小学奥数和差、和倍、差倍问题

解：长：（400÷2+80）÷2=140米 宽： 140-80=60米
（3）甲、乙两筐梨共有140个，如果从甲筐拿出10个放到乙筐，那么两筐梨的个数正 好相等。甲、乙两筐梨原来各有多少个？
解：甲筐：（140+10×2）÷2=80个 乙筐：140-80=60个
两筐西瓜共重80千克，如果从第一筐取出7千克放入第二筐中后，第一筐还比第二筐多2千克。两 筐西瓜原来各重多少千克？
• 解题思路
知道了三个数的和与这三个数中每两个数的相差关系，就可以以其中一个数为标准，从他们的 和当中移多补少，算出当这三个数相等时的和，再由此算出标准量。
解：根据题意画出线段图：
爸爸 妈妈 小刚
多10元 少4元
妈妈花的钱： （90-10+4）÷3=28（元） 爸爸花的钱：28+10=38（元） 小刚花的钱： 90元 28-4=24（元）
商店有红、黄气球共260支，如果卖出20支红气球后，红气球的只数就是黄气球只数的2倍。这两 种气球各有多少支？
•
从线段图中可以看出：黄气球的只数为1份数，红气球减少20只后，气球总数就是260-20=240
只。而此时红、黄气球共有2+1=3份，那么黄气球的只数是240÷（2+1）=80只，红气球有260-
差倍问题
方法教学： 让解题过程变得清晰可见。
学习目标
掌握差倍 问题的数 量关系， 倍 数关系
基本公式： 差÷（倍数-1）＝小数、 小数×倍数＝大数、 小数+差＝大数
例1
暑假里，爸爸带小宇去池塘钓鱼，爸爸比小宇多钓16条，爸爸钓鱼的条数是小宇的3倍，爸爸 与小宇各钓了多少条？
解：现在每层书数：270÷3=90本 第一层：90+20=110本 第二层：90-20=70本 第三层：90+17=107本
(3)小明期终考试的语文、数学和英语的平均分是95分，数学比语文多6分，英语比语文多9分。 小明期终考试三门功课各多少分？
三科总分数： 语文分数： 数学分数： 英语分数：
9（分5 ）3 （分 ） 285
解：A袋比B袋多的颗数：10×2+8=28颗 A袋: (200+28)÷2=114颗 B袋：200-114=86颗
（2）甲、乙两个车间原来共有106人加工零件现在甲车间抽出6人，乙车间抽出8人，这时甲车间 比乙车间多4人。甲、乙车间现在各有多少人？
解：两车间抽出后总人数：106-6-8=92（人） 甲车间现在：（92+4) ÷2=48(人） 乙车间现在：92-48=44（人）
80=180只。
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列式如下:
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240÷（2+1）=80(只) 260-80=180(只)
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练一练
• 1，学校图书馆有故事书和连环画共920本，如果借出20本故事书后，故事书的本数就是连 环画的2倍。这两种书各有多少本？
• 2，饲养场有鸡和鸭共560只，如果卖出120只鸡后，鸡的只数就是鸭的3倍。饲养场有鸡和 鸭各多少只？
解：玫瑰花：279÷（4－1）=93（盆） 月季花：93+279=372（盆） 或：93×4=372（盆）
答：花房里玫瑰花有93盆，月季花有372盆。
例2
？ 除数
被除数 ？
和是320
被除数与除数的和为320，商是7，被除数和除数 各是多少？
• 思路导航：由商是7可知，被除数是除数的7倍，把除数看作1份数，被除数就有这样的7份，一共7＋ 1=8份。因而即可求出1份数即除数320÷（7+1）=40，从而根据被除数为这样的7份，再求出被除数 40×7=280。
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列式如下：
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除数：320÷8=40 被除数：40×7=280
练一练
• 1，被除数和除数和为120，商是7，被除数和除数各是多少？
• 2，被除数、除数、商的和为79，商是4，被除数、除数各是多少？
• 3，两个整数相除商是21，余数为1，已知被除数、除数、商、余数的和一共是441。被除 数、除数各是多少？
解：第一筐重量：（128-4）÷2=62千克 第二筐重量： 128-62=66千克
• 练一练： （1）小明妈妈给小明买了一套衣服，共花了144元，裤子比衣服便宜24元。衣服和裤子各多少 元？
解：衣服（144+24)÷2=84元 裤子： 84-24=60元
• （2）学校的长方形操场一圈有400米，长和宽相差80米。长和宽各是多少米？
• 解题思路 这道题告诉了我们两数的和，两数的差没有直接告诉。关键是通过线段图找出两数之差，问题 就迎刃而解了。
解：根据题意画出线段图
第一筐 第二筐
2千克 7千克
7千克
80千 克
• 从图中可知，第一筐取出7千克，第二筐放入7千克，第一筐还比第二筐多2千克，可求出原 来第一筐比第二筐多7×2+2=16（千克）。根据和差公式求出原来第一筐和第二筐的质量。
解：小宇：16÷（3-1）＝16÷2＝8（条） 爸爸：8×3＝24（条）或8+16＝24（条）
答：爸爸钓了24条鱼，小宇钓了8条鱼。
方法总结： 差÷（倍数— 1）=1倍量（小数） 一倍量×倍数=大数 差+小数=大数
小牛试刀 花房的月季花比玫瑰花多279盆， 已知月季花的盆数是玫瑰花的4倍。 问花房的月季花和玫瑰花各有多少盆？
例2
• 小宁有圆珠笔芯30支，小青有圆珠笔芯15支，问小青给小宁多少支后，小宁的圆珠笔芯支数是 小青的8倍？
• 思路导航：我们把变化后小青的圆珠笔芯支数看作1倍数，那么小宁与小青圆珠笔芯的支数和相 当于变化后小青支数的9倍，所以变化后小青的支数为（30＋15）÷（1＋8）=5（支），再用 15－5=10（支），则表示小青给小宁的支数。
• 2，少先队一、二、三中队共植树165棵，二中队植树的棵树比一中队的2倍多5棵，三中队植树的 棵树比一中队的3倍少20棵。三个中队各植树多少棵？
• 3，师徒二人共织布500米，已知大徒弟织的布是小徒弟的2倍，师傅织的布是大徒弟的3倍少4米。 三人各织了多少米布？
例4
• 被除数与除数的和为320，商是7，被除数和除数各是多少？ •
（1）原来两筐相差质量： 7×2+2=16（千克）
（2）第一筐西瓜质量： （80+16）÷2=48（千克）
（3）第二筐西瓜的质量： 80-48=32（千克）
（4）综合算式： (80+7×2+2) ÷2=48（千克）（第一筐） 80-48=32（千克）
•
练一练
（1）A、B两袋有水果糖共200颗，如果从A袋中取10颗放到B袋，这时A袋比B袋还多8颗。求A、 B两袋原来各有多少颗水果糖？
练一练 (1)有99块糖，分给甲乙丙三位小朋友，甲比乙多分了2块，乙比丙多分了5块，三位小朋友各分 得多少块糖？
2块
乙： (9 925（)块）334
甲：
甲：
（块）
丙： 342（ 块）36
乙：
99 块
34529
丙：
5块
（2）一个书架有3层书，共270本，从第一层拿出20本放到第二层，从第三层拿17本放到第二层， 这时三层书架中的书的数量相等。原来每层各有几本书？
• 3，水果店运进苹果和梨共72筐，如果卖出12筐苹果后，苹果的筐数就是梨的4倍。水果店 运进苹果和梨各多少筐？
例4
为美化校园，学校 买来松树、柏树和樟树共250棵，松树的棵树比柏树的2倍多3棵，樟树比柏树 少5棵。求学校买回松树、柏树、樟树各多少棵？
• 思路导航：根据条件“松树的棵树比柏树的2倍多3棵，樟树比柏树少5棵”，可知都是同 柏树相比较，以柏树的棵树为标准，作为1份数额解答。已知三种数的总数是250棵，如 果给樟树增加5棵，那么樟树就和柏树同样多了；再从松树里减少3棵，那么松树的棵树 就相当于柏树的2倍，而总棵树变为250+5-3=252棵，相当于柏树的4倍。
• 二年级所得图书本数为360÷（1＋2）=120(本)，
• 三年级为120×2=240(本)
练一练
• 1，小红和小明共有压岁钱800元，小红的钱数是小明的3倍。小红和小明各有压岁钱多少元？ • 2，学校将360本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的2倍还多60本。二、
三年级各得图书多少本？ • 3，甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油给甲桶后，甲桶油是乙桶的5倍？
为美化校园，学校 买来松树、柏树和樟树共250棵，松树的棵树比柏树的2倍多3棵，樟树 比柏树少5棵。求学校买回松树、柏树、樟树各多少棵？
•列式如下： • 柏树：（250+5-3）÷（1+1+2）=63（棵） • 松树：63×2+3=129（棵） • 樟树：63-5=58（棵）
练一练
• 1，三筐苹果共130个，第二筐苹果的个数是第一筐的3倍，第三筐苹果的个数比第一筐的6倍多 10个。问三筐苹果各是多少个？
• 3，甲书架有图书18本，乙书架有图书8本，班级图书管理员又买来图书16本，怎样分配才 能使甲书架图书的本数是乙书架图书本数的2倍？
例3
商店有红、黄气球共260支，如果卖出20支红气球后，红气球的只数就是黄气球只数的2 倍。这两种气球各有多少支？
•黄气球：
•？只
•红气球：
•20只
•260只
•？只
• 列式如下：
•
（30＋15）÷（1＋8）=5（支）
•
15－5=10（支）
练一练
• 1，红红有邮票80张，佳佳有邮票60张，要使红红的邮票张数是佳佳的4倍，那么佳佳必须 给红红多少张邮票？
• 2，甲水池有水69吨，乙水池有水36吨，如果甲水池中的水以每分钟2吨的速度流入乙水池， 那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的2倍？
解：根据题意画出线段图：
第一筐 第二筐
？千克
从线段图上可以看出，假如把两筐水果共重 128千克加上4千克，那么得到的和就是第二 筐重量的2倍，所以可以先求出第二筐的重量， 再求出第一筐的重量。
第二筐重量：(128+4)÷2=66千克
128 第一筐重量：
4千 克
千克 66-4=62千克
？千克
• 此题还可以假设把第二筐减少4千克，可以先求出第一筐的质量，再求出第二筐的质量。你 能试一试吗？
（3）实验小学和育才小学共有教师210人，由于工作需要从实验小学调走30人，育才小学调进 10人，这时实验小学比育才小学还多8人。原来两学校各有多少人？
解：两校原来相差人数：30+10+8=48（人） 实验小学：（210+48）÷2=129（人） 育才小学：210-129=81（人）
爸爸、妈妈和小刚去商店买东西，他们一共花了90元，爸爸比妈妈多花10元，小刚比妈妈少花 4元。他们三个人各花了多少元？
小学奥数和差、和倍、差倍问题
和差问题
方法教学： 让解题过程变得清晰可见。
已知大小两个数的和及它们的差，求这两个数各是多少，这类问题我们称为和差问题。 解答和差问题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。可以假设小数增加到与大数同样多，先 求大数，再求小数；也可以假设大数减少到与小数同样多，先求小数，再求大数。
解答和倍应用题，关键是要找出两数的和以及与其对应的倍数和，从而先求出1倍数，再求出 几倍数。 数量关系可以这样表示：
两数和÷（倍数＋1）=小数（1倍数） 小数×倍数=大数（几倍数） 两数和－小数=大数
例1
学校将360本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的2倍，问二、三两 个年级各分得多少本图书？
• 思路导航：将二年级所得图书的本数看作1倍数，则三年级所得本数是这样的2倍。
•
如图所示：
•
•
二年级
1倍数 ？本
三年级
？本
共360本
学校将360本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的2倍，问二、 三两个年级各分得多少本图书？
•
由图可知，二、三年级所得图书本数的和360本相当于二年级的（1＋2）倍。
可以用下面的公式： （1）（和+差）÷2=大数
大数-差=小数 和-大数=小数 （2）（和-差） ÷2=小数 小数+差=大数 和-小数=大数
两筐水果共重128千克，第二筐比第一筐多4千克。两筐水果各重多少千克？
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解题思路
此题已知两个数的和与大小两个数的差，求两数各是多少，是标准的和差问题。我们用假设法 结合线段图进行分析，再利用公式进行解答
(（2 （分分））86 59)390
90696
90999
和倍问题
方法教学： 让解题过程变得清晰可见。
专题简析：
• 已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求这两个数分别是多少，像这样的应用题，通常叫做 和倍问题。要想顺利地解答和倍应用题，最好的方法就是根据题意，画出线段图，使数量关系 一目了然，从而正确列式解答。