解析几何讲义曲线方程)

第四节 曲线与方程

一、曲线与方程

1．一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解。（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

2．求动点的轨迹方程的一般步骤

(1)建系——建立适当的坐标系.(2)设点——设轨迹上的任一点P(x,y).(3)列式——列出动点P 所满足的关系式.(4)代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为x,y 的方程式，并化简。(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.

注:求轨迹和轨迹方程有什么不同?(求轨迹和轨迹方程的不同:后者只指方程(包括范围)),而前者包含方程及所求轨迹的形状、位置、大小等。

二曲线方程的求法

1、直接法：直接根据等量关系式建立方程.

例1 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA

PB x =·，则点P 的轨迹是（ ） Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线

2、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程．

例2 在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程．

注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性.

3、转移代入法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题.

例3 已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程．

4、参数法：如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x ，y 联系起来．

例4 已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使有向线段OP OP '，

满足4OP OP '=·，求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程．

评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变.

5、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.

例5、已知A ，B ，D 三点不在一条直线上，且(20)A -，，(20)B ，，2AD =，1()2

AE AB AD =+． （1）求E 点轨迹方程；（2）过A 作直线交以A B ，为焦点的椭圆于M N ，两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为

45

，且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆方程．

【基础训练】

1:已知两点)45,4(),45

,1(--N M 给出下列曲线方程：①0124=-+y x ；②32

2=+y x ；③1222=+y x ；④12

22

=-y x ，在曲线上存在点P 满足||||NP MP =的所有曲线方程是（ ） A ①③ B ②④ C ①②③ D ②③④

2.两条直线01=--my x 与01=-+y mx 的交点的轨迹方程是 .

3.已知圆的方程为(x-1)2+y 2=1,过原点O 作圆的弦0A ，则弦的中点M 的轨迹方程是 .

4.当参数m 随意变化时，则抛物线()y x m x m =+++-22

211的顶点的轨迹方程为___________。

5.点M 到点F （4，0）的距离比它到直线x +=50的距离小1，则点M 的轨迹方程为____________。

6.求与两定点()()

O O A 1030，、，距离的比为1：2的点的轨迹方程为_________

7.抛物线x y 42=的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A 、B 两点，动点C 在抛物线上，求△ABC 重心P 的轨迹方程。

【能力训练】

8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，求此双曲线方程。

9.已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。

10.过原点作直线l 和抛物线642+-=x x y 交于A 、B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程。

【创新应用】

11.一个圆形纸片，圆心为O ，F 为圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于P ，则P 的轨迹是（ ）

A:椭圆 B:双曲线 C:抛物线 D:圆

曲线与方程

一、曲线与方程

1．一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：

（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解。

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

注：如果只满足第（2）个条件，会出现什么情况？（若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”），则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程，如分段函数的解析式。2．求动点的轨迹方程的一般步骤

(1)建系——建立适当的坐标系.(2)设点——设轨迹上的任一点P(x,y).(3)列式——列出动点P所满足的关系式.

(4)代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为x,y的方程式，并化简。(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.

注:求轨迹和轨迹方程有什么不同?(求轨迹和轨迹方程的不同:后者只指方程(包括范围)),而前者包含方程及所求轨迹的形状、位置、大小等。

二曲线方程的求法

1、直接法：直接根据等量关系式建立方程.