!!常微分方程习题课

常微分方程

1微分方程的基本概念 一. 选择题

1.微分方程的阶数是指（ B ）

（A ）方程中未知函数的最高阶数； （B ）方程中未知函导数

或微分的最高阶数

（C ）方程中未知函数的最高次数； （D ）方程中函数的次数. 2.下面函数( C )可以看作某个二阶微分方程的通解.

（A ）;22c y x =+ （B ）;3221c x c x c y ++= （C ）;cos sin 2221x c x c y += （D ）()().cos ln ln 21x c x c y += 二. 证明()21cos c x c y +-=是方程()()221y y '-=''的通解. 证 ()()x c y x c y --=''-='11cos ,sin ，

()()()()()()2

12122

12

1sin 1cos cos y x c x c x c y '-=--=-=--=''∴，即

()21cos c x c y +-=满足方程()()2

2

1y y '-=''。又()21cos c x c y +-=含有两个独

立常数，所以是()()221y y '-=''的通解。 三. 求曲线簇21c x c e ay +=-满足的微分方程. 解 在21c x c e ay +=-两边对x 求导得1c y ae ay ='--。

上式两边再对x 求导得，()2y a y '=''，即为所求的微分方程。

2 微分方程几种解法

（1）分离变量法：

例1. ;0)1(,13

2

=++='y y

x xy y y 解 原方程可化为

()

22211ydy xdx

y x x =

++，两边积分得 ()

1222

ln 1ln 211ln 21c x

x y ++=+，即()()()21222,11c c cx x y ==++。由()01=y 得1=c ，故()()22211x x y =++即为所求。

例2. ;22y x y y x -=-'

解 当0>x 时，原方程可化为2

1⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-'x y x y y ，令u x y =，得xu y =，

原方程化为

21u u x -='，解之得c x u +=ln arcsin ；

当0

1⎪

⎭

⎫

⎝⎛--=-'x y x y y ，类似地可解得

c x u +-=ln arcsin 。综合上述，有⎩⎨

⎧<+->+=.

0ln ;

0ln arcsin x c x x c x x y 。 例3. 2

)1(,0tan π

=

=-+'y y x

y x y x .

解 原式可化为0tan =-

+'x y x

y y ，令u x

y

=，得u u x tan -='，即x dx u udu -=sin cos , 两边积分得 c x u ln ln sin ln +-=，即x c u =sin ，x

c

x y =sin ，由2)1(π=y 得1=c ，故所求特解为x

x y 1

sin =。

（2）一阶线性微分方程解法（可直接套公式）：

例3. ;2sin 2

1

cos x x y y =+'

解 由公式得 x xdx xdx ce x c dx xe e y sin cos cos 1sin 2sin 2

1--+-=⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡+⎰⎰=⎰。

例4. 0)1(,21

2

=-=

'y y

x y . 解 原方程可化为

22y x dy

dx

-=，视y 为自变量，x 为y 的函数，则为一阶线性方程。由常数变易公式得

()

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰-⎰

=⎰-C dy e y e x dy dy

222⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+++=---C e ye e y e y y y y 22222412121

y Ce y y 224

1

2121+++=

， 由()01=y 得43=C 。所以所求特解为y e y y x 2243

412121+++=

（3）降阶法：

例5．()();100,='==''-y y xe y x （边解方程边定常数）

解 1C e xe dx xe y x x x +--=='---⎰，由 ()10='y ，得21=C ，即

2+--='--x x e xe y ，再积分得222C x e xe y x x +++=--，由()10=y ，得

12-=C ，故所求特解为122-++=--x e xe y x x 。

例6．().2

y e y x '=''

解 令u y ='得，2u e u x ='，当0≠u 时，有x

e u

u ='2

，两边积分得11C e u x +=-，即

1

11,1C e y C e u x x +-='+-

=，

()2

1121111

ln 1ln 11

1C C e e C C t C t C C t t dt C e dx y x x

C e t t C e x x

x

++-=+--=--=+-=+==+⎰⎰令

例7．求()y y y ''='+212

的通解;

解 令P dy dP dx dP y P y ==

''=',，代入原方程得212P dy dP yP +=，即y dy P

PdP =+212，积分

得211y C y dx '+==

，1212C x C =+，得通解为