数学建模与问题解决——函数模型的应用

20 t 50
∴
yy11t t3322 55
（3）W ya mt n
当 时， 0 t 20
W
10000
3t 5
16
600t
160000
5400t
∵ 5400 0，∴ 当 t 20时， W最大 5400 20 108000
当 时， 20 t 50
W
1 5
t
32
100twk.baidu.com
解得 kk1115353 ∴ yy33t t1166
bb1 111166
55
当 20 t 50 时，y是t的一次函数，设 yykk2t2tbb2 2 ，
由图象得： ， 5200kk22
b2 b2
28 22
解得kk2 21515 b2b23322
综上，y
3 5
t 1t 5
160 t 3220
例3、某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统 的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒 温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x （h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统 开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶 段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式； （2）求恒温系统设定的恒定温度； （3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤 害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能 使蔬菜避免受到伤害？
（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额-总成 本）
解:（1）依题意得 10m n 166000 30m n 178000
解得
m 600
n 160000
答：每天的养殖成本为600元，收购成本为160000元.
（2）根据图象，当 00tt2200时，y是t的一次函数，
设 ， yykk1t11tbb111 由图象得： ， b2b210110kk1111166bb111222888
解：（1）设线段AB解析式为y=k1x+b（k≠0） ∵线段AB过点（0，10），（2，14）
代入得 b＝10
2k1+b＝14
解得 k1＝2 ∴AB解析式为：y=2x+10（0≤x＜5）
∵B在线段AB上当x=5时，y=20
∴B坐标为（5，20）
∴线段BC的解析式为：y=20（5≤x＜10）
设双曲线CD解析式为：y= ∵C（10，20）
时建立二次函数模型，再利用二次函数的性质，确定何 时取得最大值，最大值是多少，从而确定最大利润.
例2．小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距 2400m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以 96m/min速度从邮局同一条道路步行回家，小明在邮局 停留2min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t min时，小明与家之间的距离为s1m，小明爸爸与家之 间的距离为s2m，图中折线OABD、线段EF分别表示s1、 s2与t之间的函数关系的图象．
【专题解读】
在近几年的山西中考中，关于数学建模与问题解决的中考试 题，占比都很大，通常结合方程、函数、不等式和几何图形，考 查学生数学建模、几何直观、推理能力、运算能力、阅读素养和 应用意识．预计在2019年的中考题中，此类题目仍会涉及．在解 决此类问题时，要根据题目中的数据抽象成数学模型问题，根据 所学数学知识进行解答．
【专题解读】
关于数学建模与问题解决的中考试题，是把在实际中出现的 相关问题从数学的角度去分析和解决，目的是让学生明确数学是 解决现实生活和生产实践问题的有效工具．
【专题解读】
数学建模与问题解决的中考试题是山西省中考的必考题．一 类是建立代数模型（方程，函数，不等式）解决问题，这类试题 通常会设计一个现实情境，其中隐含若干个数学模型，需要学生 将实际问题转化为数学问题，并建立方程模型、不等式模型或函 数模型来求解.另一类是建立几何模型（主要是“相似三角形模型” 与“直角三角形模型”）解决问题.它们或以三角形为背景，或以 四边形为背景，通常还会与图形变换、平面直角坐标系等知识结 合起来，在解决此类问题时，最终要根据题目中的内容抽象成数 学问题中相似三角形模型与直角三角形的模型，根据其性质使问 题得到解决．
8000
600t
160000
20t2 1000t 96000 20t 252 108500
∵ 20 0，抛物线开口向下，∴当 t 25时 ， . W最大 108500 ∵ 108500 108000 ∴当 t 25 时，w取得最大值，该最大值为178500元.
方法提炼： 本题是二元一次方程组、一次函数、二次函数的综
谢谢大家！
k2 x
（k2≠0）
∴k2=200 ∴双曲线CD解析式为：y= 20x0（10≤x≤24）
∴y关于x的函数解析式为：
2x
+10(0
≤x
5)
y=
20(5 ≤x 10)
200 x
(10
≤x
≤24)
（2）由（1）恒温系统设定恒温为20°C
（3）把y=10代入y= 200 中，解得，x=20
∴20-10=10
（1）求s2与t之间的函数关系式 ； （2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸 爸？这时他们距离家还有多远？
解：(1) s2与t之间的函数关系式：s2=-96t+2400
(2)由题可知小明的速度为240m/min，可得点D(22，0)、 点B(12，2400) ， 设BD的表达式为y=kx+b,代入可得k=-240 b=5280, BD的表达式为y=-240x+5280. 联立 y=-240x+5280与y=-96x+2400. 可得 -240x+5280=-96x+2400 解得 x=20 y=480
【2019年滚动迁移】中考专题复习资料
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【专题解读】
数学思想是数学学科发生和发展的根本．数学的基本思想包 括：抽象的思想，推理的思想，建模的思想等等，是课程目标--“四基”的一个重要方面．模型思. 想是《数学课程标准(2011版)》 新增的核心概念，是近年中考数学考查的要点和热点题型，主要 考查建立数学模型解决实际应用问题的能力．其意图是引领学生 建立数学与生活的联系，让学生明确数学是解决现实生活和生产 实践问题的有效工具，并能利用所学的数学知识解决生活中的实 际问题．
答：小明从家出发，经过20min在返回途中追上爸爸， 这时他们距离家还有480m.
方法提炼：
本题主要考察的是一元一次方程与一次函数的应用， 解决此类问题的关键是首先用待定系数法求出函数表达 式，然后利用两直线的交点转换为一元一次方程，从而 得出经过20min在返回途中追上爸爸，这时他们距离家 还有480m，突出体现了函数与方程转化的思想。
例1、随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户借助市 场优势，一次性收购了10000Kg小龙虾，计划养殖一段 时间后再出售.已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天 的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元.设 这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为 y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为
x
答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤
害．
方法提炼：
本题主要考查反比例函数的应用，解决这类问题首 先应用待定系数法分段求函数x 解析式，特别是反比例函 表达式的确定，增减倒置，观察图象可得恒温系统设定 的恒定温度，代入临界值y=10即可，解答时应注意临界 点的应用.
【专题潜能挑战】 详见滚动迁移课本
a
10000 100t
0 t 8000 20
20
t 50
y与t的函数关系如图所示.
（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m 与n的值； （2）求y与t的函数关系式； （3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润 为W元.问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一 次性出售所得利润最大？最大利润是多少？
合应用，整个问题的设置联系生活实际，符合现实情境， 考查综合运用所学知识解决问题的能力，第一问解答的 关键是提炼题目中的等量关系，恰当建立方程模型；而 第二问中，根据已知的图象，可以分析出y是t的一次函 数，可以用待定系数法建立函数模型．但是，因为图象 呈折线型，应该根据放养时间t的不同，进行分类讨论， 分别求出此时的一次函数表达式.第三问通过分析可知， 利润是时间的函数，根据题目中的数量关系，当 20 t 50