第四章 多自由度体系结构

g
U max 1 2
m gX
i i 1
n
i
Tmax Umax
i i

m X
i 1 n
n
T1
2

i 1
mi X
2 i
1
2

i 1 n
n
mi X
i
2 i
g
m X
i 1
2
i

i 1 n i 1
n
Gi X i2
i i
G X
一般假定：将结构重力荷载当成水平荷载作用于质点上 所得的结构弹性曲线为结构的基本振型
惯性力
恢复力 平衡方程 运动方程
2 (t ) g (t ) f I 2 m2 x x


f S 2 f S 21 k2 x2 (t ) x1 (t )
f I 2 fS2 0
2 (t ) k2 x2 (t ) k2 x1 (t ) m2 g (t ) m2 x x

1 X 1 0.648 0.301
第一振型
4.2 多自由度体系的自由振动
同理可得
K M X 0 K M X 0
2 2 2
2 3
3
1 X 2 0.601 0.676
可得频率ω的两个正号实根 ω1－第一自振圆频率（基本自振频率；数值较小者） ω2－第二自振圆频率（数值较大者）
T 2 / 自振周期
f1 1 / 2 自振频率
4.2 多自由度体系的自由振动
4.2.3 多自由度体系的振型 振型概念：对应某一自振频率各质点位移间的关系。 将ω1、ω2代入振幅方程，可得质点1和质点2的位移幅值。
Tb 1.6 b
框架结构可近似视为剪切型杆
Ts 1.8 s
框架-抗震墙结构可近似视为剪弯型杆
T 1.7 bs
本方法适用于质量及刚 度沿高度 分布比较均匀的任何体 系结构
4.2 多自由度体系的自由振动
4 矩阵迭代法 刚度法建立的振型方程
k X 2 mX
---广义特征值问题
4.2 多自由度体系的自由振动
4.2.2 多自由度体系的自振频率
无阻尼自由振动方程
(t ) K x(t ) 0 M x
考虑两自由度情况, 假定位移矢量
代入自由振动方程
x1 (t ) X 1 x(t ) sin(t ) x 2 (t ) X 2
X 12 m112 k11 对应于第一自振圆频率 ，位移幅值的比值： X 11 k12 2 X 22 m12 k11 对应于第二自振圆频率 ，位移幅值的比值： X 21 k12 对应某一自振频率各质点任意时刻位移的关系
x11 (t ) X 11 sin(1t 1 ) x12 (t ) X 12
4.2 多自由度体系的自由振动
考虑阻尼时
(t ) Cx (t ) K x(t ) M I g (t ) M x x
采用瑞雷阻尼假定
C 0 M 1K
cij—第j质点产生单位速度，其余点速度为零，
在i质点产生的阻尼力
系数一般由试验确定
2 T
4.2 多自由度体系的自由振动
( 2 j i )X i M )X j 0
2 T
振型关于质量矩阵正交性
2 2 j i
X i T M X j 0
振型对质量正交性的物理意义： i振型上的惯性力在j振型上的虚功为0 同理可得 振型关于刚度矩阵正交性
X1 2 X1 M sin(t ) K sin(t ) 0 X 2 X 2 X1 2 (K M ) 0 X 2 (4.7)
4.2 多自由度体系的自由振动
k11 m1 2 k21
矩阵迭代法的迭代步骤如下： （1）先假定一个试探振型 X 0 (上标0表示初始迭代振型)， 代入迭代式得
4.2 多自由度体系的自由振动
体系的运动包含若干个频率的振动的合成， 运动的组成包含所有的频率和振型
x1 (t ) X 11 X 21 x(t ) sin(1t 1 ) sin( 2 t 2 ) x2 (t ) X 12 X 22
4.1 概述
Xn(t) mn mi m2 X1(t) m1 Xg(t) Xi(t) X2(t)
多质点体系计算简图
4.2 多自由度体系的自由振动
4.2.1 2自由度无阻尼运动方程的建立
两个自由度的层间剪切模型计算简图
4.2 多自由度体系的自由振动
1 质点的运动
地面运动加速度: 质点相对加速度: 质点绝对加速度:
xi (t ) X i sin( t )
速度为
(t ) X i cos(t ) x
4.2 多自由度体系的自由振动
当体系振动达到平衡位置时，体系变形 T 1ω 2 n m X 2 max i i 2 i 1 位能为零，体系动能达到最大值Tmax
当体系振动达到振幅最大值时，体系 动能为零，位能达到最大值Umax 能量守恒原理
2
(1) (2) (3) (4)
左乘(2) X T i
两式相减
T 2 T X T ( K M )X j 0 i i 2 X T ( K i j M )X j 0
( 2 j i )X i M )X j 0
1 meq
T1 2 meq

—体系在等效质点处受单位水平力所产生的水平位移
4.2 多自由度体系的自由振动
3 顶点位移法 顶点位移法是根据在重力荷载水平作用时算得的顶 点位移来求解基本频率的一种方法
(b) 弯曲型 (c)剪切型 (d)弯剪型
4.2 多自由度体系的自由振动
将能量法推广到具有分布质量的结构 抗震墙结构可视为弯曲型杆，即弯曲型结构
位移比值仍为常数
x21 (t ) X 21 sin( 2 t 2 ) x22 (t ) X 22
4.2 多自由度体系的自由振动
A 振幅的比值与时间无关，为一常数，即在体系振动的任一时刻， 两个质点的位移比始终保持不变； B 对应于某一个自振频率就有一个振幅比，振动时振动形状保持 不变，只改变振动的大小和方向，这种振动形式称为主振型， 简称振型； C 一般，体系有多少个自由度就有多少个频率，相应就有多少个 主振型； D 在一般初始条件下，体系的振动曲线将包含全部振型，任一质 点的振动可视作由各主振型的简谐振动叠加而成的复合振动； E 因主振型只取决于质点位移之间的相对值，为对不同频率的振 型进行形状上的对比。 特定坐标规格化：将其中某一个质点的位移值定为1，其他元素 按比例确定。
(4.2)
4.2 多自由度体系的自由振动
合并两式写成矩阵形式
m1 0 1 (t ) k1 k 2 x 0 2 (t ) k 2 m2 x k 2 x1 (t ) m1 k 2 x 2 (t ) 0 g (t ) x 0 g (t ) m2 x
1 (t ) g (t )] f I 1 m1[ x x
f I 1 f S1 0
4.2 多自由度体系的自由振动
运动方程
1 (t ) (k1 k2 ) x1 (t ) k2 x2 (t ) m1 g (t ) m1 x x
2) 质点2的运动方程
mN
xn
M eq xm
单质点体系的最大动能为
U 2 max
m1
x1
xm ---体系按第一振型振动时，相应于折算质点处的最大位移
4.2 多自由度体系的自由振动
U1max U 2 max
meq
2 m x ii i 1 2 xeq n
等效单质点体系的频率
k m
1
k meq
展开
2 2
k12 k22 m2
2
0
----频率方程
k1 k 2 k 2 2 k1k 2 ( ) m m m m 0 1 2 1 2
2 k k k k k k 2 k k 2 k 1 1 2 2 1 2 2 ( 2 ) 1 2 2 2 m1 m2 m m m m m 1 2 1 1 2
4.2 多自由度体系的自由振动
4.2.4 振型的正交性
任意两个不同主振型之间互相正交 频率方程
X Tj 左乘(1) X Tj (K i 2 M )X i 0
转置变换
(K j M )X j 0
2
(K i M )X i 0
左乘刚度矩阵逆矩阵[K]-1为柔度法建立的振型方程
X 2 mX 令 D m ---动力矩阵
1 X DX ---标准特征值问题 2
迭代式为
X n1 2 mX n
4.2 多自由度体系的自由振动 （c）
第四章 多自由度体系结构 的地震反应
4 多自由度体系结构的地震反应
• • • • • 概述 多自由度体系的自由振动 多自由度体系的振型分解法 多自由度体系的水平地震作用及效应 多自由度体系地震反应的时程分析
4.1 概述
1.实际房屋的自由度：无限个。 简化：有限自由度模型。 2.常用分析模型：层间模型。每层楼面、屋面可作为一个 质点，墙柱质量则分别向上下质点集中。
X i T K X j 0
振型对刚度正交性的物理意义： i振型上的弹性力在j振型上作的虚功等于0
(4.18)
例4.1 三层剪切结构如图示，求该结构自振频率和振型 解:
4.2 多自由度体系的自由振动
为求解第一振型，将ω1=14.5 rad/s代入下式

.5 1200 0 2579 X 0 K 12 M X 1 1200 1484 . 6 600 1 600 389.8 0
g (t ) x
1 (t ) x
2 (t ) x
2 (t ) g (t ) x x 1 (t ) g (t ) x x
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1) 质点1的运动方程
惯性力 恢复力 平衡方程
f S1 f11 f12 k1 x1 (t ) k2 x2 (t ) x1 (t )
4.2 多自由度体系的自由振动
2 折算质量法（等效质量法） 基本原理：将多质点体系用单质点体系代替。 使单质点体系的自振频率和原体系的基本频率相等或相近 等效原则：两个体系的动能相等 多质点体系的最大动能为
U1 max 1 n mi (1 xi )2 2 i 1
1 M eq (1 xm ) 2 2
第二振型
1 X 3 2 . 57 2.47
第三振型
4.2 多自由度体系的自由振动
4.2.5 结构自振周期及振型的计算 1能量法 能量法是根据体系在振动过程的能量守恒原理导出的， 适用用求结构的基本频率 此方法常用于求解以剪切型为主的框架结构 设体系作自由振动，任一质点i的位移：
(t ) K x(t ) M I g (t ) M x x
k11 K k21 k12 k22
k11 k1 k2
k12 k21 k2
k22 k2
kij
—第j质点产生单位位移，其余质点不动，在i质点上产生 的弹性反力