九年级数学上册 第二十四章 圆 24.3 正多边形和圆教案 (新版)新人教版

24.3 正多边形和圆

※教学目标※

【知识与技能】

了解正多边形的有关概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法.能根据定义判定一个多边形是否是正多边形，理解正多边形和圆的关系.

【过程与方法】

领会“特殊—一般—特殊”是认识事物的重要方法.使学生会等分圆周，利用等分圆周的方法构造正多边形，并会设计图案，发展学生的实践能力和创新精神.

【情感态度】

通过观察、发现、探究等活动，感受数学来源于生活，服务于生活，体现事物之间是相互联系，相互作用的.

【教学重点】

正多边形和圆的相关概念及其之间的运算.

【教学难点】

探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系.

※教学过程※

一、情境导入

请同学们观察课件中出示的图片，提问：

（1）你能从图案中找出多边形吗？什么样的图形叫正多边形？

（2）正多边形与圆有怎样的关系？

二、探索新知

问题1 把一个圆分成5等份，求证：依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形.

证明：如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点所得到五

边形ABCDE.

∵»»»»»

====，

AB BC CD DE EA

∴AB=BC=CD=DE=EA, ¼¼»

==.

3

BCE CDA AB

∴∠A=∠B.

同理∠B=∠C=∠D=∠E，

∴五边形ABCDE是正五边形.

问题2 如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？

答案：一定.

问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？如果是，说明理由；如果不是，举出反例.

答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形.理由如下：因为各边相等的圆内接多边形的各角也相等.各角相等的圆内接多边形不是正多边形，如矩形.

归纳总结一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，

外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正

多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

例有一个亭子,它的地基是半径为4m的正六边形,求地基的周长和

面积（结果保留小数点后一位）.

解：如图，连接OB，OC.因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于360

6

o

=60°，

△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.因此,亭子地基的周长l=4×6=24

（m）.作OP⊥BC，垂足为P.在Rt△OPC中,OC=4m，PC=

4

22

BC

==2m，利用勾股定理,可得边

心距r=22

42

-=23（m）.亭子地基的面积S=1

2

lr=1

2

×24×23≈41.6（m2）.

想一想你知道如何利用正多边形和圆的关系来画正多边形吗？

画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式：

（1）用量角器等分圆周

方法1：由于在同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.

方法2：先用量角器画一个等于360

n

o

的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的

1

n

，然

后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点.

（2）用尺规等分圆

正六边形的作法

方法1：画一个圆，用量角器画一个等于360

6

o

=60°的圆心角，它对着一段弧，然后在

圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，依次连接各等分点，即可得到正六边形.（如图①）

方法2：在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分点即可得到半径为R的正六边形.（如图②）

正四边形的作法

用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作出正方形.（如图③）

①②③

三、巩固练习

1.如图，圆内接正五边形ABCDE中，∠ADB= .

2.分别求出半径为R的圆内接正方形的边长、边心距和面积.

3.用一批共长120m的篱笆围出一块草地来．分别计算所围草地是正三角形、正方形、正六边形、圆的面积（精确到0.1m2），并比较它们的大小.

答案：1.36°

2.解：连接OB，OC，作OE⊥BC，垂足为E.∠OEB=90°,∠OBE=

∠BOE=45°,Rt△OBE为等腰直角三角形.BE2+OE2=OB2，2OE2=OB2，OE2=

2

2 OB

.

边心距OE=2

OB=2R.边长BC=2BE=2×2R=2R.S正方形ABCD=AB•

BC=(2R)2=2R2.

3.解：由题意，得正三角形的边长为40m，S正三角形=1

2

×40×203=4003≈692.8（m2），

正方形的边长为30m，S正方形=30×30=900（m2），

正六边形的边长为20m，S正六边形=6×1

2

×20×103=6003≈1039.2（m2），

圆的半径为r=120

2π

=

60

π

（m），S圆=πr2=π×

2

2

60

π

=

3600

π

≈1146.5（m2），

因此，在周长都是120m时，S正三角形＜S正方形＜S正六边形＜S圆.

五、归纳小结

通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边