量子力学教程 第二版 4.5 狄拉克符号.

解释：将刁矢 x 左乘、刃矢x '
右乘 n n 1 两边得：
n

n
x n n x' x x' x x'


' ' x u x x x 即： u n n n
ˆ 的本 征值为分立谱Q n 1,2, ，本征 刃 Q (b) 分立谱情况： n
ˆ n 具有完全性，可将任意刃矢 A 按 Q A n Cn n 而 m A m n C C
n m n
的本征刃展开，即：
即展开系数 Cn n A （ C ，它表示 A 在基矢 n 上 n A n ） 的投影。
表示为 m ，其正交归一性为： , m ' , m ' ' mm'
4. 封闭性 (a)连续谱情况：任何一态矢 A 在坐标表象中用波函数 x ' , t
描写， x ' , t x ' A 就是刃 A 在 x 表象中的分量。
ˆ 在自身表象中的基矢 x ' x x ' 组成完全系，则 A 由于 x



Dirac 符号： m n mn ； q ' q
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q q
'


ˆ 的全部本征函数组成完全系，则它的本 说明：任何力学量算符 F
征刃 （刁） 也组成一个完全系， 即任一刃 （刁） 矢可按本征刃 （刁）
ˆ 表象的基刃（或基刁） 展开，这组刃（刁）称为 F 。
ˆ 2 ，L ˆ 共同本征态Ym , （坐标表象） 例如：L ，用 Dirac 符号 z
代入 A
x , t x
'

'
A ；
'

x ' dx ' x ' , t ，得： A



x ' dx ' x ' A
1
以任意刁 左乘上式两边，得
A x ' dx ' x ' A
' ' A A x dx x' 两边取共轭复数有：
i
的分量是： x , t
x , t x ' , t x x ' dx '


1. 刃矢和刁矢
量子力学体系一切可能状态构成一抽象的线性空间，即希尔 伯特空间。
希尔伯特空间的矢量可用一个刃矢（又称 ket 矢量或右矢） 表示，若要标志特殊的状态，则在其内标上某种记号（对于 本征态，常将本征值或相应的量子数标在刃矢内） 。
量子力学的规律和所用的表象无关，选取什么表象决定于 讨论问题的方便性。量子力学中描写态和力学量可以不用具体表 示，这种描写态和力学量的方式是 Dirac 最先引用的，故称为 Dirac 符号方法。
狄拉克 ：（1902－ 1984），改进了矩阵力学的 数学形式，使其成为一个概念完整、逻辑自洽 的理论体系。获 1933 年诺贝尔物理学奖。
n


所以 A B 和 B A 互为共轭复数。
3. 本征态的表示
ˆ 的本征值的组成 , 既有分立谱又有连续 若力学量算符 F n q ˆ 的本征态可表示为 n , q ，其正交归一化条件为： 谱，则 F
' x 表象： x x dx q q ； x x dx q m n mn q'
例如： 表示波函数 描写的状态；
ˆ 、p ˆ 的本征态； x 、 p 分别表示本征值为 x 、 p 的 x
E n 或 n 表示能量的本征态；
ˆ 2 ,L ˆ )的共同本征态 m 表示( L z
希尔伯特空间的共轭空间的矢量可用一个刁矢（又称 bra 矢 量或左矢） 表示。
A Q 表象中的分量是a 1 , a 2 , ， 在

可按 x
展开，即：
'
A x ' dx ' x ' , t

x t A x
'
用 x 与 A 作标积，得：
x A x x ' dx ' x ' , t x x ' dx ' x ' , t x, t
所以展开系数为：
2. 标积的定义
A a 1 , a 2 , , a n , ； B b 1 , b 2 , , b n ,
A B 为刁矢 A 与刃矢 B 定义：标积 A B a n b n ，即
n
对应分量的积。
说明： A B a b n ＝ a n b n B A n n
Q 在
规定： A
表象
A 和
A 中的分量是a 1 , a 2 , ，即在同一表象中，同一态矢量
相应的分量互为共轭复数。
例： 是 的共轭矢量，即对应的分量互为共轭复数。 说明：a. 和 为两种性质不同的矢量，两者不能相加；
b.
，
表示的是抽象的态矢量；未涉及具体表象，就
像矢量用R 表示一样
A x ' dx ' x ' A
由于 的任意性得：
于是由1 和2 式都可以得出：
A A x ' dx ' x '
2
()

x ' dx ' x ' 1
此即为力学量 x 的本征矢 x ' 的封闭性，又叫插入（恒等）算符。
' ' ' p dp p 1 ˆ 的本征矢 p ' 的封闭性为： 同理可写出动量算符 p
于是： A n n A
n
（完全性关系）
（上式复数共轭）
()
同样可得 A A n n
所以： n n 1
n
n
Q 的本征矢 n 的封闭性，即插入算符（恒等算符） 此即为力学量 。
' ' 说明： n n 1在 x 表象中的表示为 u 。 x u x x x n n n n
Dirac 符号方法的优点： (1)运算简捷； (2)不用在具体表象中讨论问题
一、态的 Dirac 符号表示
位形空间（三维）
矢量是R
希尔伯特空间
态矢量是
矢量符号： “

”

态矢量符号“
”
'
R 的分量为：R x , R y , R z R 的直角表示： R R x i R y j R z k R i ei