 影响，研究材料在受力条件下的变形和破坏 机理
V f Vm 1 E2 E f Em
注：在典型的纤维体积含量为50～60％ 的复合材料中，基体对E1(纵向弹性模 量）有很小的影响；纤维对E2(横向弹 性模量）有很小的影响，所以可得近似 式：
E1≈ Ef · f V E2≈ Em/ Vm
0
Vp
3、单向板的主泊松比ν12
混合定律
1
定义：只有在轴向外加应力σ 1时： ν12=- ε 2/ε
小结



单向板的弹性性能 E1、E2、ν12、G 12 弹性理论法分析 应变放大效应 材料力学估算方法-Halpin-Tsai方程
注：因为不同泊松收缩(νm ≠ νf )导致了附加 应力，而这一假定并非严格成立，但是，经 实验证实，误差可小于1%～2%，在允许范 围内,见图7.3.
讨论：复合材料在受轴向力时，基体和纤维所承受 的载荷大小与它们的模量和体积分数有关：
E f Vf Pf f Af f V f E f V f Pm m Am mVm EmVm Em (1 Vf )
Vm=Am/A
Vf+Vm=1
则代入σ1· σf · f+ σm · m得 A= A A
σ1= σf · f+ σm · m V V
由σ= E· ε得
E1= Ef · f+ Em · m 或 V V
E1= Ef · f+ Em · V (1-Vf)
混合定律



碳纤维/环氧树脂复合材料，Ef=180GPa， Vf=0.548，Em=3000MPa时，算得 E1=1×105MPa 拉伸实测值为103860MPa，与预测值差 别较小
7 复合材料力学性能的复合规律
材料的微观组织 体积分数 形状、分散程度 几何学特征
复合材料的 基本理论
原材料的性能 力学性能 物理性能 界面的状态
复合材料的 整体性能
复合材料理论与组织、性能之间的关系
复合材料力学性能的复合规律

7.0 绪论 7.1 连续纤维增强复合材料的力学复合 7.2 短纤维增强复合材料的力学复合关 系 7.3 粒子复合材料的力学性能
7.1.1.1 材料力学法分析单向板的弹性性能
模型
体积元
简化二维元
单向层板的模型及典型体积元
1、单向板的纵向弹性模量E1
并联模型
并联模型，即复合材料的终应变ε 1、基体应变 ε 1m、纤维应变 ε 1f相等。对应的应力分别为 σ 1、σ m、σ f，相应的弹性模量分别为E1、 Em 、 Ef，则有：
而材料的主强度值为：
σ1u ——纵向强度（拉伸和压缩）
σ2u——横向强度（拉伸和压缩）
τ12u ——剪切强度
7.1 连续纤维增强复合材料的力学复合


7.1.1 单向板的力学性能 7.1.2 面内随机分布长纤维单层板的弹 性性能
7.1.1 单向板的力学性能


*7.1.1.1 材料力学法分析单向板的弹性性能 7.1.1.2 材料力学法预测E1、E2的修正 7.1.1.3 弹性理论法分析单向板的弹性性能 7.1.1.4 材料力学法分析单向板的强度性能 7.1.1.5 单向板断裂韧性的一般概念
纤维孤立 树脂连续
纤维连续 树脂孤立
实际纤维排列
纤维分布的邻接概念 注：邻接度对E2和G12的影响比对E1的影响要大
Halpin和Tsai利用简化的方法，提出了复合材料的 弹性性能的预测方程： E1= Ef · f+ Em · f) V (1-V ν12= νfVf+ νm (1-Vf)
M c 1 V f Mm 1 V f
细观力学：是依据增强体和基体性能及相互
作用来了解复合材料的特性，用近似的模型 来模拟复合材料的细观结构，然后根据复合 材料组分的性能来预测材料的平均性能
细观力学可用两种方法处理：
“材料力学”－预测复合材料简化模型的行为：
在最简单的细观模型中，增强体：均匀、线 弹性、间隔相等、排列整齐及几何形态相等；基 体：均匀、线弹性和各向同性；界面：完整的， 没有空隙或脱粘情况存在
“弹性理论”－求上下限、特殊情况的精确解
共同特点：以复合材料的组分特性来确定复合 材料的弹性模量和强度
应力的定义：
F/ A

正应力 剪应力（剪应力相等）
应变的定义 l / l0
物体内部的位移是其位置（x,y,z）的函数来说: x方向的位移u u(x, y, z), y方向的位移v v(x, y, z), z方向的位移w w(x, y, z), 那么此处的应变可计算出： x u / x, y v / y, z w / z
2、单向板的横向弹性模量E2
串联模型
由图知，可看作纤维与基体的串联模型，则
σ2= σ2f = σ2m 所以纤维、基体和复合材料的应变分别为：
εf= σ2/Ef εm= σ2/Em εm= σ2/E2
由于变形是在宽度W上产生的，所以变形增量为： ΔW=ΔWf+ΔWm 又ε＝ΔW/W 所以： ε2W= εf(VfW)+ εm(VmW) 所以
补充：主、次泊松比的关系
∆12
在1方向的正应力 作用下，有： 12
2
1 ,
11 12 12 1 ，2 1 12 ( ) E1 L E1 L

在2方向的正应力 作用下，有： 21
1
2
,
2
,
22 21 21 , , , 1 2 21 ( ) E2 W E2 L
确定复合材料单向板弹性常数的弹性理论方法基于 各种模型和能量平衡法。 （1）能量法确定单向板的弹性常数－近似解 可求得纵向模量E1下界：
上界：
Fra Baidu bibliotek其中：
（2）直接法确定单向板的弹性常数－精确
基础：使用弹性基体内嵌有弹性物的典型模型来求解。
典型复合
材料模型
邻接度：用修正规则排列的分析方法来考虑纤维 之间的接近程度，用系数c来表示。C可从0～1之 间变化，c由实验确定。

(M f / M m ) 1 (M f / M m )
Mc:复合材料的E2、G12、 ν21
Mf:纤维的Ef、Gf、 νf
Mm:基体的Em、Gm、 νm
ξ :与增强体的特征有关， 其值由曲线与实验结果的 拟合来经验地确定。
作业：

依据Halpin-Tsai方程，推导当ξ=0和ξ =∞时复合材料弹性模量表达式。 答案： ξ=0，串联模型；ξ =∞，并联模 型

由互等关系， 12 21， 即当应力作用在 1方向 对引起 2方向的变形应与 2方向应力引起 1方向 的变形相等，由此得出 ：
12
E1

21
E2
4、单层板的面内剪切模量G12 典型体积元所承受的外加剪切应力和所产生的变形如 图所示
假定：τ =τf=τm 且复合材料的剪切特性是线性的，则总 剪切变形D=γW γ:复合材料的剪切应变； W：试样宽度
D=Df+Dm 或γW= γf(VfW)+ γm(VmW)
又 剪切应力相等，所以
γm= τ/Gm
γf= τ/Gf
γ= τ/G12
把此式再代入上式γW= γf(VfW)+ γm(VmW) ，
可得到
V f Vm 1 G12 G f Gm
注：因为Gm与Gf相比非常小，所以在Vf为0.5～0.6范 围内的复合材料， Gm对G12是主要的。


7.4 复合材料力学复合的其他问题
0 绪论
复合材料力学性能复合规律研究的意义：
通过研究复合材料在外力作用下的变形、受力和破坏规律， 为合理设计复合材料构件提供有关强度、刚度和稳定性分 析的基本理论和方法
纤维按形态可分为：连续纤维、非连续纤维（短纤维） 或晶须
由纤维和基体组成一种铺层（或称单层），并以不同方 向层合而成的一种多向层合板（如果同一种铺层都处于同 一方向称为单向层合板）
7.1.1.2 材料力学法预测E1、E2的修正
纵向泊松的修正公式：对E1= Ef ·Vf+ Em ·Vm修正为： 其中νm为基体的泊 松比
V f Vm 1 横向泊松的修正公式:对 修正为 E2 E f Em
或：
其中：
7.1.1.3 弹性理论法分析单向板的弹性性能
V f Vm 1 E2 E f Em
σ1=E1·1 ε
σm=Em· 1m ε
σf= Ef·1f ε
外加应力作用在由纤维横截面积Af和基体横截 面积Am组成的复合材料横截面积A上，由于纤 维和基体平行地承受应力，所以有 σ1· σf · f+ σm · m A= A A 若复合材料纤维体积含量为Vf, 基体体积含量 为Vm，则：
Vf=Af/A
Vf
r
( )2 4 R
由图知：当Vf较大 时，应变放大率也 较大
玻璃纤维/聚酯体系的应变放大率
作业：

如图所示单向复合材料中纤维按照正方形 排列，纤维直径为10 μm，Vf=0.60， Ef=80 GPa， Em=3GPa，当受x方向载荷时， 求基体在x方向局部应变εm与复合材料平均 应变εc的比值。
是对层合板结构的 有效设计的基础
但这些方程对纤维周围的应力-应变分布几乎没有 物理认识，如应力相等及各相应变均匀的假设都不 真实。
如图表示一均匀外加应变 的复合材料理想六边形排 列的纤维结构阵列
非均匀的应力分布 因为Ef>>Em,所以薄切片 xx′中的大部分应变由 树脂承担；而yy′中的 应变远小于xx′中树脂 的应变，称为树脂有应 单向层板在承受横向载荷时 变放大
yz v / z w / y, zx w / x u / z, xy v / x u / y
位移场
作为单向纤维复合材料，其主弹性常数为： E1——纵向弹性模量 E2——横向弹性模量 υ12 ——主泊松比（纤维方向拉伸引起横向的收缩比） G12——面内剪切模量
应变放大示意图
纤维在基体内的应变非均匀分布，Kies利用最简单 的纤维按正方形阵列分布的模型，如图： x 平均拉伸应变：εx，树脂 中沿AB线的应变放大率： εx，两者的比值为：
S 2 x r x S 2 Em r Ef
y
R=S/2+r
Kies计算应变放大率的正 方形阵列分布模型
横向变形的增量： ΔW=ΔWf+ΔWm 或 ε 2W= -νf ε
1f(VfW)-
νm ε
1m(VmW)
又在纵向应变相等，ν12= νfVf+ νmVm
作业

纤维体积分数为40%的单向聚酯基 复合材料在平行于纤维方向承受 100MPa应力，如果纤维和基体的 拉伸模量Ef和Em分别为75GPa和 5GPa，泊松比νf和νm分别为0.21和 0.35，计算复合材料的轴向和横向 应变。